第4講模糊數(shù)學(xué)方法

1、2012數(shù)學(xué)建模培訓(xùn),第4講 模糊數(shù)學(xué)方法(一),“模糊數(shù)學(xué)方法”學(xué)習(xí)內(nèi)容,1. 如何理解模糊集合、隸屬函數(shù)以及隸屬度？2. 模糊集合的表示方法及常用運(yùn)算。3. 構(gòu)造隸屬函數(shù)的常用方法。4. 如何理解模糊集合間的貼近度？5. 模糊模式識(shí)別的常用原則及適用場(chǎng)合。6. 模糊聚類的一般步驟。7. 模糊相似矩陣與模糊等價(jià)矩陣。,8. 什么是傳遞閉包矩陣，如何計(jì)算，有何用途？9. λ—截矩陣的概念及用途。10. 相似系數(shù)的確定方

2、法。11. 模糊聚類有哪幾類方法？分別詳述其原理與步驟。12. 模糊聚類編程與實(shí)例。13. 模糊綜合評(píng)價(jià)的基本思想和具體步驟。14. 如何理解評(píng)價(jià)對(duì)象的因素集和評(píng)價(jià)集？,15. 什么是模糊綜合評(píng)價(jià)矩陣，如何確定模糊綜合評(píng)價(jià)矩陣？16. 當(dāng)評(píng)價(jià)指標(biāo)分屬效益型和成本型時(shí)，如何建立評(píng)價(jià)矩陣？17. 怎樣理解評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重，確定權(quán)重有哪些常用方法？18. 何謂評(píng)價(jià)矩陣與權(quán)向量的模糊合成，常用的合成算子有哪些，各有什么特點(diǎn)？19.

3、 如何理解模糊綜合評(píng)價(jià)向量，為什么要,對(duì)其進(jìn)行分析處理，如何分析處理？ 20. 模糊綜合評(píng)價(jià)法的缺陷。21. 模糊綜合評(píng)價(jià)法建模實(shí)例。22. 模糊綜合評(píng)價(jià)法通用程序的編制及軟件的使用。23. 灰色關(guān)聯(lián)分析法、層次分析法及模糊綜合評(píng)價(jià)法的異同點(diǎn), 在實(shí)際中如何恰當(dāng)?shù)剡x用上述方法？24. AHP與灰色關(guān)聯(lián)、模糊評(píng)價(jià)的集成。,現(xiàn)實(shí)世界中的許多現(xiàn)象及其相互之間的關(guān)系都是模糊的，模糊數(shù)學(xué)正是利用模糊集及其運(yùn)算研究、處理模糊現(xiàn)象的數(shù)學(xué)分

4、支學(xué)科。 近年來的不少數(shù)學(xué)建模問題都涉及到大數(shù)據(jù)量的復(fù)雜問題，這類問題往往可以用模糊數(shù)學(xué)方法處理。 本次主要研討模糊集概念、模糊模式識(shí)別、模糊聚類和模糊綜合評(píng)價(jià)。,一、模糊集的相關(guān)概念,1. 模糊集 現(xiàn)實(shí)中的許多現(xiàn)象及關(guān)系比較模糊。如高與矮，長(zhǎng)與短，大與小，多與少，窮與富，好與差，年輕與年老等。 為了研究上述模糊現(xiàn)象，美國(guó)控制論專家扎德1965年引入了模糊集合的概念。

5、 定義 設(shè)給定論域 U，所謂U上的一個(gè)模糊子集A是指對(duì)于任意的 ，都能確,定一個(gè)正數(shù) ，用其表示 x 屬于A的程度。映射 稱為A的隸屬函數(shù)， 稱為x 對(duì)A的隸屬度。 例1 從下列30條線段中選出長(zhǎng)線段。,,解 設(shè)xi表示第i(i=1,2,…,30)條線段，則論域 U={x1,

6、x2,…, x30}。若A為 “長(zhǎng)線段” 的集合，則線段xi作為集A的成員資格，就是xi對(duì)A的隸屬度。 下面建立A的一種隸屬函數(shù)。 因?yàn)榫€段越長(zhǎng)，屬于A的程度越大, 所以線段的長(zhǎng)短可作為A的隸屬度。從而, 令A(yù)(x1)=1, A(x30)=0，作直線,,從而得第i條線段xi屬于“長(zhǎng)線段”集A的隸屬函數(shù) 例2 在標(biāo)志年齡(0～100)的數(shù)軸上，標(biāo)出“年老”、“年輕”區(qū)

7、間。 解 取論域 U=[0, 100]，集合A和B分別表示“年老”和“年輕”，它們的隸屬函數(shù)為,,,,2. 模糊集的表示方法,若論域U={x1, x2,…, xn}為有限集，模糊集 A的隸屬函數(shù)為 ，則A的表示形式有 (1) 向量表示法 (2) Zadeh記號(hào)法,若論域U為無限集，則A可表示為 例如，例1中的模糊集A可表示為 例2中的

8、模糊集A, B可分別表示為,3. 模糊集的運(yùn)算,由于模糊集中沒有元素和集合間的絕對(duì)隸屬關(guān)系，所以模糊集的運(yùn)算是通過隸屬函數(shù)完成的。 設(shè)F集A, B的隸屬函數(shù)為 ，則A與B的常用運(yùn)算有 (1) 包含： (2) 相等： (3) 并：,(4) 交： (5) 余(補(bǔ))：其中， 分別表示取大，小運(yùn)算。

9、 (6) 內(nèi)積： (7) 外積： 模糊集的運(yùn)算滿足交換律、結(jié)合律、分配律、摩根律，但不滿足互補(bǔ)律。,,4. 隸屬函數(shù)的確定,由模糊集的概念可知，模糊數(shù)學(xué)的基本思想是隸屬程度，所以應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方法建立數(shù)學(xué)模型的關(guān)鍵是建立符合實(shí)際的隸屬函數(shù)。然而，如何確定一個(gè)模糊集的隸屬函數(shù)至今還是尚未完全解決的問題。 下面介紹幾種常用的確定隸屬度的方法： (1) 模糊統(tǒng)計(jì)

10、法,對(duì)論域U，選定 ，然后考慮 U的一個(gè)邊界可變的模糊子集 A，讓不同觀點(diǎn)的人判斷x0是否屬于A，則x0的隸屬度為其中，n為試驗(yàn)總次數(shù)，N(A) 為 x0 屬于A 的次數(shù)。 在實(shí)際中，可取 。 上述方法與概率統(tǒng)計(jì)中以頻率近似概,,率類似，但兩者其實(shí)有本質(zhì)的不同。 (2) 指派法 模糊集A的隸屬函數(shù)

11、 其實(shí)即為一種模糊分布。所謂指派法就是根據(jù)問題的性質(zhì)主觀地選用某些形式的模糊分布，再依據(jù)相關(guān)數(shù)據(jù)確定分布中的參數(shù)。 下表中列出了常用的模糊分布及其適用類型：,,偏小型一般適用于描述“小”、“少”、“淺”、“淡”等偏向小的程度的模糊現(xiàn)象；偏大型正好與偏小型相反；而中間型一般適用于描述處于中間狀態(tài)的模糊現(xiàn)象。 用Matlab模糊邏輯工具箱可以很方便地生成某些類型的隸屬函數(shù)。如gbellmf、gaussmf、

12、sigmf等。 (3) 函數(shù)變換法 由于實(shí)際問題中的數(shù)據(jù)具有不同的屬,,性和題綱，因此建立隸屬函數(shù)可以根據(jù)模糊集的實(shí)際意義，通過函數(shù)變換將原始數(shù)據(jù)壓縮到[0,1]之間。 設(shè)原始數(shù)據(jù)為x=(x1, x2,…, xn), 常用的變換公式有,,二、模糊模式識(shí)別,所謂模式識(shí)別，就是指把要識(shí)別的對(duì)象通過與已知模式比較，確定它與哪個(gè)模式相近或類同的過程。 模糊模式識(shí)別方法基于模糊度量

13、和模糊識(shí)別原則進(jìn)行模式識(shí)別。模糊模式識(shí)別中采用的度量是模糊集的貼近度；常用的識(shí)別原則有最大隸屬度原則和擇近原則。,1. 模糊集的貼近度,貼近度與距離相反，是反映兩個(gè)模糊集接近程度的一種度量。常用的貼近度有 (1) 海明貼近度 (2) 歐幾里得貼近度,(3) 最大(小)貼近度——格貼近度 通常，很難比較各種貼近度的優(yōu)劣。在實(shí)際中需要根據(jù)問題的性質(zhì)和特點(diǎn)選擇適當(dāng)?shù)馁N近度

14、。,,2. 模糊識(shí)別準(zhǔn)則,通常采用最大隸屬原則和擇近原則進(jìn)行模糊識(shí)別。 (1) 最大隸屬原則 設(shè)論域 U上的模糊子集 A的隸屬函數(shù)為 。對(duì)U中待考察對(duì)象x1, x2,…, xn，若存在xk，使得則應(yīng)使xk優(yōu)先屬于A。,設(shè)A1, A2,…, An為論域 U上的n個(gè)模糊子集，隸屬函數(shù)分別為 。對(duì) ，若存在

15、Ak，使得則應(yīng)使x0優(yōu)先屬于Ak。 (2) 擇近原則 設(shè)A1, A2,…, An為論域 U上的n個(gè)模糊子集，被識(shí)別對(duì)象B也是U上的模糊子集。,,若存在Ak，使得則使B優(yōu)先屬于Ak。,,3. 模糊識(shí)別綜合舉例,例1 下表為湖泊水質(zhì)評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)?，F(xiàn)測(cè)得杭州西湖、武漢東湖、青海湖、巢湖、滇池總磷的含量分別為130,105,20,30,25， 請(qǐng)使用模糊識(shí)別方法判別這些湖泊所屬級(jí)別。,解 本題的結(jié)論是顯然的。

16、 設(shè)A, B, C, D, E分別表示總磷屬于從極貧營(yíng)養(yǎng)到極富營(yíng)養(yǎng)各級(jí)別，其隸屬函數(shù)為,,經(jīng)計(jì)算，,根據(jù)最大隸屬原則，就總磷而言，杭州西湖和武漢東湖屬富營(yíng)養(yǎng)，青海湖、巢湖、滇池屬中營(yíng)養(yǎng)。,,例2 評(píng)價(jià)茶葉的因素集U={條索,色澤,凈度,湯色,香氣,滋味}。茶葉五種等級(jí)的模糊集為I=(0.5, 0.4, 0.3, 0.6, 0.5, 0.4), II=(0.3, 0.2, 0.2, 0.1, 0.2, 0.2), III

17、=(0.2, 0.2, 0.2, 0.1, 0.1, 0.2), IV=(0, 0.1, 0.2, 0.1, 0.1, 0.1), V=(0, 0.1, 0.1, 0.1, 0.1)?，F(xiàn)有一種待識(shí)別的茶葉A= (0.4, 0.2, 0.1, 0.4, 0.5, 0.6)，試確定A的等級(jí)。 解 經(jīng)計(jì)算，A與各模糊集的海明貼近,,度、歐氏貼近度、格貼近度分別為 可見，無論采用何種貼近度，A均屬于I

18、級(jí)。,,三、模糊聚類,對(duì)研究對(duì)象按一定標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行分類的數(shù)學(xué)方法稱為聚類分析。在聚類分析中，有些分類是可以精確劃分的，有些分類則由于分類界限不明確而不能精確劃分。對(duì)于這類問題，可以采用模糊聚類方法。 模糊聚類通常按照下列步驟進(jìn)行: (1) 數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化；(2) 建立模糊相似矩陣；(3) 按一定原則模糊聚類。,1. 數(shù)據(jù)標(biāo)準(zhǔn)化,設(shè)論域U={x1, x2,…, xm}為待分類的對(duì)象, 每個(gè)對(duì)象又由n個(gè)指標(biāo)表示

19、其性態(tài), 即xi={xi1, xi2,…, xin}，i=1,2, …, m，從而得原始數(shù)據(jù)矩陣,數(shù)據(jù)化包括兩個(gè)方面，一是將原始數(shù)據(jù)無量綱化，即消除各指標(biāo)量綱的影響；二是將原始數(shù)據(jù)變換至區(qū)間[0, 1]。 (1) 平移—標(biāo)準(zhǔn)差變換——去量綱 利用平移—標(biāo)準(zhǔn)差變換法將原始數(shù)據(jù)中第j個(gè)指標(biāo)無量綱化：其中 是第j個(gè)指標(biāo)的平均值，sj=,,是第j個(gè)指標(biāo)的標(biāo)準(zhǔn)差。

20、 經(jīng)過變換后，每個(gè)指標(biāo)的均值為0，標(biāo)準(zhǔn)差為1，且消除了量綱的影響。 (2) 平移—極差變換 經(jīng)過變換后，則 。 由此得到的矩陣稱為標(biāo)準(zhǔn)化矩陣。,,2. 建立模糊相似矩陣,(1) 模糊矩陣 定義 稱為模糊矩陣。 對(duì)模糊矩陣 ① ②

21、 ③ ④ ⑤,⑥ 設(shè) ，則模糊矩陣 稱為A與B的合成， 。 ⑦ 設(shè) ，則 。 (2) 模糊相似矩陣與模糊等價(jià)矩陣 定義 若模糊矩陣R滿足

22、 ① (自反性) ② (對(duì)稱性)則稱R為模糊相似矩陣。,,若R再滿足 ③ (傳遞性)則稱R為模糊等價(jià)矩陣。 例如，為模糊相似矩陣。但由于,,顯然， ，即R1為模糊等價(jià)矩陣，而R2不是。 (3) 傳遞閉包 定理 若R為模糊相似矩陣，則

23、存在一個(gè)最小的自然數(shù) ，使得Rk為模糊等價(jià)矩陣，且對(duì)一切大于k的自然數(shù) l，恒有 。 Rk稱為R的傳遞閉包, 記為t(R)。 從上述定理可得將n階模糊相似矩陣R改造為n階模糊等價(jià)矩陣的方法：,,從n階模糊相似矩陣R出發(fā)，依次求平方 ，直到為止，則 。 例如，,,

24、故傳遞閉包 (4) 模糊矩陣的λ—截矩陣 定義 對(duì)模糊矩陣 及 ，令,,則稱 為R的λ—截矩陣。 例如，則,,(5) 相似系數(shù)的確定 設(shè)論域X={x1,x2,…,xm}，xi的觀察值為(xi1,xi2,…,xin)，即數(shù)據(jù)矩陣 A=(xij)。若xi和 xj的相似程度

25、為rij=R(xi, xj)，則稱之為相似系數(shù)。確定相似系數(shù)有下列方法： ① 數(shù)量積法 ② 相關(guān)系數(shù)法 ③ 夾角余弦法 ④ 最大最小法,,⑤ 算術(shù)平均法 ⑥ 幾何平均法 上述方法中的具體公式見相關(guān)資料書籍。至于選擇上述何種方法，要視具體情況而定。,,3. 模糊聚類方法與原則,模糊聚類分析方法大致分為三類：一是基于模糊等價(jià)關(guān)系的傳遞閉包法；二是基于模糊

26、相似關(guān)系的直接聚類法；三是基于模糊C—?jiǎng)澐值木稻垲惙ā?(1) 傳遞閉包法 ① 用逐步平方法求出模糊相似矩陣R的傳遞閉包t(R)=Rk。 ② 給定 ，求t(R)的λ—截矩陣,。 ③ 若 ，則xi與xj在分類水平λ上劃為一類；若 ，則xi與xj在分類水平λ上不為

27、一類。 對(duì)于不同的分類水平λ, 可得不同的聚類結(jié)果，從而形成動(dòng)態(tài)聚類。 (2) 直接聚類法 直接聚類法包括最大樹法和編網(wǎng)法。 下面簡(jiǎn)單介紹編網(wǎng)法。,,① 對(duì)模糊相似矩陣R，取定 ，做λ—截矩陣 。 ② 在 的對(duì)角線上依次填入x1,x2,…,xm在對(duì)角線下方以“*”代替1，0則略而不寫。 ③ 由節(jié)點(diǎn)“*”向?qū)蔷€

28、引經(jīng)線和緯線，稱之為編網(wǎng)；通過經(jīng)緯線能連接起來的元素劃為一類，否則不為一類。 從而就實(shí)現(xiàn)了λ水平上的聚類。,,(3) 模糊C－均值聚類法 設(shè) 。模糊C－均值聚類就是將X劃分為c類 ，V={v1,v2,…,vc}是c類聚類中心。令 uij 表示第i個(gè)樣本屬于第j 類的隸屬度，其中 。 模糊C－均值聚類的準(zhǔn)則：

29、 定義目標(biāo)函數(shù)為,,其中 。 顯然, J(U,V)為各類中樣本到聚類中心的加權(quán)距離平方和，權(quán)重是樣本xi 對(duì)第 J類隸屬度的e次方，聚類準(zhǔn)則取為求J(U, V)的極小值。 模糊C－均值聚類的步驟： ① 取定c>1, e>1(通常取e=2)和初始隸屬矩陣 ，迭代步長(zhǎng)k=0；

30、 ② 計(jì)算聚類中心V為,,③ 修正隸屬度矩陣U其中， 為第i個(gè)樣本到第j類中心的歐氏距離； ④ 對(duì)給定的 ，進(jìn)行迭代計(jì)算直至 ，則算法終止，否則，k=k+1，轉(zhuǎn)向②；,,⑤ 若 ，則第i個(gè)樣本屬于第j0類。 Mat

31、lab中有直接實(shí)現(xiàn)模糊均值聚類的命令——fcm，其調(diào)用格式為： [center,U,obj_fcn]=fcm(data,cluster_n)其中，data—原始數(shù)據(jù)矩陣，每一行為一個(gè)樣本；cluster_n—算法中的聚類數(shù)(>1)； center—最終的聚類中心矩陣，其每一行為一個(gè)聚類中心；,,U—最終的隸屬度矩陣；obj_fcn—迭代過程中的目標(biāo)函數(shù)值。 (4) 最佳閾值λ的確定

32、 在應(yīng)用傳遞閉包法或直接聚類法進(jìn)行聚類時(shí)，當(dāng)λ值變動(dòng)時(shí)形成了一個(gè)動(dòng)態(tài)聚類。這固然便于我們?nèi)媪私饩垲惽闆r，但也產(chǎn)生了一個(gè)問題：哪個(gè)λ對(duì)應(yīng)的分類是最合理的呢？即如何選擇閾值λ。除了憑經(jīng)驗(yàn)外，一般用F-統(tǒng)計(jì)量來選取。,,設(shè)X={x1,x2,…,xm}為待分類對(duì)象，xi= (xi1,xi2,…,xin)為描述對(duì)象xi的特征向量。又設(shè)c為對(duì)應(yīng)于λ值的類數(shù)，mk為劃歸第k類的對(duì)象的個(gè)數(shù)，第k類的對(duì)象記為 ，相應(yīng)地記

33、 。 令,,它們分別為第k類對(duì)象和全體對(duì)象的第j個(gè)特征的平均值。分別稱為第k類對(duì)象和全體對(duì)象的聚類中心向量。 構(gòu)造F-統(tǒng)計(jì)量則易見其分子表征類與類間的距離，分母表征類內(nèi)對(duì)象間的距離, 故F值越大, 說明,,分類越合理，從而與此分類相對(duì)應(yīng)的F-統(tǒng)計(jì)量最大的閾值λ即為最佳值。,,4. 模糊聚類程序及綜合例題與練習(xí),用Matlab 編制了

34、傳遞閉包法模糊聚類程序。該程序可用多種方法給出模糊相似矩陣，計(jì)算傳遞閉包，確定適當(dāng)?shù)姆诸愃?，給出各分類水平下的分類方案，并求出最合理的分類方案。,例1 設(shè)U={x1,x2,…,x7}, x1=(7,9,2, 5), x2 =(3, 5, 5, 6), x3=(7, 7, 5, 4), x4=(7, 6, 7.2, 3), x5=(6, 4, 2, 6), x6=(3, 8, 5, 4), x7=(4, 7, 6, 3)。試用算術(shù)平

35、均最小法建立模糊相似矩陣，用傳遞閉包法進(jìn)行模糊聚類。 解 利用所編程序按下列五步計(jì)算： (1) 輸入原始數(shù)據(jù)矩陣； (2) 計(jì)算A的標(biāo)準(zhǔn)化矩陣B； (3) 用算術(shù)平均最小法建立B的模糊相,,似矩陣R； (4) 計(jì)算R的傳遞閉包tR； (5) 根據(jù)閉包計(jì)算分類水平λ，λ是tR中所有互異的數(shù)(從小到大)； (6) 求不同水平下的分

36、類方案，并求出最合理的分類方案。 動(dòng)態(tài)模糊聚類圖見下：,,例2 設(shè)U={x1,x2, x3,x4,x5}表示父、子、女、鄰居、母五人組成的一個(gè)集合，請(qǐng)用直接法對(duì)這五人按相貌相像程度進(jìn)行模糊分類。 解 首先對(duì)五人按相貌相像程度打分，得到相似矩陣,,然后，求λ—截矩陣R0.6再編制下列表格，畫出經(jīng)緯線,,顯然，在λ=0.6分類水平下，U分為兩類{x1,x2, x3, x5}和{x4}。,例3

37、根據(jù)下表對(duì)各地區(qū)生產(chǎn)力水平進(jìn)行模糊C-均值聚類分析：,,,,本題可直接調(diào)用Matlab模糊C-均值聚類命令fcm進(jìn)行計(jì)算，有興趣者可以一試。,,四、模糊綜合評(píng)價(jià),事物通常需要用多個(gè)指標(biāo)刻畫其性質(zhì)和特征，人們對(duì)事物的評(píng)價(jià)又往往不是簡(jiǎn)單的是與非，而是采用比較模糊的語言給出不同程度的評(píng)價(jià)。由于評(píng)價(jià)等級(jí)間的關(guān)系是模糊的，沒有絕對(duì)明確的界限，對(duì)于這類模糊評(píng)價(jià)問題，經(jīng)典的評(píng)價(jià)方法存在著不合理性，應(yīng)用模糊數(shù)學(xué)方法進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)應(yīng)該可以取得更好的實(shí)際效果

38、。,模糊綜合評(píng)價(jià)作為模糊數(shù)學(xué)的一種具體應(yīng)用，最早由我國(guó)學(xué)者汪培莊提出?；舅枷胧牵阂阅：龜?shù)學(xué)為基礎(chǔ)，應(yīng)用模糊關(guān)系合成原理，將一些邊界不清、不易定量的因素定量化，從多個(gè)因素對(duì)被評(píng)價(jià)事物隸屬等級(jí)狀況進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。具體步驟為：首先確定被評(píng)價(jià)對(duì)象的因素集和評(píng)價(jià)集，然后再分別確定各因素的權(quán)重及它們的隸屬度向量，獲得模糊評(píng)價(jià)矩陣，最后,,將模糊評(píng)價(jià)矩陣與因素的權(quán)向量進(jìn)行模糊運(yùn)算并歸一化，從而得到模糊評(píng)價(jià)綜合結(jié)果。 模糊綜合評(píng)價(jià)法簡(jiǎn)單

39、易掌握，對(duì)多因素、多層次的復(fù)雜問題評(píng)價(jià)效果比較好，很難為其它評(píng)價(jià)方法所替代。,,1. 確定評(píng)價(jià)指標(biāo)和評(píng)價(jià)等級(jí),設(shè)U={u1, u2,…, um}為刻畫被評(píng)價(jià)對(duì)象的m種因素，即評(píng)價(jià)指標(biāo)；V={v1,v2,…,vn}為刻畫每一因素所處狀態(tài)的n種評(píng)語, 即評(píng)價(jià)等級(jí)。 這里，m 為評(píng)價(jià)因素的個(gè)數(shù)，通常由具體指標(biāo)體系決定; n為評(píng)語的個(gè)數(shù), 一般劃分為3～5個(gè)等級(jí)。,例如，某服裝廠欲采用模糊綜合評(píng)價(jià)法來了解顧客對(duì)某種服裝的歡

40、迎程度。 顧客是否喜歡某種服裝，通常與這種服裝的花色、樣式、價(jià)格、耐用度和舒適度等因素有關(guān)，故確定評(píng)價(jià)服裝的因素集為U={花色, 樣式, 價(jià)格, 耐用度, 舒適度}。 綜合評(píng)價(jià)的目的是弄清楚顧客對(duì)衣服各方面的歡迎程度。因此，評(píng)價(jià)集應(yīng)為V ={很歡迎, 歡迎, 一般, 不歡迎}。,,2. 構(gòu)造模糊綜合評(píng)價(jià)矩陣,在確定了評(píng)價(jià)指標(biāo)和評(píng)價(jià)等級(jí)后，接著就要對(duì)每個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)ui (i=1,2,…m) 逐一進(jìn)行模糊評(píng)價(jià)。

41、 具體評(píng)價(jià)方法是：對(duì)某個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo) ui 給出其能被評(píng)為等級(jí) vj 的隸屬度 rij。rij 可理解為指標(biāo) ui 能評(píng)為等級(jí)vj 的頻率，通常要將rij 歸一化以便于使用。,設(shè)指標(biāo)ui的模糊評(píng)價(jià)為ri=(ri1,ri2,…,rin),則對(duì)所有評(píng)價(jià)指標(biāo)ui (i=1,2,…m) 進(jìn)行的模糊評(píng)價(jià)構(gòu)成的矩陣稱為各指標(biāo)的模糊綜合評(píng)價(jià)矩陣。,,確定隸屬度 rij 的方法通常有兩種。 對(duì)于主觀或定性的指標(biāo)可

42、采用等級(jí)比重法，即計(jì)算評(píng)價(jià)者給出的等級(jí)比重。應(yīng)用等級(jí)比重法時(shí)要注意: (1)評(píng)價(jià)者的人數(shù)要足夠多; (2)評(píng)價(jià)者對(duì)被評(píng)事物要有相當(dāng)?shù)牧私狻?對(duì)于客觀和定量指標(biāo)，可以采用頻率法，即以評(píng)價(jià)值在各等級(jí)區(qū)間中出現(xiàn)的頻率作為隸屬度。,,例如，在前例中，對(duì)該服裝的花色，眾多被調(diào)查者中有20%認(rèn)為“很歡迎”, 50%認(rèn)為“歡迎”，30%認(rèn)為“一般” ，沒有人認(rèn)為“不歡迎”，則u1的評(píng)價(jià)向量為R1=(0.2, 0.5, 0.3,

43、0)同理可得其它指標(biāo)的評(píng)價(jià)向量為R2=(0.1, 0.3, 0.5, 0.1)，R3=(0, 0.1, 0.6, 0.3),R4=(0, 0.4, 0.5, 0.1)， R5=(0.5, 0.3, 0.2, 0)。 由此可得模糊綜合評(píng)價(jià)矩陣為,,,,,,3. 評(píng)價(jià)指標(biāo)權(quán)重的確定,確定了模糊綜合評(píng)價(jià)矩陣，尚不足以對(duì)事物做出評(píng)價(jià)。原因在于，各評(píng)價(jià)指標(biāo)在評(píng)價(jià)目標(biāo)中有不同的地位和作用，即各評(píng)價(jià)指標(biāo)在綜合評(píng)價(jià)中占有不同的權(quán)重

44、。 通常引入一個(gè)模糊向量A=(a1,a2,…,an)來表示各評(píng)價(jià)指標(biāo)在目標(biāo)中所占權(quán)重，稱之為權(quán)重向量。其中ai為ui的權(quán)重, 且滿足 。,確定權(quán)重的常用方法有主觀和客觀兩類方法。主觀法也稱專家評(píng)測(cè)法，即請(qǐng)若干專家就各指標(biāo)的重要性進(jìn)行評(píng)分，平均后即得各指標(biāo)權(quán)重?？陀^法是根據(jù)各指標(biāo)間的聯(lián)系，利用數(shù)學(xué)方法計(jì)算出各指標(biāo)的權(quán)重，如質(zhì)量分?jǐn)?shù)法、變異系數(shù)法等。 其實(shí)，利

45、用灰色關(guān)聯(lián)分析法和層次分析法確定權(quán)重是非常新穎、有效的方法。這涉及到多種方法的融合，較為復(fù)雜。,,,下面通過兩個(gè)實(shí)例分別介紹質(zhì)量分?jǐn)?shù)法和變異系數(shù)法。 例1 水質(zhì)分級(jí)標(biāo)準(zhǔn)如下表：現(xiàn)測(cè)得某水井上述各污染物含量分別為,,0.008, 0.185, 0.004, 0.164, 0.140，試確定酚, 氰, 汞, 鉻, 砷在確定水質(zhì)等級(jí)中的權(quán)重。 解 根據(jù)質(zhì)量分?jǐn)?shù)法，可根據(jù)下列步驟確定各污染物的權(quán)重：

46、 (1) 計(jì)算Pi=Ci/C0i，其中Ci為第i 種污染物在水中的實(shí)測(cè)濃度, C0i為第i 種污染物在水中濃度的平均允許值； (2) 歸一化后的Pi即 即為第i 種污染物的權(quán)重 。,,若未給出各污染物的平均允許值，則用第 i 項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)和各級(jí)標(biāo)準(zhǔn)值的平均值代替C0i。,,,所以各評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重分別為0.196, 0.217, 0.213, 0.205, 0.169。

47、 例2 已知5個(gè)投資方案如下表，試確定4個(gè)評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重。,,變異系數(shù)法的設(shè)計(jì)原理是：若某項(xiàng)指標(biāo)的數(shù)值能明確區(qū)分開各個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象，說明該指標(biāo)在這項(xiàng)評(píng)價(jià)上的分辨信息豐富,因而應(yīng)給該指標(biāo)以較大的權(quán)重；反之，若各個(gè)被評(píng)價(jià)對(duì)象在某項(xiàng)指標(biāo)上的數(shù)值差異較小，那么這項(xiàng)指標(biāo)區(qū)分各評(píng)價(jià)對(duì)象的能力較弱，因而應(yīng)給該指標(biāo)較小的權(quán)重。,解 根據(jù)變異系數(shù)法，可根據(jù)下列步驟確定各指標(biāo)的權(quán)重： (1) 計(jì)算第i 項(xiàng)指標(biāo)的均值與方差

48、 (2) 令 ，則歸一化的vi 即為各指標(biāo)的權(quán)重，即,,同理， 。從而，4項(xiàng)評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)重為,,4. 模糊合成與綜合評(píng)價(jià),模糊綜合評(píng)價(jià)矩陣 R 中的不同行反映了被評(píng)價(jià)事物從不同的指標(biāo)評(píng)價(jià)對(duì)各等級(jí)的隸屬程度。用權(quán)向量A 將不同的行進(jìn)行綜合，就可得到被評(píng)價(jià)事物從總體上對(duì)各等級(jí)的隸屬程度，即模糊綜合評(píng)

49、價(jià)結(jié)果。 通常采用所謂“模糊合成”來實(shí)現(xiàn)上述綜合，基本思想是：對(duì)評(píng)價(jià)矩陣 R和權(quán)向量A進(jìn)行某種適當(dāng)?shù)哪：\(yùn)算，將兩者合,成為一個(gè)模糊向量B={b1,b2,…,bn}，即B=A ，然后對(duì)B 按照一定法則進(jìn)行綜合分析后即可得出最終的模糊綜合評(píng)價(jià)結(jié)果。 常用的模糊合成算子 有： (1) ——主因素決定型 (2)

50、 ——主因素突出型 (3) ——主因素顯著型 (4) ——加權(quán)平均型 上述四種模糊合成算子的特點(diǎn)是：,,其實(shí)，也可以取 為普通的矩陣乘法，此時(shí)合成即為加權(quán)平均。至于到底取何種算子取決于問題的性質(zhì)和算子的特點(diǎn)。,,例3 設(shè)試用上述四種合成算子計(jì)算向量B。 解 (1)B=(0.3,

51、0.3, 0.3, 0.2)。,,(2)B=(0.15, 0.12, 0.12, 0.08)。 (3) B=(0.8, 0.8, 0.7, 0.3)。,,(4)B=(0.32, 0.29, 0.24, 0.11)。,,B稱為模糊綜合評(píng)價(jià)向量或決策集，bij滿足 ，且通常需要?dú)w一化。 B一般不能直接用于被評(píng)價(jià)對(duì)象間的排序評(píng)優(yōu), 而必須經(jīng)進(jìn)一步的分析處理后方可使

52、用。 分析處理B的常用方法有： (1) 最大隸屬原則，即認(rèn)定被評(píng)價(jià)對(duì)象的等級(jí)為最大隸屬度對(duì)應(yīng)的等級(jí)； (2) 加權(quán)平均原則，具體方法是：給評(píng),價(jià)等級(jí)集V={v1,v2,…,vn}中的各等級(jí)賦以適當(dāng)?shù)膮?shù) C={c1,c2,…,cn}，用歸一化的權(quán)向量B={b1,b2,…,bn}對(duì)C的加權(quán)平均值做為模糊綜合評(píng)價(jià)結(jié)果。 例如，設(shè)權(quán)向量B={0.4, 0.3, 0.2, 0.

53、1},給評(píng)價(jià)等級(jí)集{很好, 好, 一般,差}分別賦值{4, 3, 2, 1}，則模糊綜合評(píng)價(jià)等級(jí)為,5. 模糊綜合評(píng)價(jià)舉例,例1 在教學(xué)過程的綜合評(píng)價(jià)中，取U= {清楚易懂，教材熟悉，生動(dòng)有趣，板書整齊清晰}, V={很好，較好，一般，不好}。設(shè)某班學(xué)生對(duì)教師的教學(xué)評(píng)價(jià)矩陣為,若考慮權(quán)重A=(0.5, 0.2, 0.2, 0.1)，試求學(xué)生對(duì)這位教師的綜合評(píng)價(jià)。 解 根據(jù) A和 R，利用四種合成算子，編程計(jì)算得

54、結(jié)果表明，學(xué)生對(duì)該老師在 “教材熟悉” 方,面最認(rèn)可，“清楚易懂”次之，面“板書整齊清晰”則得不到認(rèn)可。A=[];R=[];[m,n]=size(R);for j=1:n H=[]; for i=1:m H=[H min(A(i), R(I,j))];,end B(1,j)=max(H); B(2,j)=sum(H); B(3,j)=max(A.*R(: ,

55、 j)’); B(4,j)=sum(A.*R(: , j)’);Endfor i=1:m B(i ,:)= B(i ,:)/ sum(B(i ,:));end,例2 對(duì)第3節(jié)例2中的5個(gè)方案進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)。 解 在例2中的4個(gè)指標(biāo)中，投資額、風(fēng)險(xiǎn)損失為成本型，期望凈現(xiàn)值、風(fēng)險(xiǎn)盈利值為效益型。首先對(duì)指標(biāo)矩陣進(jìn)行無量綱化，得各方案關(guān)于理想方案的相對(duì)優(yōu)級(jí)屬度矩陣,其中，然后計(jì)算各評(píng)價(jià)指標(biāo)的權(quán)，得權(quán)向

56、量W=(0.259, 0.235, 0.246, 0.259)最后加權(quán)平均得b=(0.9042, 0.6912, 0.8274, 0.6547, 0.6303)故方案排序?yàn)?, 3, 2, 4, 5。,例3 現(xiàn)有下列5個(gè)農(nóng)業(yè)技術(shù)經(jīng)濟(jì)方案，試評(píng)價(jià)各方案的優(yōu)劣。,五、綜合評(píng)價(jià)方法的組合,常用的綜合評(píng)價(jià)方法有層次分析法、模糊綜合評(píng)價(jià)法、灰色關(guān)聯(lián)分析法、數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)評(píng)價(jià)法等。 應(yīng)用不同的評(píng)價(jià)方法對(duì)同一評(píng)價(jià)

57、對(duì)象可能得到不同的評(píng)價(jià)結(jié)果，這是綜合評(píng)價(jià)理論中的一個(gè)難題。 每個(gè)方法的提出都有其特殊的背景、意義和適用范圍，即方法的優(yōu)劣沒有絕對(duì),的標(biāo)準(zhǔn)，單純從機(jī)理上判別方法的好壞是不可行的。為此，有學(xué)者提出了所謂組合評(píng)價(jià)方法。 為了理解“組合”的含義，先將評(píng)價(jià)法做一下分類。 評(píng)價(jià)法通常可分為兩類：主觀賦權(quán)評(píng)價(jià)法和客觀賦權(quán)評(píng)價(jià)法。前者如層次分析法、模糊綜合評(píng)價(jià)法，后者有灰色關(guān)聯(lián)分析法、數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法和人工

58、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)評(píng),價(jià)法。組合的基本思想是將兩類方法綜合,以實(shí)現(xiàn)二者的優(yōu)勢(shì)互補(bǔ)，得到更合理、科學(xué)的評(píng)價(jià)結(jié)果。當(dāng)然，也可以將同一類評(píng)價(jià)方法進(jìn)行組合。 從理論上講，組合評(píng)價(jià)法應(yīng)該比單一評(píng)價(jià)方法更合理、更科學(xué)。但絕不能說組合評(píng)價(jià)法就一定優(yōu)于單一評(píng)價(jià)法，而且并不是任兩種評(píng)價(jià)法都能隨意組合。 最常用的組合評(píng)價(jià)方法是將層次分析,法與模糊綜合評(píng)價(jià)法、灰色關(guān)聯(lián)分析法、數(shù)據(jù)包絡(luò)分析法和人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)評(píng)價(jià)法組合，其基本思想是，將評(píng)價(jià)指

59、標(biāo)體系分成若干層次結(jié)構(gòu)，運(yùn)用層次分析法確定各指標(biāo)的權(quán)重，然后分層次再利用另一方法進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，最后綜合出總的評(píng)價(jià)結(jié)果。 上述方法較為復(fù)雜，詳見相關(guān)書籍與專著。(現(xiàn)代綜合評(píng)價(jià)方法與案例精選),模糊綜合評(píng)價(jià)練習(xí),1. 下表為三峽水利工程樞紐確定正常蓄水位的四個(gè)技術(shù)方案。對(duì)其進(jìn)行綜合評(píng)價(jià)，找出最優(yōu)方案。,2. 給定有關(guān)數(shù)據(jù)如下，試?yán)镁C合評(píng)價(jià)法，對(duì)上海、北京、天津、云南的科技進(jìn)步進(jìn)行排名。,3. 2005年安徽省各地市水資源數(shù)