計數(shù)原理課件2

1、1．1　分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理,1．通過實例總結出分類加法計數(shù)原理，理解分類加法計數(shù)原理；2．通過實例總結出分步乘法計數(shù)原理，理解分步乘法計數(shù)原理；3．會利用兩個計數(shù)原理解決一些簡單問題．,本節(jié)重點：歸納得出兩個計數(shù)原理，能運用它們解決簡單的實際問題．本節(jié)難點：正確理解“完成一件事情”的含義，正確區(qū)分“分類”與“分步”．,1．分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n

2、種不同的方法，那么完成這件事共有N＝種不同的方法．2．分類加法計數(shù)原理的推廣完成一件事有n類不同的方案，在第1類方案中有 m1種不同的方法，在第2類方案中有m2種不同的方法，…，在第n類方案中有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝ 種不同的方法．,m＋n,m1＋m2＋…＋mn,3．分步乘計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝種不同的方法．4．分

3、類計數(shù)乘法原理的推廣完成一件事需要分成n個步驟，做第1步有m1種不同的方法，做第2步有m2種不同的方法，…，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事共有N＝種不同的方法．,m×n,m1×m2×…×mn,5．兩個原理的聯(lián)系與區(qū)別分類加法計數(shù)原理和分步乘法計數(shù)原理，回答的都是有關做一件事的問題．區(qū)別在于：分類加法計數(shù)原理針對的是 問題，其中各種方法，其中任何一種

4、方法都可以完成這件事；分步乘法計數(shù)原理針對的是問題，各個步驟中的方法，只有各個步驟都完成才算完成這件事．,不同方法的種數(shù),相互獨立,分步,互相依存,分類,[例1]　在所有的兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個？[分析]　該問題與計數(shù)有關，可考慮選用兩個基本原理來計算，完成這件事，只要兩位數(shù)的個位、十位確定了，這件事就算完成了，因此可考慮按十位上的數(shù)字情況或按個位上的數(shù)字情況進行分類．,[解析]　解法一：按十位數(shù)上

5、的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8的情況分為8類，在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個，7個，6個，5個，4個，3個，2個，1個．由分類加法計數(shù)原理知，符合題意的兩位數(shù)的個數(shù)共有8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個)．解法二：按個位數(shù)字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是1個，2個，3個，4個，5個，6個，7個，8個，所以按分類加法計數(shù)原理共有1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36

6、(個)．,[點評]　解決該類問題應從簡單入手分類討論，要做到不重不漏，盡量做到一題多解，從不同的角度考慮問題．,(1)有5本書全部借給3名學生，有多少種不同的借法？(2)有3名學生分配到某工廠的5個車間去參加社會實踐 ，則有多少種不同分配方案？,[解析]　(1)中要完成的事件是把5本書全部借給3名學生，可分5個步驟完成，每一步把一本書借出去，有3種不同的方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有N＝3×3×3×3&

7、#215;3＝35＝243(種)不同的借法．(2)中要完成的事件是把3名學生分配到5個車間中，可分3個步驟完成，每一步分配一名學生，有5種不同的方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有N＝5×5×5＝53＝125(種)不同的分配方案.,[例3]　一個三層書架的上層放有5本不同的數(shù)學書，中層放有3本不同的語文書，下層放有2本不同的英語書(1)從書架上任取一本書，有多少種不同的取法？(2)從書架上任取三本書，其中數(shù)學書、語

8、文書、英語書各一本，有多少種不同的取法？,[分析]　判別一種分法是“分類”還是“分步”的標準是看這種方法是否獨立地完成這件事情．如果能完成就是“分類”，如果不能單獨完成，就是“分步”．,[解析]　(1)從書架上任取一本書，有三類方法：第一類方法：從書架上層任取一本數(shù)學書，有5種不同的方法；第二類方法：從書架中層任取一本語文書，有3種不同的方法；第三類方法：從書架下層任取一本英語書，有2種不同的方法．只要在書架上任意取出一本書，任

9、務即完成，由分類加法計數(shù)原理知，不同的取法共有N＝5＋3＋2＝10(種)．,(2)從書架上任取三本書，其中數(shù)學書、語文書、英語書各一本，可以分成三個步驟完成：第一步：從書架上層取一本數(shù)學書，有5種不同的方法；第二步：從書架中層取一本語文書，有3種不同的方法；第三步：從書架下層取一本英語書，有2種不同的方法．由分步乘法計數(shù)原理知，不同的取法共有N＝5×3×2＝30(種)．,所以從書架上任取三本書，其中數(shù)學書、語

10、文書、英語書各一本，共有30種不同的取法．,[例4]　現(xiàn)有5幅不同的國畫，2幅不同的油畫，7幅不同的水彩畫．(1)從中任選一幅畫布置房間，有幾種不同的選法？(2)從這些國畫、油畫、水彩畫中各選一幅布置房間，有幾種不同的選法？(3)從這些畫中選出兩幅不同種類的畫布置房間，有幾種不同的選法？,[分析]　要分清完成這件事是分類還是分步，第(1)小題分三類，即從國畫或油畫或水彩畫中選一幅；第(2)小題要分步，即分別從國畫、油畫、水彩畫中各

11、選一幅才能完成這件事，故可用分步乘法計數(shù)原理；第(3)小題選先分類后分步，在每一類中用分步乘法計數(shù)原理，最后用分類加法計數(shù)原理．,[解析]　(1)分為三類：從國畫中選，有5種不同的選法；從油畫中選，有2種不同的選法；從水彩畫中選，有7種不同的選法．根據(jù)分類加法計數(shù)原理共有5＋2＋7＝14種不同的選法．(2)分為三步：國畫、油畫、水彩畫各有5種、2種、7種不同的選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有5×2×7＝70種不同的

12、選法．,(3)分為三類：第一類是一幅選自國畫，一幅選自油畫，由分步乘法計數(shù)原理知，有5×2＝10種不同的選法．第二類是一幅選自國畫，一幅選自水彩畫，有5×7＝35種不同的選法．第三類是一幅選自油畫，一幅選自水彩畫，有2×7＝14種不同的選法，所以有10＋35＋14＝59種不同的選法．,[點評]　用兩個計數(shù)原理解決具體問題時，首先要分清是“分類”還是“分步”，其次要清楚“分類”或“分步”的具體標準，在“分

13、類”時要遵循“不重不漏”的原則，在“分步”時要正確設計“分步”的程序，注意步與步之間的連續(xù)性；有些題目中“分類”與“分步”同時進行，即“先分類后分步”或“先分步后分類”．,一、選擇題1．已知x∈{2,3,7}，y∈{－31，－24,4}，則xy可表示不同的值的個數(shù)是(　　)A．1＋1＝2　　　　　　　B．1＋1＋1＝3C．2×3＝6 D．3×3＝9[答案]　D,[解析]　x，y在各自的取值集合中各

14、選一個值相乘求積這件事，可分為兩步完成：第一步，x在集合{2,3,7}中任取一個值有3種方法；第二步，y在集合{－31，－24，4}中任取一個值有3種方法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理知，有3×3＝9個不同值．,[答案]　A[解析]　1名同學有5種選擇，則6名同學共有56種選擇．,3．從6人中選4人分別到巴黎，倫敦，悉尼，莫斯科四個城市游覽，要求每個城市有一人游覽，每人只游覽一個城市，且這6人中甲，乙2個不去巴黎游覽，則不同的選擇方

15、案共有(　　)A．300種　　B．240種　　C．144種　　D．96種,[答案]　B[解析]　能去巴黎的有4個人，依次去倫敦，悉尼，莫斯科的有5個人，4個人，3個人，故不同的選擇方案為4×5×4×3＝240(種)．故選B.,二、填空題4．從數(shù)字1,2,3,4,5,6中取兩個數(shù)相加，其和是偶數(shù)，共得________個偶數(shù)．[答案]　4[解析]　分兩類：3個奇數(shù)兩兩相加，3個偶數(shù)兩兩相加，都得偶數(shù)