一階微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的綜合應(yīng)用

1、,,,第三節(jié) 一階微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中的綜合應(yīng)用,第十章 微分方程與差分方程,在研究各經(jīng)濟(jì)變量之間的聯(lián)系及其內(nèi)在規(guī)律時(shí)，常 需要建立某一經(jīng)濟(jì)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)所滿足的關(guān)系式，并 由此確定所研究函數(shù)的形式，從而根據(jù)一些已知的條 件來(lái)確定該函數(shù)的表達(dá)式。 從數(shù)學(xué)上講，就是建立微分方程并求解微分方程。 下面舉一些一階微分方程在經(jīng)濟(jì)學(xué)中應(yīng)用的例子。,,,,一、

2、分析商品的市場(chǎng)價(jià)格與需求量 (供給量) 之間的 函數(shù)關(guān)系,例1 某商品的需求量 Q 對(duì)價(jià)格 P 的彈性為 – P 1n3 , 若該商品的最大需求量為 1200 (即 P = 0 時(shí), Q = 1200) , ( P 的單位為元 , Q 的單位為 kg ) . 1. 試求需求量 Q 與價(jià)格 P 的函數(shù)關(guān)系; 2. 求當(dāng)價(jià)格為 1 元時(shí) , 市場(chǎng)對(duì)

3、該商品的需求量; 3. 當(dāng) P ? + ? 時(shí) , 需求量的變化趨勢(shì)如何 ?,解 1. 由條件可知,即,分離變量并求解此微分方程 , 得,( C 為任意常數(shù) ),由 得 , C = 1200 ,,2. 當(dāng)P = 1 (元)時(shí) ,,3. 顯然 P ? + ? 時(shí) , Q ? 0 , 即隨著價(jià)格的無(wú)限增大 , 需求量將趨于零 .,,,,例2 設(shè)某商品的需求函

4、數(shù)與供給函數(shù)分別為 (其中 a , b , c , d 均為正常數(shù)) 假設(shè)商品價(jià)格 P 為時(shí)間 t 的函數(shù) , 已知初始價(jià)格 P ( 0 ) = 且在任一時(shí)刻 t , 價(jià)格 P ( t ) 的變化率總與這一時(shí)刻 的超額需求 成正比(比例常數(shù)為 k > 0 ) . 1.

5、求供需相等時(shí)的價(jià)格 (均衡價(jià)格) ; 2. 求價(jià)格 P ( t ) 的表達(dá)式 ; 3. 分析價(jià)格 P ( t ) 隨時(shí)間的變化情況 .,解,1. 由 得,2. 由題意可知,,,,將 代人上式 , 得,(1),解此一階非齊次線性微分方程 , 得通解為,由 P ( 0 ) = 得,則特解為,,,,

6、3. 討論價(jià)格 P ( t ) 隨時(shí)間的變化情況 .,由于 為常數(shù) , k ( b + d ) > 0 , 故當(dāng) t ? + ? 時(shí), 從而 (均衡價(jià)格)(從數(shù)學(xué)上講 , 顯然均衡價(jià)格 即為微分方程(1)的平衡解 , 且由于 故微分方程的平衡解是穩(wěn)定的) .,由 與 的大小還可分三種情況進(jìn)一步討論(見下圖)

7、,,,,1) 若 ，則 ，即價(jià)格為常數(shù)，市場(chǎng)無(wú) 需調(diào)節(jié)達(dá)到均衡；,2) 若 ，因?yàn)?總是大于零且趨 于零，故 P ( t ) 總大于 而趨于 ；,3) 若 ，則 P ( t ) 總是小于 而趨于 .,由以上討論可知，在價(jià)格 P ( t )

8、的表達(dá)式中的兩項(xiàng)： 為均衡價(jià)格，而 就可理解為均衡偏 差.,,,,例3 某林區(qū)實(shí)行封山養(yǎng)林，現(xiàn)有木材 10 萬(wàn)立方米， 如果在每一時(shí)刻 t 木材的變化率與當(dāng)時(shí)木材數(shù)成正比 . 假設(shè) 10 年時(shí)這林區(qū)的木材為 20 萬(wàn)立方米 . 若規(guī)定， 該林區(qū)的木材量達(dá)到 40 萬(wàn)立方米時(shí)才可砍伐，問(wèn)至 少

9、多少年后才能砍伐 .,二、預(yù)測(cè)可再生資源的產(chǎn)量，預(yù)測(cè)商品的銷售量,解 若時(shí)間 t 以年為單位，假設(shè)任一時(shí)刻 t 木材的 數(shù)量為 P ( t ) 萬(wàn)立方米，由題意可知,( k 為比例常數(shù)),且,,,,該方程的通解為,將 t = 0 時(shí) , P = 10 代人 , 得 C = 10 , 故,再將 t = 10 時(shí) , P = 20 代人 , 得 于是,要使 P = 40 , 則 t =

10、 20 . 故至少 20 年后才能砍伐 .,,,,例4 假設(shè)某產(chǎn)品的銷售量 x ( t ) 是時(shí)間 t 的可導(dǎo)函數(shù) , 如果商品的銷售量對(duì)時(shí)間的增長(zhǎng)速率 與銷售量 x ( t ) 及銷售量接近于飽和水平的程度 N – x ( t ) 之積成正比 (N 為飽和水平 , 比例常數(shù)為 k > 0) , 且當(dāng) t = 0 時(shí) , 1. 求銷售量

11、x ( t ) ; 2. 求 x ( t ) 的增長(zhǎng)最快的時(shí)刻 T .,解 1. 由題意可知,( 2 ),分離變量 , 得,,,,兩邊積分 , 得,解出 x ( t ) , 得,( 3 ),其中 由 得 , B = 3 , 故,,,,2. 由于,令 得,當(dāng) t T 時(shí) , 故,時(shí) , x ( t

12、 ) 增長(zhǎng)最快 .,,,,在生物學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)中，常遇到這樣的量 x ( t )，其增 長(zhǎng)率 dx/dt 與 x ( t )及 N – x ( t ) 之積成正比 ( N 為飽和值) , 這時(shí) x ( t ) 的變化規(guī)律遵循微分方程 (2)，而 x ( t ) 本身按 Logistic 曲線 (3) 的方程而變化 .,微分方程 (2) 稱為 Logistic 方程，其解曲線 (3) 稱為

13、 Logistic 曲線 .,,,,例5 某商場(chǎng)的銷售成本 y 和存貯費(fèi)用 S 均是時(shí)間 t 的 函數(shù)，隨時(shí)間 t 的增長(zhǎng)，銷售成本的變化率等于存貯 費(fèi)用的倒數(shù)與常數(shù) 5 的和，而貯存費(fèi)用的變化率為存 貯費(fèi)用的 (–1/3) 倍 . 若當(dāng) t = 0 時(shí)，銷售成本 y = 0，存 貯費(fèi)用 S = 10 . 試求銷售成本與時(shí)間 t 的函數(shù)關(guān)系及存 貯費(fèi)用與時(shí)間 t

14、 的函數(shù)關(guān)系 .,三、成本分析,解 由已知,(4),(5),,,,解微分方程 (5) 得,由 得 , C = 10 , 故存貯費(fèi)用與時(shí)間 t 的函數(shù),關(guān)系為,將上式代入微分方程 (4) , 得,從而,由 得 從而銷售成本與時(shí)間 t 的函,數(shù)關(guān)系為,,,,四、公司的凈資產(chǎn)分析,對(duì)于一個(gè)公司，它的資產(chǎn)的運(yùn)營(yíng)，我們可以把它簡(jiǎn)

15、 化地看作發(fā)生兩個(gè)方面的作用。一方面，它的資產(chǎn)可 以象銀行的存款一樣獲得利息，另一方面，它的資產(chǎn) 還需用于發(fā)放職工工資。,顯然，當(dāng)工資總額超過(guò)利息的盈取時(shí)，公司的經(jīng)營(yíng) 狀況將逐漸變?cè)?，而?dāng)利息的盈取超過(guò)付給職工的工 資總額時(shí)，公司將維持良好的經(jīng)營(yíng)狀況。為了表達(dá)準(zhǔn) 確起見，假設(shè)利息是連續(xù)盈取的，并且工資也是連續(xù) 支付的。對(duì)于一個(gè)大公司來(lái)講，這一假設(shè)是較為合

16、理 的。,,,,例6 設(shè)某公司的凈資產(chǎn)在營(yíng)運(yùn)過(guò)程中，象銀行的 存款一樣，以年5%的連續(xù)復(fù)利產(chǎn)生利息而使總資產(chǎn) 增長(zhǎng)，同時(shí)，公司還必須以每年200百萬(wàn)元人民幣的 數(shù)額連續(xù)地支付職工的工資。 1. 列出描述公司凈資產(chǎn) W (以百萬(wàn)元為單位)的微分 方程 ; 2. 假設(shè)公司的初始凈資產(chǎn)為 (百萬(wàn)元)，求公司的

17、 凈資產(chǎn)W( t ) ; 3. 描繪出當(dāng) 分別為 3000 , 4000 和 5000 時(shí)的解曲 線 .,解 先對(duì)問(wèn)題作一個(gè)直觀分析.,,,,首先看是否存在一個(gè)初值 , 使該公司的凈資產(chǎn)不 變 . 若存在這樣的 , 則必始終有,利息盈取的速率 = 工資支付的速率,即,所以 , 如果凈資產(chǎn)的初值 (百萬(wàn)元) 時(shí) , 利

18、息 與工資支出達(dá)到平衡 , 且凈資產(chǎn)始終不變 . 即 4000 (百 萬(wàn)元)是一個(gè)平衡解 .,但若 (百萬(wàn)元) , 則利息盈取超過(guò)工資支出 , 凈資產(chǎn)將會(huì)增長(zhǎng) , 利息也因此而增長(zhǎng)得更快 , 從而凈資 產(chǎn)增長(zhǎng)得越來(lái)越快 ;,若 (百萬(wàn)元) , 則利息的盈取趕不上工資的 支付 ; 公司的凈資產(chǎn)將減少 ,

19、 利息的盈取會(huì)減少 , 從而,,,,凈資產(chǎn)減少的速率更快 . 這樣一來(lái) , 公司的凈資產(chǎn)最終 減少到零 , 以致倒閉 .,下面將建立微分方程以精確地分析這一問(wèn)題 .,1. 顯然 凈資產(chǎn)的增長(zhǎng)速率 = 利息盈取的速率 – 工資支付速率,若W 以百萬(wàn)元為單位 , t 以年為單位 , 則利息盈取的 速率為每年 0.05 W 百萬(wàn)元 , 而工資支付的速率為每年 200 百萬(wàn)元 , 于是,

20、即,(6),,,,這就是該公司的凈資產(chǎn) W 所滿足的微分方程 .,令 則得平衡解,2. 利用分離變量法求解微分方程 (6) 得,( C 為任意常數(shù) ),由 得,故,3. 若 則W = 4000 即為平衡解 .,若 則,若 則,,,,在

21、 的情形 , 當(dāng) t ? 27.7 時(shí) , W = 0 , 這意味著 該公司在今后的 28 個(gè)年頭將破產(chǎn) .,下圖給出了上述幾個(gè)函數(shù)的曲線 . W = 4000 是一個(gè) 平衡解 . 可以看到 , 如果凈資產(chǎn)在 附近某值開始 , 但 并不等于 4000 (百萬(wàn)元) , 那么隨著 t 的增大 , W 將遠(yuǎn)離 故 W = 4000 是一個(gè)不穩(wěn)

22、定的平衡點(diǎn) .,,,,,例7 在宏觀經(jīng)濟(jì)研究中 , 發(fā)現(xiàn)某地區(qū)的國(guó)民收入 y , 國(guó)民儲(chǔ)蓄 S 和投資 I 均是時(shí)間 t 的函數(shù) . 且在任一時(shí)刻 t , 儲(chǔ)蓄額 S( t ) 為國(guó)民收入 y( t ) 的1/10 倍 , 投資額 I( t )是 國(guó)民收入增長(zhǎng)率 dy/dt 的 1/3 倍 . t = 0 時(shí) , 國(guó)民收入為 5 (億元) . 設(shè)在時(shí)刻 t 的儲(chǔ)蓄額全部