第4講模糊數(shù)學(xué)方法 1

1、2012數(shù)學(xué)建模培訓(xùn),第4講 模糊數(shù)學(xué)方法(一),“模糊數(shù)學(xué)方法”學(xué)習(xí)內(nèi)容,1. 如何理解模糊集合、隸屬函數(shù)以及隸屬度？2. 模糊集合的表示方法及常用運算。3. 構(gòu)造隸屬函數(shù)的常用方法。4. 如何理解模糊集合間的貼近度？5. 模糊模式識別的常用原則及適用場合。6. 模糊聚類的一般步驟。7. 模糊相似矩陣與模糊等價矩陣。,8. 什么是傳遞閉包矩陣，如何計算，有何用途？9. λ—截矩陣的概念及用途。10. 相似系數(shù)的確定方

2、法。11. 模糊聚類有哪幾類方法？分別詳述其原理與步驟。12. 模糊聚類編程與實例。13. 模糊綜合評價的基本思想和具體步驟。14. 如何理解評價對象的因素集和評價集？,15. 什么是模糊綜合評價矩陣，如何確定模糊綜合評價矩陣？16. 當(dāng)評價指標(biāo)分屬效益型和成本型時，如何建立評價矩陣？17. 怎樣理解評價指標(biāo)的權(quán)重，確定權(quán)重有哪些常用方法？18. 何謂評價矩陣與權(quán)向量的模糊合成，常用的合成算子有哪些，各有什么特點？19.

3、 如何理解模糊綜合評價向量，為什么要,對其進行分析處理，如何分析處理？ 20. 模糊綜合評價法的缺陷。21. 模糊綜合評價法建模實例。22. 模糊綜合評價法通用程序的編制及軟件的使用。23. 灰色關(guān)聯(lián)分析法、層次分析法及模糊綜合評價法的異同點, 在實際中如何恰當(dāng)?shù)剡x用上述方法？24. AHP與灰色關(guān)聯(lián)、模糊評價的集成。,現(xiàn)實世界中的許多現(xiàn)象及其相互之間的關(guān)系都是模糊的，模糊數(shù)學(xué)正是利用模糊集及其運算研究、處理模糊現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分

4、支學(xué)科。 近年來的不少數(shù)學(xué)建模問題都涉及到大數(shù)據(jù)量的復(fù)雜問題，這類問題往往可以用模糊數(shù)學(xué)方法處理。 本講主要介紹模糊集概念、模糊模式識別、模糊聚類和模糊綜合評價。,一、模糊集的相關(guān)概念,1. 模糊集 現(xiàn)實中的許多現(xiàn)象及關(guān)系比較模糊。如高與矮，長與短，大與小，多與少，窮與富，好與差，年輕與年老等。 為了研究上述模糊現(xiàn)象，美國控制論專家扎德1965年引入了模糊集合的概念。

5、 定義 設(shè)給定論域 U，所謂U上的一個模糊子集A是指對于任意的 ，都能確,定一個正數(shù) ，用其表示 x 屬于A的程度。映射 稱為A的隸屬函數(shù)， 稱為x 對A的隸屬度。 例1 從下列30條線段中選出長線段。,,解 設(shè)xi表示第i(i=1,2,…,30)條線段，則論域 U={x1,

6、x2,…, x30}。若A為 “長線段” 的集合，則線段xi作為集A的成員資格，就是xi對A的隸屬度。 下面建立A的一種隸屬函數(shù)。 因為線段越長，屬于A的程度越大, 所以線段的長短可作為A的隸屬度。從而, 令A(yù)(x1)=1, A(x30)=0，作直線,,從而得第i條線段xi屬于“長線段”集A的隸屬函數(shù) 例2 在標(biāo)志年齡(0～100)的數(shù)軸上，標(biāo)出“年老”、“年輕”區(qū)

7、間。 解 取論域 U=[0, 100]，集合A和B分別表示“年老”和“年輕”，它們的隸屬函數(shù)為,,,,2. 模糊集的表示方法,若論域U={x1, x2,…, xn}為有限集，模糊集 A的隸屬函數(shù)為 ，則A的表示形式有 (1) 向量表示法 (2) Zadeh記號法,若論域U為無限集，則A可表示為 例如，例1中的模糊集A可表示為 例2中的

8、模糊集A, B可分別表示為,3. 模糊集的運算,由于模糊集中沒有元素和集合間的絕對隸屬關(guān)系，所以模糊集的運算是通過隸屬函數(shù)完成的。 設(shè)F集A, B的隸屬函數(shù)為 ，則A與B的常用運算有 (1) 包含： (2) 相等： (3) 并：,(4) 交： (5) 余(補)：其中， 分別表示取大，小運算。

9、 (6) 內(nèi)積： (7) 外積： 模糊集的運算滿足交換律、結(jié)合律、分配律、摩根律，但不滿足互補律。,,4. 隸屬函數(shù)的確定,由模糊集的概念可知，模糊數(shù)學(xué)的基本思想是隸屬程度，所以應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方法建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵是建立符合實際的隸屬函數(shù)。然而，如何確定一個模糊集的隸屬函數(shù)至今還是尚未完全解決的問題。 下面介紹幾種常用的確定隸屬度的方法： (1) 模糊統(tǒng)計

10、法,對論域U，選定 ，然后考慮 U的一個邊界可變的模糊子集 A，讓不同觀點的人判斷x0是否屬于A，則x0的隸屬度為其中，n為試驗總次數(shù)，N(A) 為 x0 屬于A 的次數(shù)。 在實際中，可取 。 上述方法與概率統(tǒng)計中以頻率近似概,,率類似，但兩者其實有本質(zhì)的不同。 (2) 指派法 模糊集A的隸屬函數(shù)

11、 其實即為一種模糊分布。所謂指派法就是根據(jù)問題的性質(zhì)主觀地選用某些形式的模糊分布，再依據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)確定分布中的參數(shù)。 下表中列出了常用的模糊分布及其適用類型：,,偏小型一般適用于描述“小”、“少”、“淺”、“淡”等偏向小的程度的模糊現(xiàn)象；偏大型正好與偏小型相反；而中間型一般適用于描述處于中間狀態(tài)的模糊現(xiàn)象。 用Matlab模糊邏輯工具箱可以很方便地生成某些類型的隸屬函數(shù)。如gbellmf、gaussmf、

12、sigmf等。 (3) 函數(shù)變換法 由于實際問題中的數(shù)據(jù)具有不同的屬,,性和題綱，因此建立隸屬函數(shù)可以根據(jù)模糊集的實際意義，通過函數(shù)變換將原始數(shù)據(jù)壓縮到[0,1]之間。 設(shè)原始數(shù)據(jù)為x=(x1, x2,…, xn), 常用的變換公式有,,二、模糊模式識別,所謂模式識別，就是指把要識別的對象通過與已知模式比較，確定它與哪個模式相近或類同的過程。 由于許多客觀事物的特征具有模

13、糊性,所以人們讓機器模擬人的思維方法，對模糊的客觀事物進行識別和分類。如天氣預(yù)報、自動分揀、衛(wèi)星偵察、車牌識別等。,模式識別通常包括兩種情況：特定個體對若干模糊集的歸類識別；特定模糊集對若干模糊集的歸類識別。 模糊模式識別方法基于模糊度量和模糊識別原則進行模式識別。模糊模式識別中采用的度量是模糊集的貼近度；常用的識別原則有最大隸屬度原則和擇近原則。,1. 模糊集的貼近度,貼近度與距離相反，是反映兩個模糊集接近程度的一種度

14、量。常用的貼近度有 (1) 海明貼近度 (2) 歐幾里得貼近度,(3) 最大(小)貼近度——格貼近度 通常，很難比較各種貼近度的優(yōu)劣。在實際中需要根據(jù)問題的性質(zhì)和特點選擇適當(dāng)?shù)馁N近度。,,2. 模糊識別準(zhǔn)則與步驟,通常采用最大隸屬原則和擇近原則進行模糊識別。 (1) 最大隸屬原則——個體識別 設(shè)論域 U上的模糊子集 A

15、的隸屬函數(shù)為 。對U中待考察對象x1, x2,…, xn，若存在xk，使得則應(yīng)使xk優(yōu)先屬于A。,設(shè)A1, A2,…, An為論域 U上的n個模糊子集，隸屬函數(shù)分別為 。對 ，若存在Ak，使得則應(yīng)使x0優(yōu)先屬于Ak。(見例1) (2) 擇近原則——模糊集識別 設(shè)A1, A2,…, An為論域 U上的n個模糊子集，

16、被識別對象B也是U上的模糊子集。,,若存在Ak，使得則認為B優(yōu)先與Ak同類。(見例2) 對模糊識別問題，首先要建立模糊集的隸屬函數(shù)，然后計算相關(guān)貼近度，最后根據(jù)最大隸屬原則或擇近原則進行模糊識別。,,3. 模糊識別綜合舉例,例1 下表為湖泊水質(zhì)評價標(biāo)準(zhǔn)?，F(xiàn)測得杭州西湖、武漢東湖、青海湖、巢湖、滇池總磷的含量分別為130,105,20,30,25， 請使用模糊識別方法判別這些湖泊所屬級別。,解 本題的結(jié)論是顯然的。

17、 設(shè)A, B, C, D, E分別表示總磷屬于從極貧營養(yǎng)到極富營養(yǎng)各級別，其隸屬函數(shù)為,,,,經(jīng)計算，,根據(jù)最大隸屬原則，就總磷而言，杭州西湖和武漢東湖屬富營養(yǎng)，青海湖、巢湖、滇池屬中營養(yǎng)。,,例2 評價茶葉的因素集U={條索,色澤,凈度,湯色,香氣,滋味}。茶葉五種等級的模糊集為I=(0.5, 0.4, 0.3, 0.6, 0.5, 0.4), II=(0.3, 0.2, 0.2, 0.1, 0.2, 0.2), III

18、=(0.2, 0.2, 0.2, 0.1, 0.1, 0.2), IV=(0, 0.1, 0.2, 0.1, 0.1, 0.1), V=(0, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1)?，F(xiàn)有一種待識別的茶葉A= (0.4, 0.2, 0.1, 0.4, 0.5, 0.6)，試確定A的等級。 解 經(jīng)計算，A與各模糊集的海明貼近,,度、歐氏貼近度、格貼近度分別為 可見，無論采用何種貼近度，A均屬于I

19、級。,,三、模糊聚類,對研究對象按一定標(biāo)準(zhǔn)進行分類的數(shù)學(xué)方法稱為聚類分析。在聚類分析中，有些分類是可以精確劃分的，有些分類則由于分類界限不明確而不能精確劃分。對于這類問題，可以采用模糊聚類方法。 模糊聚類通常按照下列步驟進行: (1) 數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化；(2) 建立模糊相似矩陣；(3) 按一定原則模糊聚類。,1. 數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化,設(shè)論域U={x1, x2,…, xm}為待分類的對象, 每個對象又由n個指標(biāo)表示

20、其性態(tài), 即xi={xi1, xi2,…, xin}，i=1,2, …, m，從而得原始數(shù)據(jù)矩陣,數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化包括兩個方面：(1) 標(biāo)定——將原始數(shù)據(jù)的均值變?yōu)?，方差變?yōu)?；(2) 將上述數(shù)據(jù)壓縮至區(qū)間[0, 1]。 (1) 平移—標(biāo)準(zhǔn)差變換——標(biāo)定 利用平移—標(biāo)準(zhǔn)差變換法將原始數(shù)據(jù)中第j個指標(biāo)標(biāo)定：其中 是第j個指標(biāo)的平均值，sj=,,是第j個指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差。

21、 經(jīng)過變換后，每個指標(biāo)的均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1，且消除了量綱的影響。 (2) 平移—極差變換——壓縮 經(jīng)過變換后，則 。 由此得到的矩陣稱為標(biāo)準(zhǔn)化矩陣。,,2. 建立模糊相似矩陣,(1) 模糊矩陣 定義 稱為模糊矩陣。 對模糊矩陣 ①

22、 ② ③ ④ ⑤,⑥ 設(shè) ，則模糊矩陣 稱為A與B的合成， 。 ⑦ 設(shè) ，則 。 (2) 模糊相似矩陣與模糊等價矩陣 定義 若模糊矩陣R滿

23、足 ① (自反性) ② (對稱性)則稱R為模糊相似矩陣。,,若R再滿足 ③ (傳遞性)則稱R為模糊等價矩陣。 例如，為模糊相似矩陣。但由于,,顯然， ，即R1為模糊等價矩陣，而R2不是。 (3) 傳遞閉包 定理 若R為模

24、糊相似矩陣，則存在一個最小的自然數(shù) ，使得Rk為模糊等價矩陣，且對一切大于k的自然數(shù) l，恒有 。 Rk稱為R的傳遞閉包, 記為t(R)。 從上述定理可得將n階模糊相似矩陣R改造為n階模糊等價矩陣的方法：,,從n階模糊相似矩陣R出發(fā)，依次求平方 ，直到為止，則 。

25、 例如，,,故傳遞閉包 (4) 模糊矩陣的λ—截矩陣 定義 對模糊矩陣 及 ，令,,則稱 為R的λ—截矩陣。 例如，則,,(5) 相似系數(shù)的確定 設(shè)論域X={x1,x2,…,xm}，xi的觀察值為(xi1,xi2,…,xin)，即數(shù)據(jù)矩陣 A=(xij)。若xi和

26、xj的相似程度為rij=R(xi, xj)，則稱之為相似系數(shù)。確定相似系數(shù)有下列方法： ① 數(shù)量積法 ② 相關(guān)系數(shù)法 ③ 夾角余弦法 ④ 最大最小法,,⑤ 算術(shù)平均法 ⑥ 幾何平均法 上述方法中的具體公式見相關(guān)資料書籍。至于選擇上述何種方法，要視具體情況而定。,,3. 模糊聚類方法與原則,模糊聚類分析方法大致分為三類：一是基于模糊等價關(guān)系的傳遞閉包法

27、；二是基于模糊相似關(guān)系的直接聚類法；三是基于模糊C—劃分的均值聚類法。 (1) 傳遞閉包法 ① 用逐步平方法求出模糊相似矩陣R的傳遞閉包t(R)=Rk。 ② 給定 ，求t(R)的λ—截矩陣,。 ③ 若 ，則xi與xj在分類水平λ上劃為一類；若 ，則xi與xj在分

28、類水平λ上不為一類。 對于不同的分類水平λ, 可得不同的聚類結(jié)果，從而形成動態(tài)聚類。 (2) 直接聚類法 直接聚類法包括最大樹法和編網(wǎng)法。 下面簡單介紹編網(wǎng)法。,,① 對模糊相似矩陣R，取定 ，做λ—截矩陣 。 ② 在 的對角線上依次填入x1,x2,…,xm在對角線下方以“*”代替1，0則略而不寫。 ③ 由節(jié)點

29、“*”向?qū)蔷€引經(jīng)線和緯線，稱之為編網(wǎng)；通過經(jīng)緯線能連接起來的元素劃為一類，否則不為一類。 從而就實現(xiàn)了λ水平上的聚類。,,(3) 模糊C－均值聚類法 設(shè) 。模糊C－均值聚類就是將X劃分為c類 ，V={v1,v2,…,vc}是c類聚類中心。令 uij 表示第i個樣本屬于第j 類的隸屬度，其中 。 模糊C－均值聚類的

30、準(zhǔn)則： 定義目標(biāo)函數(shù)為,,其中 。 顯然, J(U,V)為各類中樣本到聚類中心的加權(quán)距離平方和，權(quán)重是樣本xi 對第 J類隸屬度的e次方，聚類準(zhǔn)則取為求J(U, V)的極小值。 模糊C－均值聚類的步驟： ① 取定c>1, e>1(通常取e=2)和初始隸屬矩陣 ，迭代步長k

31、=0； ② 計算聚類中心V為,,③ 修正隸屬度矩陣U其中， 為第i個樣本到第j類中心的歐氏距離； ④ 對給定的 ，進行迭代計算直至 ，則算法終止，否則，k=k+1，轉(zhuǎn)向②；,,⑤ 若 ，則第i個樣本屬于第j0類。

32、 Matlab中有直接實現(xiàn)模糊均值聚類的命令——fcm，其調(diào)用格式為： [center,U,obj_fcn]=fcm(data,cluster_n)其中，data—原始數(shù)據(jù)矩陣，每一行為一個樣本；cluster_n—算法中的聚類數(shù)(>1)； center—最終的聚類中心矩陣，其每一行為一個聚類中心；,,U—最終的隸屬度矩陣；obj_fcn—迭代過程中的目標(biāo)函數(shù)值。 (4) 最佳閾值λ的確定

33、 在應(yīng)用傳遞閉包法或直接聚類法進行聚類時，當(dāng)λ值變動時形成了一個動態(tài)聚類。這固然便于我們?nèi)媪私饩垲惽闆r，但也產(chǎn)生了一個問題：哪個λ對應(yīng)的分類是最合理的呢？即如何選擇閾值λ。除了憑經(jīng)驗外，一般用F-統(tǒng)計量來選取。,,設(shè)X={x1,x2,…,xm}為待分類對象，xi= (xi1,xi2,…,xin)為描述對象xi的特征向量。又設(shè)c為對應(yīng)于λ值的類數(shù)，mk為劃歸第k類的對象的個數(shù)，第k類的對象記為 ，相應(yīng)

34、地記 。 令,,它們分別為第k類對象和全體對象的第j個特征的平均值。分別稱為第k類對象和全體對象的聚類中心向量。 構(gòu)造F-統(tǒng)計量則易見其分子表征類與類間的距離，分母表征類內(nèi)對象間的距離, 故F值越大, 說明,,分類越合理，從而與此分類相對應(yīng)的F-統(tǒng)計量最大的閾值λ即為最佳值。,,4. 模糊聚類程序及綜合例題與練習(xí),用Mat

35、lab編制了具有模糊模式識別(部分功能), 傳遞閉包法模糊聚類(包括畫動態(tài)聚類圖)以及模糊綜合評價功能的大型綜合程序。該程序可用多種方法給出模糊相似矩陣，計算傳遞閉包，確定適當(dāng)?shù)姆诸愃剑o出各分類水平下的分類方案，畫出 動態(tài)分類圖，并求出最合理的分類方案。,例1 設(shè)U={x1,x2,…,x7}, x1=(7,9,2, 5), x2 =(3, 5, 5, 6), x3=(7, 7, 5, 4), x4=(7, 6, 7.2, 3),

36、x5=(6, 4, 2, 6), x6=(3, 8, 5, 4), x7=(4, 7, 6, 3)。試用算術(shù)平均最小法建立模糊相似矩陣，用傳遞閉包法進行模糊聚類。 解 利用所編程序按下列五步計算： (1) 輸入原始數(shù)據(jù)矩陣； (2) 計算A的標(biāo)準(zhǔn)化矩陣B； (3) 用算術(shù)平均最小法建立B的模糊相,,似矩陣R； (4) 計算R的傳遞閉包tR；

37、 (5) 根據(jù)閉包計算分類水平λ，λ是tR中所有互異的數(shù)(從小到大)； (6) 求不同水平下的分類方案，并求出最合理的分類方案。 動態(tài)模糊聚類圖見下：,,例2 設(shè)U={x1,x2, x3,x4,x5}表示父、子、女、鄰居、母五人組成的一個集合，請用直接法對這五人按相貌相像程度進行模糊分類。 解 首先對五人按相貌相像程度打分，得到相似矩陣,,然后，求λ—截矩陣R0.6再編制下

38、列表格，畫出經(jīng)緯線,,顯然，在λ=0.6分類水平下，U分為兩類{x1,x2, x3, x5}和{x4}。,例3 根據(jù)下表對各地區(qū)生產(chǎn)力水平進行模糊C-均值聚類分析：,,,,本題可直接調(diào)用Matlab模糊C-均值聚類命令fcm進行計算，有興趣者可以一試。,,四、模糊綜合評價,事物通常需要用多個指標(biāo)刻畫其性質(zhì)和特征，人們對事物的評價又往往不是簡單的是與非，而是采用比較模糊的語言給出不同程度的評價。由于評價等級間的關(guān)系是模糊的，沒有絕對明確的

39、界限，對于這類模糊評價問題，經(jīng)典的評價方法存在著不合理性，應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方法進行綜合評價應(yīng)該可以取得更好的實際效果。,模糊綜合評價作為模糊數(shù)學(xué)的一種具體應(yīng)用，最早由我國學(xué)者汪培莊提出。基本思想是：以模糊數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，應(yīng)用模糊關(guān)系合成原理，將一些邊界不清、不易定量的因素定量化，從多個因素對被評價事物隸屬等級狀況進行綜合評價。具體步驟為：首先確定被評價對象的因素集和評價集，然后再分別確定各因素的權(quán)重及它們的隸屬度向量，獲得模糊評價矩陣，最后,,

40、將模糊評價矩陣與因素的權(quán)向量進行模糊運算并歸一化，從而得到模糊評價綜合結(jié)果。 模糊綜合評價法簡單易掌握，對多因素、多層次的復(fù)雜問題評價效果比較好，很難為其它評價方法所替代。,,1. 確定評價指標(biāo)和評價等級,設(shè)U={u1, u2,…, um}為刻畫被評價對象的m種因素，即評價指標(biāo)；V={v1,v2,…,vn}為刻畫每一因素所處狀態(tài)的n種評語, 即評價等級。 這里，m 為評價因素的個數(shù)，通常由具體指標(biāo)體系決

41、定; n為評語的個數(shù), 一般劃分為3～5個等級。,例如，某服裝廠欲采用模糊綜合評價法來了解顧客對某種服裝的歡迎程度。 顧客是否喜歡某種服裝，通常與這種服裝的花色、樣式、價格、耐用度和舒適度等因素有關(guān)，故確定評價服裝的因素集為U={花色, 樣式, 價格, 耐用度, 舒適度}。 綜合評價的目的是弄清楚顧客對衣服各方面的歡迎程度。因此，評價集應(yīng)為V ={很歡迎, 歡迎, 一般, 不歡迎}。,,2. 構(gòu)造模糊

42、綜合評價矩陣,在確定了評價指標(biāo)和評價等級后，接著就要對每個評價指標(biāo)ui (i=1,2,…m) 逐一進行模糊評價。 具體評價方法是：對某個評價指標(biāo) ui 給出其能被評為等級 vj 的隸屬度 rij。rij 可理解為指標(biāo) ui 能評為等級vj 的頻率，通常要將rij 歸一化以便于使用。,設(shè)指標(biāo)ui的模糊評價為ri=(ri1,ri2,…,rin),則對所有評價指標(biāo)ui (i=1,2,…m) 進行的模糊評價構(gòu)成的矩陣

43、稱為各指標(biāo)的模糊綜合評價矩陣。,,確定隸屬度 rij 的方法通常有兩種。 對于主觀或定性的指標(biāo)可采用等級比重法，即計算評價者給出的等級比重。應(yīng)用等級比重法時要注意: (1)評價者的人數(shù)要足夠多; (2)評價者對被評事物要有相當(dāng)?shù)牧私狻?對于客觀和定量指標(biāo)，可以采用頻率法，即以評價值在各等級區(qū)間中出現(xiàn)的頻率作為隸屬度。,,例如，在前例中，對該服裝的花色，眾多被調(diào)查者中有20%認為“很歡迎”, 50%認為

44、“歡迎”，30%認為“一般” ，沒有人認為“不歡迎”，則u1的評價向量為R1=(0.2, 0.5, 0.3, 0)同理可得其它指標(biāo)的評價向量為R2=(0.1, 0.3, 0.5, 0.1)，R3=(0, 0.1, 0.6, 0.3),R4=(0, 0.4, 0.5, 0.1)， R5=(0.5, 0.3, 0.2, 0)。 由此可得模糊綜合評價矩陣為,,,,,,3. 評價指標(biāo)權(quán)重的確定,確定了模糊綜合評價矩陣，尚

45、不足以對事物做出評價。原因在于，各評價指標(biāo)在評價目標(biāo)中有不同的地位和作用，即各評價指標(biāo)在綜合評價中占有不同的權(quán)重。 通常引入一個模糊向量A=(a1,a2,…,an)來表示各評價指標(biāo)在目標(biāo)中所占權(quán)重，稱之為權(quán)重向量。其中ai為ui的權(quán)重, 且滿足 。,確定權(quán)重的常用方法有主觀和客觀兩類方法。主觀法也稱專家評測法，即請若干專家就各指標(biāo)的重要性進行評分，平均后即得各指標(biāo)權(quán)重?？?/p>

46、觀法是根據(jù)各指標(biāo)間的聯(lián)系，利用數(shù)學(xué)方法計算出各指標(biāo)的權(quán)重，如質(zhì)量分?jǐn)?shù)法、變異系數(shù)法等。 其實，利用灰色關(guān)聯(lián)分析法和層次分析法確定權(quán)重是非常新穎、有效的方法。這涉及到多種方法的融合，較為復(fù)雜。,,,下面通過兩個實例分別介紹質(zhì)量分?jǐn)?shù)法和變異系數(shù)法。 例1 水質(zhì)分級標(biāo)準(zhǔn)如下表：現(xiàn)測得某水井上述各污染物含量分別為,,0.008, 0.185, 0.004, 0.164, 0.140，試確定酚, 氰,

47、汞, 鉻, 砷在確定水質(zhì)等級中的權(quán)重。 解 根據(jù)質(zhì)量分?jǐn)?shù)法，可根據(jù)下列步驟確定各污染物的權(quán)重： (1) 計算Pi=Ci/C0i，其中Ci為第i 種污染物在水中的實測濃度, C0i為第i 種污染物在水中濃度的平均允許值； (2) 歸一化后的Pi即 即為第i 種污染物的權(quán)重 。,,若未給出各污染物的平均允許值，則用第 i 項評價指標(biāo)和各級標(biāo)準(zhǔn)值的平均值

48、代替C0i。,,,所以各評價指標(biāo)的權(quán)重分別為0.196, 0.217, 0.213, 0.205, 0.169。 例2 已知5個投資方案如下表，試確定4個評價指標(biāo)的權(quán)重。,,變異系數(shù)法的設(shè)計原理是：若某項指標(biāo)的數(shù)值能明確區(qū)分開各個被評價對象，說明該指標(biāo)在這項評價上的分辨信息豐富,因而應(yīng)給該指標(biāo)以較大的權(quán)重；反之，若各個被評價對象在某項指標(biāo)上的數(shù)值差異較小，那么這項指標(biāo)區(qū)分各評價對象的能力較弱，因而應(yīng)給該指標(biāo)較小的權(quán)重。,

49、解 根據(jù)變異系數(shù)法，可根據(jù)下列步驟確定各指標(biāo)的權(quán)重： (1) 計算第i 項指標(biāo)的均值與方差 (2) 令 ，則歸一化的vi 即為各指標(biāo)的權(quán)重，即,,同理， 。從而，4項評價指標(biāo)的權(quán)重為,,4. 模糊合成與綜合評價,模糊綜合評價矩陣 R 中的不同行反映了被評價事物從不同的指標(biāo)評

50、價對各等級的隸屬程度。用權(quán)向量A 將不同的行進行綜合，就可得到被評價事物從總體上對各等級的隸屬程度，即模糊綜合評價結(jié)果。 通常采用所謂“模糊合成”來實現(xiàn)上述綜合，基本思想是：對評價矩陣 R和權(quán)向量A進行某種適當(dāng)?shù)哪：\算，將兩者合,成為一個模糊向量B={b1,b2,…,bn}，即B=A ，然后對B 按照一定法則進行綜合分析后即可得出最終的模糊綜合評價結(jié)果。 常用的模糊合成算子 有：

51、 (1) ——主因素決定型 (2) ——主因素突出型 (3) ——主因素顯著型 (4) ——加權(quán)平均型 上述四種模糊合成算子的特點是：,,其實，也可以取 為普通的矩陣乘法，此時合成即為加權(quán)平均。至于到底取何種算子取決于問題的性質(zhì)和算

52、子的特點。,,例3 設(shè)試用上述四種合成算子計算向量B。 解 (1)B=(0.3, 0.3, 0.3, 0.2)。,,(2)B=(0.15, 0.12, 0.12, 0.08)。 (3) B=(0.8, 0.8, 0.7, 0.3)。,,(4)B=(0.32, 0.29, 0.24, 0.11)。,,B稱為模糊綜合評價向量或決策集，bij滿足 ，

53、且通常需要歸一化。 B一般不能直接用于被評價對象間的排序評優(yōu), 而必須經(jīng)進一步的分析處理后方可使用。 分析處理B的常用方法有： (1) 最大隸屬原則，即認定被評價對象的等級為最大隸屬度對應(yīng)的等級； (2) 加權(quán)平均原則，具體方法是：給評,價等級集V={v1,v2,…,vn}中的各等級賦以適當(dāng)?shù)膮?shù) C={c1,c2,…,cn}，用歸一化的權(quán)向量B={b1,b2,…,bn}對

54、C的加權(quán)平均值做為模糊綜合評價結(jié)果。 例如，設(shè)權(quán)向量B={0.4, 0.3, 0.2, 0.1},給評價等級集{很好, 好, 一般,差}分別賦值{4, 3, 2, 1}，則模糊綜合評價等級為,5. 模糊綜合評價舉例,例1 在教學(xué)過程的綜合評價中，取U= {清楚易懂，教材熟悉，生動有趣，板書整齊清晰}, V={很好，較好，一般，不好}。設(shè)某班學(xué)生對教師的教學(xué)評價矩陣為,若考慮權(quán)重A=(0.5, 0.2, 0.2, 0

55、.1)，試求學(xué)生對這位教師的綜合評價。 解 根據(jù) A和 R，利用四種合成算子，編程計算得結(jié)果表明，學(xué)生對該老師在 “教材熟悉” 方,面最認可，“清楚易懂”次之，面“板書整齊清晰”則得不到認可。A=[];R=[];[m,n]=size(R);for j=1:n H=[]; for i=1:m H=[H min(A(i), R(I,j))];,end B(1

56、,j)=max(H); B(2,j)=sum(H); B(3,j)=max(A.*R(: , j)’); B(4,j)=sum(A.*R(: , j)’);Endfor i=1:m B(i ,:)= B(i ,:)/ sum(B(i ,:));end,例2 對第3節(jié)例2中的5個方案進行綜合評價。 解 在例2中的4個指標(biāo)中，投資額、風(fēng)險損失為成本型，期望凈現(xiàn)值、風(fēng)險盈利值為效益型

57、。首先對指標(biāo)矩陣進行無量綱化，得各方案關(guān)于理想方案的相對優(yōu)級屬度矩陣,其中，然后計算各評價指標(biāo)的權(quán)，得權(quán)向量W=(0.259, 0.235, 0.246, 0.259)最后加權(quán)平均得b=(0.9042, 0.6912, 0.8274, 0.6547, 0.6303)故方案排序為1, 3, 2, 4, 5。,例3 現(xiàn)有下列5個農(nóng)業(yè)技術(shù)經(jīng)濟方案，試評價各方案的優(yōu)劣。,五、綜合評價方法的組合,常用的綜合評價方法有層次分析法、模糊

58、綜合評價法、灰色關(guān)聯(lián)分析法、數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)評價法等。 應(yīng)用不同的評價方法對同一評價對象可能得到不同的評價結(jié)果，這是綜合評價理論中的一個難題。 每個方法的提出都有其特殊的背景、意義和適用范圍，即方法的優(yōu)劣沒有絕對,的標(biāo)準(zhǔn)，單純從機理上判別方法的好壞是不可行的。為此，有學(xué)者提出了所謂組合評價方法。 為了理解“組合”的含義，先將評價法做一下分類。 評價法通?？煞譃閮?/p>

59、類：主觀賦權(quán)評價法和客觀賦權(quán)評價法。前者如層次分析法、模糊綜合評價法，后者有灰色關(guān)聯(lián)分析法、數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)評,價法。組合的基本思想是將兩類方法綜合,以實現(xiàn)二者的優(yōu)勢互補，得到更合理、科學(xué)的評價結(jié)果。當(dāng)然，也可以將同一類評價方法進行組合。 從理論上講，組合評價法應(yīng)該比單一評價方法更合理、更科學(xué)。但絕不能說組合評價法就一定優(yōu)于單一評價法，而且并不是任兩種評價法都能隨意組合。 最常用的組合評價方法

60、是將層次分析,法與模糊綜合評價法、灰色關(guān)聯(lián)分析法、數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)評價法組合，其基本思想是，將評價指標(biāo)體系分成若干層次結(jié)構(gòu)，運用層次分析法確定各指標(biāo)的權(quán)重，然后分層次再利用另一方法進行綜合評價，最后綜合出總的評價結(jié)果。 上述方法較為復(fù)雜，詳見相關(guān)書籍與專著。(現(xiàn)代綜合評價方法與案例精選),模糊綜合評價練習(xí),1. 下表為三峽水利工程樞紐確定正常蓄水位的四個技術(shù)方案。對其進行綜合評價，找出最優(yōu)方案。,2. 給定有

61、關(guān)數(shù)據(jù)如下，試?yán)镁C合評價法，對上海、北京、天津、云南的科技進步進行排名。,3. 2005年安徽省各地市水資源數(shù)據(jù)如下表，對其進行綜合評價。,,,,4. 我國1949～1990年洪澇災(zāi)害損失如下表，試建立綜合評價模型進行研究。,,,,,,,,5. 2006年我國省會城市和計劃單列市的主要經(jīng)濟指標(biāo)見表一(見word文檔, 人口單位：萬人；資金單位：萬元)。 注: (1) 數(shù)據(jù)來源：2007年中國統(tǒng)計年鑒(除拉薩、臺北外

62、)；(2) 所有數(shù)據(jù)包括市轄縣; (3) 工業(yè)總產(chǎn)值的統(tǒng)計范圍為全部國有及年銷售收入500萬元以上的非國有工業(yè)企業(yè)。 試根據(jù)表中數(shù)據(jù)回答下列問題：,,(1) 就2006年數(shù)據(jù)對表中各城市適當(dāng)?shù)姆诸? 發(fā)展水平相近的聚為一類, 分為幾類比較恰當(dāng)，簡要說明理由； (2) 現(xiàn)知甲、乙、丙三個城市在2006年的相關(guān)數(shù)據(jù) (表二)，試問它們與第1問中哪一類的發(fā)展水平比較接近； (3) 簡要給出2