信息智能分析與處理模糊數(shù)學

1、信息智能分析與處理,一 模糊(Fuzzy)數(shù)學的基本概念模糊數(shù)學就是用數(shù)學方法研究模糊現(xiàn)象1965年，美國數(shù)學家扎德(L.A.Zadeh)發(fā)表論文《模糊集合》(Fuzzy Sets)，開辟了一門新的數(shù)學分支——模糊數(shù)學。Zadeh, Lotfi A., "Fuzzy Sets ," Information and Control, Vol. 8 (1965), pp. 338-353.　　涉及純粹數(shù)學、應(yīng)

2、用數(shù)學、自然科學、人文科學和管理科學等方面。在圖像識別、人工智能、自動控制、信息處理、經(jīng)濟學、心理學、社會學、生態(tài)學、語言學、管理科學、醫(yī)療診斷、哲學研究等領(lǐng)域中，都得到廣泛應(yīng)用。把模糊數(shù)學理論應(yīng)用于決策研究，形成了模糊決策技術(shù)。,信息智能分析與處理,模糊集合是經(jīng)典集合概念的推廣．在經(jīng)典集合論(康托爾集合論)中，每一個集合都必須由確定的元素構(gòu)成，元素對于集合的隸屬關(guān)系是明確的．這一性質(zhì)可以用特征函數(shù) 來描述：,信息智能

3、分析與處理,Zadeh將特征函數(shù)改成所謂的“隸屬函數(shù)” 其中 　　　　　　這里 A 稱為“模糊集合”， 稱為 x對 集合A 的“隸屬度”．　　經(jīng)典集合論要求隸屬度只能取0，1二值，模糊集合論則突破了這一限制，將隸屬度擴展到了[0,1] 閉區(qū)間。 　　由于集合論是現(xiàn)代數(shù)學的重要基石，因此模糊集合的概念對數(shù)學產(chǎn)生了廣泛的影響，人們將模糊集合引進數(shù)學的各個分支從而出現(xiàn)了模糊拓撲、模糊群論、模糊測度與積分、模

4、糊圖論等等，它們一起形成通常所稱的模糊數(shù)學．,信息智能分析與處理,實際上，模糊性是事物復雜性表現(xiàn)的一個方面，隨著電子計算機的發(fā)展以及它對日益復雜的系統(tǒng)的應(yīng)用，處理模糊性問題的要求也比以往顯得突出，這是模糊數(shù)學產(chǎn)生的背景．由于人腦的思維包括有精確的與模糊的兩個方面，因此模糊數(shù)學在人工智能模擬方面具有重要意義． 　　“當系統(tǒng)的復雜性日趨增長時，我們作出系統(tǒng)特性的精確然而有意義的描述的能力將相應(yīng)降低，直至達到這樣一個閾值，一旦超過它，精確性

5、和有意義性將變成兩個幾乎互相排斥的特性。”,信息智能分析與處理,二　模糊理論的數(shù)學基礎(chǔ)隸屬函數(shù)　　設(shè)U是論域，稱映射　　　　　A(x)：U→[0,1] 確定了一個U上的模糊子集A，映射A(x)稱為A的隸屬函數(shù)，表示x對A的隸屬程度. 　 使A(x) = 0.5的點x稱為A的過渡點，此點最具模糊性. 　當映射A(x)只取0或1時，模糊子集A就是經(jīng)典子集，而A(x)就是它的特征函數(shù). 可見經(jīng)典子集就是模糊子集的特殊情形

6、.,信息智能分析與處理,模糊子集的表達方法解析法，也即給出隸屬函數(shù)的具體表達式。Zadeh 記法，例如。分母是論域中的元素，分子是該元素對應(yīng)的隸屬度。有時候，若隸屬度為0，該項可以忽略不寫。序偶法，例如A = {(x1,1),(x2,0.5),(x3,0.72),(x4,0)}，序偶對的前者是論域中的元素，后者是該元素對應(yīng)的隸屬度。向量法，在有限論域的場合，給論域中元素規(guī)定一個表達的順序，那么可以將上述序偶法簡寫為隸屬度的向量式

7、，如 A = (1,0.5,0.72,0) 。,信息智能分析與處理,例 設(shè)論域U = {x1 (140), x2 (150), x3 (160), x4 (170), x5 (180), x6 (190)}(單位：cm)表示人的身高，那么U上的一個模糊集“高個子”(A)的隸屬函數(shù)A(x)可定義為,也可用Zadeh表示法：,信息智能分析與處理,模糊集的運算相等：A = B ? A(x) = B(x)；包含：A?B ? A(x)≤B(

8、x)；并：A∪B的隸屬函數(shù)為 (A∪B)(x)=A(x)∨B(x)；（ ∨取大運算）交：A∩B的隸屬函數(shù)為 (A∩B)(x)=A(x)∧B(x)；（ ∧取小運算）余：Ac的隸屬函數(shù)為Ac (x) = 1- A(x).,信息智能分析與處理,例 設(shè)論域U = {x1, x2, x3, x4, x5}(商品集)，在U上定義兩個模糊集： A =“商品質(zhì)量好”， B =“商品質(zhì)量壞”，并設(shè)A = (0.8, 0.55, 0,

9、 0.3, 1).B = (0.1, 0.21, 0.86, 0.6, 0).則Ac=“商品質(zhì)量不好”, Bc=“商品質(zhì)量不壞Ac= (0.2, 0.45, 1, 0.7, 0).Bc= (0.9, 0.79, 0.14, 0.4, 1).可見Ac ?B, Bc ?A.,信息智能分析與處理,又 A∪Ac = (0.8, 0.55, 1, 0.7, 1) ?U, A∩Ac = (0.2,

10、 0.45, 0, 0.3, 0) ??,信息智能分析與處理,模糊集的并、交、余運算性質(zhì)冪等律：A∪A = A， A∩A = A；交換律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A；結(jié)合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C)， (A∩B)∩C = A∩(B∩C) ；吸收律：A∪(A∩B) = A，A∩( A∪B)= A； 分配律：(A∪B)∩C = (A∩C)∪(B∩C)； (A∩B)∪C =

11、 (A∪C)∩(B∪C)；0-1律： A∪U = U，A∩U = A； A∪? = A，A∩? = ? ；還原律： (Ac)c = A ；,信息智能分析與處理,對偶律：(A∪B)c = Ac∩Bc， (A∩B)c = Ac∪Bc； 對偶律的證明：對于任意的 x?U (論域)， (A∪B)c(x) = 1 - (A∪B)(x) = 1 - (A(x)∨B(x)) =

12、 (1 - A(x))∧(1 - B(x)) = Ac(x)∧Bc(x) = Ac∩Bc (x)模糊集的運算性質(zhì)基本上與經(jīng)典集合一致，除了排中律以外，即A∪Ac ? U， A∩Ac ? ? . 模糊集不再具有“非此即彼”的特點，這正是模糊性帶來的本質(zhì)特征.,信息智能分析與處理,模糊集的基本定理?-截集：(A)? = A?= {x | A(x) ≥ ? }模糊集的?-截集A?是一個經(jīng)典集合，由隸屬度

13、不小于?的Ａ的所有元素x構(gòu)成. 例：論域U={u1, u2, u3, u4 , u5 , u6}(學生集)，他們的成績依次為50,60,70,80,90,95，A=“學習成績好的學生”的隸屬度分別為0.5,0.6,0.7,0.8, 0.9,0.95，則A0.9 (90分以上者) = {u5 , u6},A0.6 (60分以上者) = {u2, u3, u4 , u5 , u6}.,信息智能分析與處理,,信息智能分析與處理

14、,定理1 設(shè)A, B??(U ) (A, B是論域U 的兩個模糊子集)，?,??[0,1]，于是有?-截集的性質(zhì)： (1) A?B ? A??B?；(2) ?≤? ? A? ?A?；(3) (A∪B)?= A?∪B?，(A∩B)?= A?∩B?.定理2 (分解定理)設(shè)A??(U )，?x?A，則A(x) = ∨{?，??[0,1]，x?A? }定義 (擴張原理)設(shè)映射 f ：X ?Y，定義f (A) ( y ) = ∨{

15、A(x)， f (x) = y },信息智能分析與處理,三　模糊矩陣定義1 設(shè)R = (rij)m×n，若0≤rij≤1，則稱R為模糊矩陣. 當rij只取0或1時，稱R為布爾(Boole)矩陣. 當模糊方陣R = (rij)n×n的對角線上的元素rii都為1時，稱R為模糊自反矩陣.定義2 設(shè)A=(aij)m×n,B=(bij)m×n都是模糊矩陣，相等：A = B ? aij = bij；包

16、含：A≤B ? aij≤bij；并：A∪B = (aij∨bij)m×n；交：A∩B = (aij∧bij)m×n；余：Ac = (1- aij)m×n.,信息智能分析與處理,模糊矩陣的并、交、余運算性質(zhì)冪等律：A∪A = A，A∩A = A；交換律：A∪B = B∪A，A∩B = B∩A；結(jié)合律：(A∪B)∪C = A∪(B∪C), (A∩B)∩C = A∩(B∩C)；吸收律

17、：A∪(A∩B) = A，A∩(A∪B) = A； 分配律：(A∪B)∩C = (A∩C )∪(B∩C)； (A∩B)∪C = (A∪C )∩(B∪C)；0-1律： A∪O = A，A∩O = O； A∪E = E，A∩E = A；還原律：(Ac)c = A；對偶律： (A∪B)c =Ac∩Bc, (A∩B)c =Ac∪Bc.,信息智能分析與處理,模糊矩陣的合成運算與模糊方陣的冪設(shè)A = (ai

18、k)m×s，B = (bkj)s×n，定義模糊矩陣A 與B 的合成為：A ° B = (cij)m×n，其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s} .模糊方陣的冪 定義：若A為 n 階方陣，定義A2 = A ° A，A3 = A2 ° A，…，Ak = Ak-1 ° A.,信息智能分析與處理,合成(° )運算的性質(zhì)：性質(zhì)1：(A

19、 ° B) ° C = A ° (B ° C)；性質(zhì)2：Ak ° Al = Ak + l，(Am)n = Amn；性質(zhì)3：A ° ( B∪C ) = ( A ° B )∪( A ° C )； ( B∪C ) ° A = ( B ° A )∪( C ° A )；性質(zhì)4：O ° A = A °

20、 O = O，I ° A=A ° I =A；性質(zhì)5：A≤B，C≤D ? A ° C ≤B ° D.,信息智能分析與處理,注：合成(° )運算關(guān)于(∩)的分配律不成立，即( A∩B ) ° C ? ( A ° C )∩( B ° C ) ( A ° C )∩( B ° C ) ( A∩B ) ° C ? (

21、 A ° C )∩( B ° C ),( A∩B ) ° C,信息智能分析與處理,模糊矩陣的? - 截矩陣定義7 設(shè)A = (aij)m×n,對任意的?∈[0, 1]，稱A?= (aij(?))m×n,為模糊矩陣A的? - 截矩陣, 其中 當aij≥? 時，aij(?) =1；當aij＜? 時，aij(?) =0. 顯然，A的? - 截矩陣為布爾矩陣.,信息智能分析

22、與處理,對任意的?∈[0, 1]，有性質(zhì)1：A≤B ? A? ≤B?；性質(zhì)2：(A∪B)? = A?∪B?，(A∩B)? = A?∩B?；性質(zhì)3：( A ° B )? = A? ° B?；性質(zhì)4：( AT )? = ( A? )T.,信息智能分析與處理,模糊關(guān)系設(shè)有論域X，Y，X ? Y 的一個模糊子集 R 稱為從 X 到 Y 的模糊關(guān)系. 模糊子集 R 的隸屬函數(shù)為映射R : X ? Y ?[0

23、,1].并稱隸屬度R (x , y ) 為 (x , y )關(guān)于模糊關(guān)系 R 的相關(guān)程度. 特別地，當 X =Y 時，稱之為 X 上各元素之間的模糊關(guān)系.,信息智能分析與處理,模糊關(guān)系的矩陣表示對于有限論域 X = {x1, x2, … , xm}和Y = { y1, y2, … , yn}，則X 到Y(jié) 模糊關(guān)系R可用m×n 階模糊矩陣表示，即R = (rij)m×n，其中rij = R (xi

24、, yj )∈[0, 1]表示(xi , yj )關(guān)于模糊關(guān)系R 的相關(guān)程度. 又若R為布爾矩陣時,則關(guān)系R為普通關(guān)系,即xi 與 yj 之間要么有關(guān)系(rij = 1),要么沒有關(guān)系( rij = 0 ).,信息智能分析與處理,例 設(shè)身高論域X ={140, 150, 160, 170, 180} (單位：cm), 體重論域Y ={40, 50, 60, 70, 80}(單位：kg),下表給出了身高與體重的模糊關(guān)系.,信息智能

25、分析與處理,模糊關(guān)系的合成設(shè) R1 是 X 到 Y 的關(guān)系, R2 是 Y 到 Z 的關(guān)系, 則R1與 R2的合成 R1 ° R2是 X 到 Z 上的一個關(guān)系.(R1°R2) (x, z) = ∨{[R1 (x, y)∧R2 (y, z)]| y∈Y } 當論域為有限時，模糊關(guān)系的合成化為模糊矩陣的合成 設(shè)X = {x1, x2, …, xm}, Y = { y1 , y2 , … , ys},

26、 Z= {z1, z2, … , zn}，且X 到Y(jié) 的模糊關(guān)系R1 = (aik)m×s，Y 到Z 的模糊關(guān)系R2 = (bkj)s×n，則X 到Z 的模糊關(guān)系可表示為模糊矩陣的合成：R1 °R2 = (cij)m×n，其中cij = ∨{(aik∧bkj) | 1≤k≤s}.,信息智能分析與處理,模糊等價矩陣若模糊關(guān)系R是X上各元素之間的模糊關(guān)系，且滿足： (1)自反性：R

27、(x, x) =1； (2)對稱性：R(x, y) =R(y, x)； (3)傳遞性：R2?R, 則稱模糊關(guān)系R是X上的一個模糊等價關(guān)系.當論域X = {x1, x2, …, xn}為有限時, X 上的一個模糊等價關(guān)系R就是模糊等價矩陣, 即R滿足R2≤R (? ∨{(rik∧rkj) | 1≤k≤n} ≤ rij) .,信息智能分析與處理,定理1 若R具有自反性(I≤R)和傳遞性(R2≤R), 則 R2 = R

28、.定理2 若R是模糊等價矩陣,則對任意?∈[0, 1]，R?是等價的Boole矩陣.定理3 若R是模糊等價矩陣,則對任意的0≤?＜?≤1, R? 所決定的分類中的每一個類是R?決定的分類中的某個類的子類.,信息智能分析與處理,模糊相似關(guān)系若模糊關(guān)系 R 是 X 上各元素之間的模糊關(guān)系，且滿足： (1) 自反性：R( x , x ) = 1； (2) 對稱性：R( x , y ) = R( y , x ) ；

29、則稱模糊關(guān)系 R 是 X 上的一個模糊相似關(guān)系. 當論域X = {x1, x2, …, xn}為有限時，X 上的一個模糊相似關(guān)系 R 就是模糊相似矩陣，即R滿足： (1) 自反性：I ≤R (? rii =1 )； (2) 對稱性：RT = R (? rij = rji ).,信息智能分析與處理,定理1 若R 是模糊相似矩陣，則對任意的自然數(shù) k，Rk 也是模糊相似矩陣.定理2 若R 是n階模糊相似矩

30、陣，則存在一個最小自然數(shù) k (k≤n )，對于一切大于k 的自然數(shù) l，恒有Rl = Rk，即Rk 是模糊等價矩陣(R2k = Rk ). 此時稱Rk為R的傳遞閉包，記作 t ( R ) = Rk . 上述定理表明，任一個模糊相似矩陣可誘導出一個模糊等價矩陣.平方法求傳遞閉包 t (R)：R?R2?R4?R8?R16?…,信息智能分析與處理,模糊聚類分析數(shù)據(jù)標準化設(shè)論域X = {x1, x2, …, xn}為被分類

31、對象,每個對象又由m個指標表示其形狀:xi = { xi1, xi2, …, xim}, i = 1, 2, …, n于是,得到原始數(shù)據(jù)矩陣為,信息智能分析與處理,平移 ? 標準差變換平移 ? 極差變換,,信息智能分析與處理,模糊相似矩陣建立方法相似系數(shù)法 ----夾角余弦法,信息智能分析與處理,相似系數(shù)法 ----相關(guān)系數(shù)法,信息智能分析與處理,距離法海明距離歐氏距離切比雪夫距離,rij = 1 –

32、c d (xi, xj ),d (xi, xj ) = ∨{ | xik- xjk | , 1≤k≤m},信息智能分析與處理,模糊聚類分析的基本過程：（1）計算樣本或變量間的相似系數(shù)，建立模糊相似矩陣； （2）利用模糊運算對相似矩陣進行一系列的合成改造，生成模糊等價矩陣； （3）最后根據(jù)不同的截取水平λ對模糊等價矩陣進行截取分類,信息智能分析與處理,模糊聚類分析的步驟： （１）標準化數(shù)據(jù)壓縮到[0，1]閉區(qū)間內(nèi)（２）建立模

33、糊相似矩陣R=(sij)n×n ，其中sij為相似系數(shù)，其定義可以有多種形式：夾角余弦，相關(guān)系數(shù)或距離（３）創(chuàng)建模糊等價矩陣R* 平方法求傳遞閉包 （４）選取截取水平λ(0<λ<1)，對樣本進行模糊聚類,信息智能分析與處理,是模糊等價關(guān)系嗎？,信息智能分析與處理,,信息智能分析與處理,,信息智能分析與處理,,信息智能分析與處理,,信息智能分析與處理,,信息智能分析與處理,模糊識別（分類）已知某類事物的若干

34、標準模型，現(xiàn)有這類事物中的一個具體對象，問把它歸到哪一模型，這就是模型識別.模型識別在實際問題中是普遍存在的.例如，學生到野外采集到一個植物標本，要識別它屬于哪一綱哪一目；投遞員(或分揀機)在分揀信件時要識別郵政編碼等等，這些都是模型識別所謂模糊模型識別,是指在模型識別中,模型是模糊的.也就是說,標準模型庫中提供的模型是模糊的.,信息智能分析與處理,為了能識別待判斷的對象x = (x1, x2,…, xn)T是屬于已知類A1, A2

35、,…, Am中的哪一類？ 事先必須要有一個一般規(guī)則, 一旦知道了x的值, 便能根據(jù)這個規(guī)則立即作出判斷, 稱這樣的一個規(guī)則為判別規(guī)則. 判別規(guī)則往往通過的某個函數(shù)來表達, 我們把它稱為判別函數(shù), 記作W(i; x). 一旦知道了判別函數(shù)并確定了判別規(guī)則，最好將已知類別的對象代入檢驗，這一過程稱為回代檢驗，以便檢驗?zāi)愕呐袆e函數(shù)和判別規(guī)則是否正確.,信息智能分析與處理,模糊向量的內(nèi)積與外積定義 稱向量a = (a1

36、, a2, …, an)是模糊向量, 其中0≤ai≤1. 若ai 只取0或1, 則稱a = (a1, a2, …, an)是Boole向量.設(shè) a = (a1, a2, …, an), b = (b1, b2, …, bn)都是模糊向量，則定義 內(nèi)積： a ° b = ∨{(ak∧bk) | 1≤k≤n}； 外積：a⊙b = ∧{(ak∨bk) | 1≤k≤n}.,信息智能分析與處理,最大隸屬原則最大隸屬

37、原則Ⅰ 設(shè)論域X ={x1, x2, … , xn }上有m個模糊子集A1, A2, … , Am(即m個模型),構(gòu)成了一個標準模型庫,若對任一x0∈X,有k∈{1, 2, … , m },使得Ak(x0)=∨{A1(x0), A2(x0), … , Am(x0)}，則認為x0相對隸屬于Ak .最大隸屬原則Ⅱ 設(shè)論域X上有一個標準模型A,待識別的對象有n個：x1, x2, … , xn∈X, 如果有某個xk滿足A(xk)=

38、∨{A(x1), A(x2), … , A(xn)}, 則應(yīng)優(yōu)先錄取xk .,信息智能分析與處理,例1 在論域X=[0,100]分數(shù)上建立三個表示學習成績的模糊集A=“優(yōu)”,B =“良”,C =“差”.當一位同學的成績?yōu)?8分時,這個成績是屬于哪一類？A(88) =0.8,信息智能分析與處理,B(88) =0.7,信息智能分析與處理,A(88) =0.8, B(88) =0.7, C(88) =0.根據(jù)最大隸屬原則Ⅰ,

39、88分這個成績應(yīng)隸屬于A,即為“優(yōu)”. 例2 論域 X = {x1(71), x2(74), x3(78)}表示三個學生的成績,那一位學生的成績最差？C(71) =0.9, C(74) =0.6, C(78) =0.2,根據(jù)最大隸屬原則Ⅱ， x1(71)最差.,信息智能分析與處理,細胞染色體形狀的模糊識別就是幾何圖形的模糊識別,而幾何圖形常?；癁槿舾蓚€三角圖形,故設(shè)論域為三角形全體.即X={?(A,B,C )| A+B+

40、C =180, A≥B≥C} 標準模型庫={E(正三角形),R(直角三角形), I(等腰三角形),I∩R(等腰直角三角形),T(任意三角形)}.,例 細胞染色體形狀的模糊識別,信息智能分析與處理,某人在實驗中觀察到一染色體的幾何形狀，測得其三個內(nèi)角分別為94,50,36,即待識別對象為x0=(94,50,36).問x0應(yīng)隸屬于哪一種三角形？先建立標準模型庫中各種三角形的隸屬函數(shù).直角三角形的隸屬函數(shù)R(A,B,C)應(yīng)滿足下

41、列約束條件： (1) 當A=90時, R(A,B,C)=1; (2) 當A=180時, R(A,B,C)=0; (3) 0≤R(A,B,C)≤1.,信息智能分析與處理,,信息智能分析與處理,因此，不妨定義R(A,B,C ) = 1 - |A - 90|/90. 則R(x0)=0.955. 或者,其中 p = | A – 90|,則R(x0)=0.54.,信息智能分析與處理,正三角形的隸屬函數(shù)E(A,B

42、,C)應(yīng)滿足下列約束條件：(1) 當A = B = C = 60時, E(A,B,C )=1;(2) 當A = 180, B = C = 0時, E(A,B,C)=0;(3) 0≤E(A,B,C)≤1.因此，不妨定義E(A,B,C ) = 1 – (A – C)/180.則E(x0) =0.677. 或者則E(x0)=0.02.,其中 p = A – C,信息智能分析與處理,等腰三角形的隸屬函數(shù)I(A,B,C)

43、應(yīng)滿足下列約束條件：(1) 當A = B 或者 B = C時, I(A,B,C )=1;(2) 當A = 180, B = 60, C = 0時, I(A,B,C ) = 0;(3) 0≤I(A,B,C )≤1.因此，不妨定義I(A,B,C ) = 1 – [(A – B)∧(B – C)]/60.則I(x0) =0.766. 或者則I(x0)=0.10.,p = (A – B)∧(B – C),信息智能分

44、析與處理,等腰直角三角形的隸屬函數(shù)(I∩R)(A,B,C) = I(A,B,C)∧R (A,B,C);(I∩R) (x0)=0.766∧0.955=0.766.任意三角形的隸屬函數(shù)T(A,B,C) = Ic∩Rc∩Ec= (I∪R∪E)c.T(x0) =(0.766∨0.955∨0.677)c = (0.955)c = 0.045.通過以上計算,R(x0) = 0.955最大,所以x0應(yīng)隸屬于直角三角形.或者(I∩R)(x