信號與系統(tǒng) §2.02 微分方程式的建立與求解

1、§2.2 系統(tǒng)微分方程的建立與求解,§2.2 微分方程式的建立與求解,復(fù)習(xí)求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法,物理系統(tǒng)的模型微分方程的列寫n 階線性時不變系統(tǒng)的描述求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法,一．物理系統(tǒng)的模型,許多實際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來模擬。若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時間而改變，則該系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)微分方程來描述。,二．微分方程的列寫,對于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束列寫系統(tǒng)的微分方程。 根據(jù)實際系統(tǒng)

2、的物理特性列寫系統(tǒng)的微分方程。,元件特性約束：表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系以及四端元件互感的初、次級電壓與電流的關(guān)系等等。,網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系,KCL，KVL。,例2-2-1,電感,電阻,電容,根據(jù)KCL,代入上面元件伏安關(guān)系，并化簡有,這是一個代表RCL并聯(lián)電路系統(tǒng)的二階微分方程。,求并聯(lián)電路的端電壓 與激勵 間的關(guān)系。,例2-2-2,機械

3、位移系統(tǒng)，其質(zhì)量為m的剛體一端由彈簧,牽引，彈簧的另一端固定在壁上。剛體與地面間的摩擦力為 ，外加牽引力為 ，其外加牽引力 與剛體運動速度 間的關(guān)系可以推導(dǎo)出為,三．n 階線性時不變系統(tǒng)的描述,一個線性系統(tǒng)，其激勵信號 與響應(yīng)信號 之間的關(guān)系，可以用下列形式的微分方程式來描述,若系統(tǒng)為時不變的，則C，E均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的n階線性常微分方程。,階次：方程的階次由獨立的動態(tài)元件的個數(shù)決定。,四．求解系統(tǒng)微分方程

4、的經(jīng)典法,分析系統(tǒng)的方法：列寫方程，求解方程。,,求解方程時域經(jīng)典法就是：齊次解+特解。,我們一般將激勵信號加入的時刻定義為t=0 ，響應(yīng)為 時的方程的解為初始條件,齊次解：由特征方程→求出特征根→寫出齊次解形式,注意重根情況處理方法。,特 解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系 數(shù)的特解函數(shù)式→代入原方程，比較系數(shù) 定出特解。,初始條件的確定是此課程要解決的問題。,四．求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法,

5、完全解：齊次解+特解，由初始條件定出齊次解 。,幾種典型激勵函數(shù)相應(yīng)的特解,,,,,,,,,,,激勵函數(shù)e(t),響應(yīng)函數(shù)r(t)的特解,例2-2-3,系統(tǒng)的特征方程為,,特征根,因而對應(yīng)的齊次解為,例2-2-4,如果已知： 分別求兩種情況下此方程的特解。,給定微分方程式,將此式代入方程得到,等式兩端各對應(yīng)冪次的系數(shù)應(yīng)相等，于是有,聯(lián)解得到,所以，特解為,這里