高等工程數學

1、單因素試驗的方差分析,在工農業(yè)生產和科研活動中，我們經常遇到這樣的問題：影響產品產量、質量的因素很多，例如影響農作物的單位面積產量有品種、施肥種類、施肥量等許多因素。我們要了解這些因素中哪些因素對產量有顯著影響，就要先做試驗，然后對測試結果進行分析，作出判斷。方差分析就是分析測試結果的一種方法。,引 言,基 本 概 念,試驗指標——試驗結果。,可控因素——在影響試驗結果的眾多因素中，可人為

2、 控制的因素。,水平——可控因素所處的各種各種不同的狀態(tài)。每個 水平又稱為試驗的一個處理。,單因素試驗——如果在一項試驗中只有一個因素改變， 其它的可控因素不變，則該類試驗稱為 單因素試驗。,引例,例1 （燈絲的配料方案優(yōu)選）某燈泡廠用四種配料方案制成的燈絲生產了四批燈泡，在每批燈

3、泡中作隨機抽樣，測量其使用壽命（單位：小時），數據如下：,,,燈泡的使用壽命——試驗指標,燈絲的配料方案——試驗因素（唯一的一個）,四種配料方案（甲乙丙?。膫€水平,因此，本例是一個四水平的單因素試驗。,引 例,用X1，X2，X3，X4分別表示四種燈泡的使用壽命，即為四個總體。假設X1，X2，X3，X4相互獨立，且服從方差相同的正態(tài)分布，即Xi~N（?i，?2）（i=1，2，3，4）,本例問題歸結為檢驗假設 H0：?1=

4、?2= ?3= ?4 是否成立,我們的目的是通過試驗數據來判斷因素 A 的不同水平對試驗指標是否有影響。,設 A 表示欲考察的因素，它的 個不同水平，對應的指標視作 個總體 每個水平下,我們作若干次重復試驗： （可等重復也可不等重復），同一水平的 個結果，就是這個總體 的一個樣本：,單因素試驗的方差分析,單因素試驗

5、資料表,縱向個體間的差異稱為隨機誤差（組內差異），由試驗造成；橫向個體間的差異稱為系統(tǒng)誤差（組間差異），由因素的不同水平造成。,由于同一水平下重復試驗的個體差異是隨機誤差，所以設：,其中 為試驗誤差，相互獨立且服從正態(tài)分布,線性統(tǒng)計模型,單因素試驗的方差分析的數學模型,具有方差齊性。,相互獨立，從而各子樣也相互獨立。,首先，我們作如下假設：,即,令 （其中

6、 ）稱為一般平均值。,稱為因素A的第 個水平 的效應。,則線性統(tǒng)計模型變成,于是檢驗假設：,等價于檢驗假設：,顯然有：,整個試驗的均值,考察統(tǒng)計量,經恒等變形，可分解為：,其中,反映的是各水平平均值偏離總平均值的偏離程度。,,如果H0 成立，則SSA 較小。,若H0成立，則,總離差平方和,見書P168,其中,這里,反映的是重復試驗種隨機誤差的大小。,表示水平Ai的隨機誤差； 表示整個試驗的隨機誤差,若假設

7、 成立，則,由P106定理5.1可推得：,將 的自由度分別記作,則,（記 ，稱作均方和）,（各子樣同分布）,則,（記

8、 ，稱作均方和）,對給定的檢驗水平 ，由,得H0 的拒絕域為：,F 單側檢驗,,結論：方差分析實質上是假設檢驗，從分析離差平方和入手，找到F統(tǒng)計量，對同方差的多個正態(tài)總體的均值是否相等進行假設檢驗。單因素試驗中兩個水平的均值檢驗可用第七章的T檢驗法。,思考：為什么此處只做單側檢驗？,（1）若 ，則稱因素的差異極顯著（極有統(tǒng)計意義），或稱因素A的影響高度顯著，這時作標記

9、 ；,約 定,（2）若 ，則稱因素的差異顯著（差異有統(tǒng)計意義），或稱因素A的影響顯著，作標記 ；,（3）若 ，則稱因素A有一定影響，作標記（ ）；,（4）若 ，則稱因素A無顯著影響（差異無統(tǒng)計意義）。,注意：在方差分析表中，習慣于作如下規(guī)定：,簡便計算公式：,其中,同一水

10、平下觀測值之和,所以觀測值之和,例2 P195 2 以 A、B、C 三種飼料喂豬，得一個月后每豬所增體重（單位：500g）于下表，試作方差分析。,解：,,解：,,不同的飼料對豬的體重的影響極有統(tǒng)計意義。,列方差分析表,例2的上機實現步驟,1、輸入原始數據列，并存到A，B，C列；,2、選擇Stat>ANOVA>one-way(unstacked),,,不同的飼料對豬的體重的影響極有統(tǒng)計意義。,定理 在單因素方差分析