1分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理

1、1．1　分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理,第一章　計(jì)數(shù)原理,學(xué)習(xí)導(dǎo)航學(xué)習(xí)目標(biāo)重點(diǎn)難點(diǎn)　重點(diǎn)：兩個(gè)原理的理解與應(yīng)用．難點(diǎn)：學(xué)生對(duì)事件的把握．,1.分類加法計(jì)數(shù)原理 完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝_______種不同的方法．,m＋n,做一做1.若你班有男生26人，女生24人，從中選一位同學(xué)為數(shù)學(xué)課代表，有________種不

2、同選法．,答案：50,2.分步乘法計(jì)數(shù)原理 完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝_________種不同的方法．,m×n,想一想 分步乘法計(jì)數(shù)原理中的“各步方法”能單獨(dú)“完成這件事”嗎？ 提示：不能．,做一做2.已知集合A＝{1，2}，B＝{3，4，5}，從集合A和集合B中分別取一個(gè)元素作為平面直角坐標(biāo)系中的點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，可確定________

3、個(gè)不同點(diǎn)．,答案：6,題型一　分類加法計(jì)數(shù)原理在所有的兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個(gè)？,【解】　法一:按十位上的數(shù)字分別是1,2,3,4,5,6,7,8的情況分成8類,在每一類中滿足題目條件的兩位數(shù)分別是8個(gè),7個(gè),6個(gè),5個(gè),4個(gè),3個(gè),2個(gè),1個(gè).由分類加法計(jì)數(shù)原理知,符合題意的兩位數(shù)共有 8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝36(個(gè)).,法二:按個(gè)位上的數(shù)字是2,3,4,5,6,7,8,9分成8類,

4、在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是1個(gè),2個(gè),3個(gè),4個(gè),5個(gè),6個(gè),7個(gè),8個(gè),所以按分類加法計(jì)數(shù)原理,滿足條件的兩位數(shù)共有 1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8＝36(個(gè)).,【名師點(diǎn)評(píng)】　分類加法計(jì)數(shù)原理要求每一類中的各種方法都是相互獨(dú)立的,且每一類方法中的每一種方法都可以獨(dú)立地完成這件事.在應(yīng)用該原理解題時(shí),首先要根據(jù)問題的特點(diǎn),確定好分類的標(biāo)準(zhǔn).分類時(shí)應(yīng)滿足:完成一件事的任何一種方法,必屬于某一類且僅屬于某

5、一類.,互動(dòng)探究1.本例條件不變,問個(gè)位數(shù)字小于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個(gè)?解:當(dāng)個(gè)位數(shù)字為0,1,2,3,4,5,6,7,8時(shí),符合條件的兩位數(shù)分別有9,8,7,6,5,4,3,2,1個(gè),根據(jù)加法計(jì)數(shù)原理共有 9＋8＋7＋6＋5＋4＋3＋2＋1＝45(個(gè)).,題型二　分步乘法計(jì)數(shù)原理 已知a∈{3,4,6}, b∈{1,2,7,8}, r∈{8,9}, 則方程(x－a)2＋(y－b)2＝r2

6、可表示多少個(gè)不同的圓?,【解】　按a、b、r取值順序分步考慮:第一步,a從3、4、6中任取一個(gè)數(shù),有3種取法;第二步:b從1、2、7、8中任取一個(gè)數(shù),有4種取法;第三步:r從8、9中任取一個(gè)數(shù),有2種取法;由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,表示的不同圓有N＝3×4×2＝24(個(gè)).,【名師點(diǎn)評(píng)】利用分步乘法計(jì)數(shù)原理解決問題時(shí),一定要正確設(shè)計(jì)“分步”的程序,即完成這件事共分幾步,每一步的具體內(nèi)容是什么,各步的方法、種數(shù)是多

7、少,最后用分步乘法計(jì)數(shù)原理求解.,變式訓(xùn)練2. 一個(gè)乒乓球隊(duì)里有男隊(duì)員5人,女隊(duì)員4人,從中選出男、女隊(duì)員各一名組成混合雙打,共有不同的選法種數(shù)為________.,解析:“完成這件事”需選出男、女隊(duì)員各一人,可分兩步進(jìn)行:第一步:選一名男隊(duì)員,共有5種選法;第二步:選一名女隊(duì)員,共有4種選法;由分步乘法計(jì)數(shù)原理知,共有5×4＝20(種)選法.答案:20,題型三　兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的應(yīng)用 一個(gè)袋子里裝

8、有10張不同的中國移動(dòng)手機(jī)卡,另一個(gè)袋子里裝有12張不同的中國聯(lián)通手機(jī)卡.(1)某人要從兩個(gè)袋子中任取一張手機(jī)卡供自己使用,共有多少種不同的取法;,(2)某人手機(jī)是雙卡雙待機(jī),想得到一張移動(dòng)卡和一張聯(lián)通卡供自己今后使用,問一共有多少種不同的取法?,【思路點(diǎn)撥】　(1)從兩個(gè)袋子中任取一張卡有兩類取法,是分類加法計(jì)數(shù)原理;(2)從兩個(gè)袋子中各取一張卡,要分兩步完成,是分步乘法計(jì)算原理.,【解】　(1)從兩個(gè)袋子中任取一張卡有兩類情況:

9、第一類:從第一個(gè)袋子中任取一張移動(dòng)手機(jī)卡,共有10種取法;第二類:從第二個(gè)袋子中任取一張聯(lián)通手機(jī)卡,共有12種取法.根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理,共有10＋12＝22(種)取法.,(2)想得到一張移動(dòng)卡和一張聯(lián)通卡可分兩步進(jìn)行:第一步,從第一個(gè)袋子中任取一張移動(dòng)手機(jī)卡,共有10種取法.第二步,從第二個(gè)袋子中任取一張聯(lián)通手機(jī)卡,共有12種取法.根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有10×12＝120(種)取法.,【名師點(diǎn)評(píng)】　綜合應(yīng)用兩

10、個(gè)原理時(shí),一定要把握好分類與分步.分類是根據(jù)完成方法的不同類別,分步是根據(jù)一種方法進(jìn)程的不同步驟.分類與分步不是人為的主觀臆造,而是由題目中的客觀條件所決定的.,變式訓(xùn)練3.將1,2,3,…,9這9個(gè)數(shù)字填在如圖所示的9個(gè)空格中,要求每一行從左到右,每一列從上到下分別依次增大,當(dāng)3,4固定在圖中的位置時(shí),填寫空格的方法數(shù)為(　　) A.6種　　 B.12種 C.18種 D.24種,解析:選A.由題意可知,第一

11、行從左到右前面兩個(gè)格子只能填寫1,2,最右下角的格子只能是9,這樣只剩下數(shù)字5,6,7,8去填剩下的四個(gè)格子.若右上角填5,則右列中間可填6,7,8,有3種填法,此時(shí)最下面的兩空只有一種填法.同理,當(dāng)右上角填6時(shí),右列中間有2種填法,當(dāng)右上角填7時(shí),右列中間只有1種填法,因此填寫空格的方法數(shù)為:3＋2＋1＝6(種).,1. 從1,2,3,4中選三個(gè)數(shù)字,組成無重復(fù)數(shù)字的整數(shù),問:滿足下列條件的數(shù)有多少個(gè)? (

12、1)三位數(shù); (2)三位數(shù)的偶數(shù).,解:(1)三位數(shù)有三個(gè)數(shù)位 ,故可分三個(gè)步驟完成:第1步,先排個(gè)位,從1,2,3,4中選1個(gè)數(shù)字,有4種方法;第2步,排十位,從剩下的3個(gè)數(shù)字中選1個(gè),有3種方法;第3步,排百位,可以從剩下的2個(gè)數(shù)字中選1個(gè),有2種方法.,依據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理,共有4×3×2＝24(個(gè))滿足要求的三位數(shù).,(

13、2)分三個(gè)步驟完成:第1步,先排個(gè)位,從2,4中選1個(gè),有2種方法;第2步,排十位,從余下的3個(gè)數(shù)字中選1個(gè),有3種方法;第3步,排百位,只能從余下的2個(gè)數(shù)字中選1個(gè),有2種方法.故共有2×3×2＝12(個(gè))三位數(shù)的偶數(shù).,2.用5種不同顏色給如圖中的A、B、C、D四個(gè)區(qū)域涂色,規(guī)定一個(gè)區(qū)域只涂一種顏色,相鄰的區(qū)域顏色不相同,問有多少種不同的涂色方法?,解:先分成兩類:第一類,D與A不同色,則分成四步完成.

14、第一步涂A有5種方法;第二步涂B有4種方法;第三步涂C有3種方法;第四步涂D有2種方法.由乘法原理,共有5×4×3×2＝120(種)方法;,第二類, A、D同色, 則分成三步完成.第一步涂A和D有5種方法;第二步涂B有4種方法;第三步涂C有3種方法.由乘法原理,共有5×4×3＝60(種)方法;所以共有120＋60＝180(種)不同方法.,方法技巧1.使用兩個(gè)原理解題的本質(zhì),失誤防范