實數(shù)完備性定理相互論證及應(yīng)用【文獻(xiàn)綜述】

1、畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述畢業(yè)論文文獻(xiàn)綜述數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)實數(shù)完備性定理相互論證及應(yīng)用實數(shù)完備性定理相互論證及應(yīng)用牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立了微積分，但是當(dāng)時分析的基礎(chǔ)還極其不完善，這導(dǎo)致了第二次數(shù)學(xué)危機(jī)，直接的結(jié)果就是大量優(yōu)秀的數(shù)學(xué)家投身到了研究實數(shù)基礎(chǔ)的行列中，這其中相當(dāng)重要的一部分就是實數(shù)的完備性公理。一、國內(nèi)外研究的歷史發(fā)展自從畢達(dá)哥拉斯學(xué)派在公元前5世紀(jì)發(fā)現(xiàn)無理數(shù)以來，人們對無理數(shù)的認(rèn)識經(jīng)歷了難以想象的歷史長河，直到19世紀(jì)中葉，人

2、類的全部智慧僅停留在有理數(shù)與個別無理數(shù)的認(rèn)識階段.19世紀(jì)后半葉，柯西與魏爾斯特拉斯建立極限理論為微積分奠定了基礎(chǔ)，而極限理論卻又是建立在實數(shù)連續(xù)性的假設(shè)之上的.為使微積分的基礎(chǔ)更牢固，建立系統(tǒng)的實數(shù)理論成為數(shù)學(xué)科學(xué)發(fā)展的關(guān)鍵.建立實數(shù)理論的難點是給無理數(shù)下定義.歷史有時真巧合，實數(shù)的三大派理論：戴德金的“分割”、康托爾的“基本序列”、魏爾斯特拉斯的“單調(diào)有界序列”是同一年（1872年）在德國出現(xiàn)的.以下分別給予簡單的介紹.戴德金借助幾

3、何直觀，通過以他名字命名的分割技術(shù)對有理數(shù)進(jìn)行分割，巧妙而又嚴(yán)密的給出無理數(shù)的定義.大意如下：把有理數(shù)集Q分成與兩個子集，使其滿足下列三個條件：（1）；（2）中的任何一數(shù)小于中的任一數(shù)；（3）中無最大數(shù).稱上述分解為有理數(shù)的一個戴德金分割，并記做.凡是中有最小數(shù)的分割稱為第一類分割，這類分割的界數(shù)（即從有理數(shù)范圍內(nèi)來考慮，與之間所缺乏的數(shù)）稱為無理數(shù)；有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱為實數(shù).戴德金同時證明對實數(shù)作同樣的分割不產(chǎn)生新的數(shù).這就是實數(shù)的完

4、備性或連續(xù)性（可用利刀切灑上金粉的細(xì)線來解釋有理數(shù)的非完備性及實數(shù)的完備性）.現(xiàn)在人們把實數(shù)軸作為實數(shù)的幾何模型，即實數(shù)與實數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，這是基于實數(shù)的連續(xù)性與直線連續(xù)性的統(tǒng)一?？低袪柦柚欣頂?shù)“基本序列”來定義無理數(shù)，其工作是建立在柯西的工作基礎(chǔ)之上的.柯西建立他的極限理論時，已經(jīng)注意到無理數(shù)的重要性，在他的《分析教程》中把無理數(shù)定義為有理數(shù)序列[2]武漢大學(xué)數(shù)學(xué)系，數(shù)學(xué)分析中的典型問題與方法（第二版）[M]北京：高等教育出版社