第四節(jié)一階線性微分方程

1、可降階的二階微分方程,型的微分方程 型的微分方程,一、實例,例 1 懸鏈線方程,設(shè)有一條質(zhì)量均勻、柔軟且不能伸縮的繩索, 兩端分別被固定在兩個不同的位置, 它在重力作用下處于平衡狀態(tài). 試求繩索在平衡狀態(tài)時所對應(yīng)的曲線方程.,背景 這是歷史上一個著名的力學(xué)問題,它最初是由詹姆斯.伯努利在 1690 年提出的. 在此之前,伽里略曾關(guān)注過該問題, 并猜想這條曲線是拋物線,但后來發(fā)現(xiàn)是不對的,最后是由約翰.伯努利解

2、決的. 萊布尼茲將其命名為懸鏈線,它在工程中有廣泛的應(yīng)用.,解 如圖, 建立坐標(biāo)系,設(shè)繩索的最低點為 D, 取 y 軸通過點D 鉛直向上, x 軸水平向右, 且點 D到原點 O 的距離為一定值a. 由題意,曲線在點D處的切線斜率為零.,設(shè) M(x,y)為繩索上任一點, DM 的弧長為 s, 繩索的線密度為 ρ , 則,例 2 核廢料的處理問題,將核廢料裝在密封的圓桶里沉到水深約91米的海里.問這種處理方法是否安全?,,,,,,,

3、安全隱患: (1)圓桶密封性; (2)圓桶破裂,實驗結(jié)論: (1) 圓桶所受阻力與圓桶的下沉方位無關(guān),與下沉速度成正比, 比例系數(shù) k=0.12;(2)圓桶速度超過12.2米時,圓桶會因碰撞而破裂,所用常數(shù):圓桶重量 : W=239.456 Kg 海水浮力: 1025.94kg/m3圓桶體積: V=0.208m3,解 如圖, 建立坐標(biāo)系,圓桶所受的力 F =W－ B－D,浮力B=1025.94×V=