§2.2系統(tǒng)微分方程的建立與求解

1、§2.2 微分方程式的 建立與求解,主要內(nèi)容,物理系統(tǒng)的模型微分方程的列寫(xiě)n 階線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法,復(fù)習(xí)求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法,一．物理系統(tǒng)的模型,許多實(shí)際系統(tǒng)可以用線性系統(tǒng)來(lái)模擬。若系統(tǒng)的參數(shù)不隨時(shí)間而改變，則該系統(tǒng)可以用線性常系數(shù)微分方程來(lái)描述。,二．微分方程的列寫(xiě),根據(jù)實(shí)際系統(tǒng)的物理特性列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程。對(duì)于電路系統(tǒng)，主要是根據(jù)元件特性約束和網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束列寫(xiě)系統(tǒng)的微分方程。

2、,元件特性約束：表征元件特性的關(guān)系式。例如二端元件電阻、電容、電感各自的電壓與電流的關(guān)系以及四端元件互感的初、次級(jí)電壓與電流的關(guān)系等等。,網(wǎng)絡(luò)拓?fù)浼s束：由網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)決定的電壓電流約束關(guān)系,KCL，KVL。,三．n 階線性時(shí)不變系統(tǒng)的描述,一個(gè)線性系統(tǒng)，其激勵(lì)信號(hào) 與響應(yīng)信號(hào) 之間的關(guān)系，可以用下列形式的微分方程式來(lái)描述,若系統(tǒng)為時(shí)不變的，則C，E均為常數(shù)，此方程為常系數(shù)的n階線性常微分方程。,階次：方程的階次由獨(dú)立的動(dòng)態(tài)元件的個(gè)

3、數(shù)決定。,四．求解系統(tǒng)微分方程的經(jīng)典法,分析系統(tǒng)的方法：列寫(xiě)方程，求解方程。,,求解方程時(shí)域經(jīng)典法就是：齊次解+特解。,§2-2 系統(tǒng)微分方程及其經(jīng)典解,任何LTI連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)，n階一元常系數(shù)微分方程一般式為：,全解=齊次解 + 特解,通解一般式為：,特征方程為：,經(jīng)典法求解該方程：,齊次解rn(t)是齊次方程的通解：,該一元n次方程的n個(gè)特征根為：,自然頻率固有頻率,討論通解的形式：,1 ?i為互異實(shí)根：,2 ?1有k重根

4、：,其中?1為k重根， ?j為單根,特解的形式：根據(jù)激勵(lì)查表2-1得rf(t),全解的形式：,求系數(shù)Ci,cj,例1：求齊次解：,解：,該微分方程的特征方程為：,解得特征根：,齊次解為：,例3：求齊次解：,解：,二重根,,例４：方程為：,若激勵(lì)為：,求其特解 rf(t).,查表2-1得對(duì)應(yīng)的特征解為：,代入原微分方程得：,等式兩邊同次冪系數(shù)相等：,例5：方程為：,求： 當(dāng),時(shí)的全解,解：,特征方程為,所以齊次解為：,與例４相同：,所以全

5、解,其一階導(dǎo)為：,t=0時(shí) 初值代入：,全解:,,1 齊次解：其形式與激勵(lì)e(t)無(wú)關(guān)，僅依賴于系統(tǒng)本身特征――＞自由響應(yīng)或固有響應(yīng)，系數(shù)ci，cj與激勵(lì)有關(guān)．,2 特解的形式：由激勵(lì)信號(hào)決定――＞強(qiáng)迫響應(yīng)．,齊次解：由特征方程→求出特征根→寫(xiě)出齊次解形式,,注意重根情況處理方法。,特 解：根據(jù)微分方程右端函數(shù)式形式，設(shè)含待定系 數(shù)的特解函數(shù)式→代入原方程，比較系數(shù) 定出特解。,經(jīng)典法的例題,全 解：齊