數(shù)學的特點、定義

1、1,第一章 概 述 第一節(jié) 數(shù)學是什么,2,一、數(shù)學的“定義”,恩格斯：數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門科學。 隨著時間的推移，數(shù)學大大發(fā)展了，諸如事物的結(jié)構(gòu)、數(shù)理邏輯等，都成為數(shù)學的研究對象；這些，似乎不能包含在上述定義中。人們在尋找數(shù)學的新“定義”。 但是，要給數(shù)學下個定義，并不那么容易。至今難以有關(guān)于“數(shù)學”的、大家取得共識的“定義”。,3,1．古

2、今數(shù)學家的說法 （美）R·柯朗（《數(shù)學是什么》）：“數(shù)學，作為人類智慧的一種表達形式，反映生動活潑的意念，深入細致的思考，以及完美和諧的愿望，它的基礎(chǔ)是邏輯和直覺，分析和推理，共性和個性。”,4,（法）E·波萊爾： “數(shù)學是我們確切知道我們在說什么，并肯定我們說的是否對的唯一的一門科學?！保ㄓⅲ┝_素：“數(shù)學是所有形如p蘊含q的命題的類”， 而最前面的命題p是否對，卻無法判斷。 因此“數(shù)學是我們永遠不知道我們

3、在說什么，也不知道我們說的是否對的一門學科?！?5,1）哲學說2）符號說　3）科學說　4）工具說　5）邏輯說　6）創(chuàng)新說　7）直覺說 8）集合說,9）結(jié)構(gòu)說（關(guān)系說） 10）模型說 11）活動說 12）精神說 13）審美說 14）藝術(shù)說　15）萬物皆數(shù)說,2．數(shù)學的15個“定義”,6,15個“定義” 來自,7,只 講解“哲學說”，其他只作一句話的解釋，并請查資料。 哲學說

4、,亞里士多德：“新的思想家把數(shù)學和 哲學看作是相同的。”來自古希臘，亞里士多德、歐幾里得 等人。《幾何原本》：點是沒有部分的那種東西； 線是沒有寬度的長度牛頓在《自然哲學之數(shù)學原理》的序言中說，他是把這本書“作為哲學的數(shù)學原理的著作”，“在哲學范圍內(nèi)盡量把數(shù)學問題呈現(xiàn)出來”。,8,哲學

5、是研究最廣泛的事物，數(shù)學也是研究最廣泛的事物，這是它們的共同點。但是，數(shù)學與哲學的研究對象不同，研究方法也不同。 兩者雖有相似之處，但數(shù)學不是哲學的一部分， 哲學也不是數(shù)學的一部分。 現(xiàn)在有人說“哲學從一門學科中退出， 意味著這門學科的建立；而數(shù)學進入一門學科，就意味著這門學科的成熟?！?9,符號說：是說數(shù)學是一種高級語言，是符號的世界。科學說：是說數(shù)學是精密的科學，“數(shù)學是科學的皇后”。工具說：是

6、說“數(shù)學是其它所有知識工具的源泉”。 邏輯說：是說數(shù)學推理依靠邏輯，“數(shù)學為其證明所具有的邏輯性而驕傲。”,10,創(chuàng)新說：是說數(shù)學是一種創(chuàng)新，如發(fā)現(xiàn)無理數(shù)，提出微積分，創(chuàng)立非歐幾何。直覺說：是說數(shù)學的基礎(chǔ)是人的直覺，數(shù)學主要是由那些直覺能力強的人們推進的。集合說：是說數(shù)學各個分支的內(nèi)容都可以用集合論的語言表述。 結(jié)構(gòu)說（關(guān)系說）：是強調(diào)數(shù)學語言、符號的結(jié)構(gòu)方面及聯(lián)系方面，“數(shù)學是一種關(guān)系學”。,11,模型說：是說數(shù)學就是研究各種

7、形式的模型，如微積分是物體運動的模型，概率論是偶然與必然現(xiàn)象的模型，歐氏幾何是現(xiàn)實空間的模型，非歐幾何是非歐空間的模型?；顒诱f：是說“數(shù)學是人類最重要的活動之一”。精神說：是說“數(shù)學不僅是一種技巧，更是一種精神，特別是理性的精神?！?12,審美說：是說“數(shù)學家無論是選擇題材還是判斷能否成功的標準，主要是美學的原則。” 藝術(shù)說：是說“數(shù)學是一門藝術(shù)。” 萬物皆數(shù)說：是說數(shù)的規(guī)律是世界的根本規(guī)律，一切都可以歸結(jié)為整數(shù)與整數(shù)比。,13

8、,方延明：數(shù)學是研究現(xiàn)實世界中數(shù)與形之間各種形式模型的結(jié)構(gòu)的一門科學。 徐利治：數(shù)學是“實在世界的最一般的量與空間形式的科學，同時又作為實在世界中最具有特殊性、實踐性及多樣性的量與空間形式的科學”。 回到恩格斯的定義： 數(shù)學是研究（現(xiàn)實世界中的）數(shù)量關(guān)系與空間形式的一門科學。,14,[思]： 請你在學習“數(shù)學文化”課的過程中，始終帶著下面的問題——在學完“數(shù)學文化”課后，給出一

9、個你自己對“數(shù)學”的定義。,15,二、數(shù)學的特點 抽象性 精確性 應(yīng)用的廣泛性,16,1．抽象性 第一，數(shù)學的研究對象本身就是抽象的； 第二，在數(shù)學的抽象中只保留量的關(guān)系和空間形式而舍棄了其他一切； 第三，數(shù)學的抽象是一級一級逐步提高的，它們所達到的抽象程度大大超過了其它學科中的抽象； 第四，核心數(shù)學主要處理抽象概念和它

10、們的相互關(guān)系。,17,2．精確性 數(shù)學的精確性表現(xiàn)在數(shù)學推理的邏輯嚴格性和數(shù)學結(jié)論的確定無疑性。 漢克爾說：“在大多數(shù)科學里，一代人要推倒另一代人所修筑的東西，只有數(shù)學，每一代人都能在舊建筑上增添一層新樓。” 作為對照的三個例子： ① 電子管電路→ 半導(dǎo)體電路→ 集成電路 ② 地心說→日心說→開普勒三定律 ③ 高溫超導(dǎo)的上界（朱經(jīng)

11、武） 30ºK→90ºK→120ºK →240ºK,18,關(guān)于“晶體的結(jié)構(gòu)有多少種”的討論,曾經(jīng)，許多物理學家、化學家、晶體學家給出了各不相同的結(jié)論。數(shù)學家介入以后，運用“群”的理論，得到了明確的答案：晶體的結(jié)構(gòu)只能有240種。 而且，數(shù)學家的推理是如此精確，讓人信服，使得之后就不再有人去研究這一問題了，因為結(jié)論已經(jīng)確定無疑。,19,3．應(yīng)用的廣泛性 華羅庚：宇宙之大，粒

12、子之微，火箭之速，化工之巧，地球之變，生物之謎，日用之繁，數(shù)學無處不在。 例子：①哈雷彗星的發(fā)現(xiàn)； ②海王星的發(fā)現(xiàn)； ③電磁波的發(fā)現(xiàn)。,20,哈雷彗星的發(fā)現(xiàn),古時人們認為彗星的出現(xiàn)是不祥之兆，直到17世紀，英國天文學家哈雷開始計算彗星軌道時，發(fā)現(xiàn)1682年、1607年和1531年出現(xiàn)的彗星有相似的軌道，他判斷這三顆彗星其實是同一顆彗星，并預(yù)言它將在1

13、758年底或1759年初再次出現(xiàn)。1759年，這顆彗星果然出現(xiàn)了。雖然哈雷已在此前的1742年逝世，但為了紀念他，這顆彗星稱為“哈雷彗星”?！　」族缧堑幕貧w周期為76年，最近一次的回歸是在1986年；下一次回歸是在2062年。,21,海王星的發(fā)現(xiàn),這個太陽系最遠的行星（之一）， 是1846年在數(shù)學計算的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn) 的。天文學家分析了天王星運動的 不規(guī)律性，推斷出這是由其他行星 的引力而產(chǎn)生的。勒未累計

14、算出它 應(yīng)處的位置，觀察員在指定位置發(fā)現(xiàn) 了該行星。 航海家2號拍攝, 1989.8.,22,電磁波的發(fā)現(xiàn),英國物理學家麥克斯韋概括了由實驗建立起來的電磁現(xiàn)象規(guī)律，把這些規(guī)律表述為“方程的形式”，用純粹數(shù)學的方法推導(dǎo)出可能存在著電磁波并且這些電磁波應(yīng)該以光速傳播者。據(jù)此，他提出

15、了光的電磁理論。此外，他的結(jié)論還推動了人們?nèi)ふ壹冸娖鹪吹碾姶挪ā?24年后，德國物理學家赫茲在振蕩放電實驗中證實了電磁波的存在，不久，意大利的馬可尼和俄國人波波夫又在此基礎(chǔ)上獨立地發(fā)明了無線電報。從此，電磁波走進了千家萬戶。,23,三、數(shù)學與其它領(lǐng)域的聯(lián)系 1.數(shù)學與教育 數(shù)學對于受教育者，不僅僅是學會一門課程、一門知識、更重要的是學習數(shù)學的思想、方法、精神；把數(shù)

16、學作為成才的基本素質(zhì)要求。,24,1）波利亞：“讓我們教猜想吧！” 波利亞還說：“在數(shù)學家證明一個定理之前，必須猜想到這個定理；在他完成證明的細節(jié)之前，必須先猜想出證明的主導(dǎo)思想?！?事實上，教育并不總是在讓學生認知，教育在很大程度上是讓學生欣賞，只有這樣，才有最佳的教育效益。,25,2）作為數(shù)學教授的大學校長：,丁石孫——北京大學蘇步青——復(fù)旦大學谷超豪——中國科大潘承洞——山東大學齊民友——武漢大學伍卓群

17、——吉林大學侯自新——南開大學李岳生——中山大學曹策問——鄭州大學楊思明——湘潭大學展 濤 ——山東大學,黃達人——中山大學吳傳喜——湖北大學周明儒——徐州師大王梓坤——北師大陸善鎮(zhèn)——北師大王建磐——華東師大史寧中——東北師大路 鋼——華中師大邱玉輝——西南師大王國俊——陜西師大庾建設(shè)——廣州大學房靈敏——西藏大學,26,大學校長是綜合素質(zhì)比較好的學者；眾多大學校長都是數(shù)學教授，這也說明數(shù)

18、學教育對人的綜合素質(zhì)的提高，影響很大。 有些人把它叫做 有趣的中國現(xiàn)象,27,丁石孫：北京大學校長,丁石孫：北京大學校長 （1984-1989年） 全國人大常委會副委員長，民盟中央名譽主席。漢族，1927年9月生，江蘇鎮(zhèn)江人，民盟成員、中共黨員，1950年參加工作，清華大學數(shù)學系畢業(yè)，大學學歷，教授。專長:代數(shù)、數(shù)論。,28,蘇步青，復(fù)旦大學校長,蘇步青：復(fù)旦大學校長（1978-1983年） 1902年生于

19、浙江，2003年卒于上海。中國科學院院士。他是國際公認的幾何學權(quán)威，我國微分幾何學派的創(chuàng)始人。早在20年代，他的仿射不變的四次（三階）的代數(shù)錐面，被命名為蘇錐面。他的仿射微分幾何的高水平工作，至今在國際數(shù)學界仍享有很高的評價。,29,谷超豪，中國科技大學校長,谷超豪：中國科技大學校長 簡歷： 1926年生于浙江溫州。1948年畢業(yè)于浙江大學數(shù)學系，1953年起在復(fù)旦大學任教，1957年赴前蘇聯(lián)莫斯科大學進修，獲科學博士學

20、位。歷任復(fù)旦大學副校長和中國科技大學校長。1980年當選為中國科學院數(shù)學物理學部委員。專長偏微分方程、微分幾何和數(shù)學物理 。,30,潘承洞，山東大學校長,潘承洞：山東大學校長 （1986年-1997） 1934出生，江蘇省蘇州市人。1997年12月27日在濟南病逝。中國科學院院士。1981年與其胞弟潘承彪合作編著的《哥德巴赫猜想》一書，為世界上第一本全面系統(tǒng)地論述哥德巴赫猜想研究工作的專著；1982年與王元、陳景潤共同以哥德

21、巴赫猜想的研究成果獲國家自然科學一等獎。,31,齊民友，武漢大學校長,齊民友：武漢大學校長（1988-1992年） 1930年出生，1952年畢業(yè)于武漢大學數(shù)學系，并從事偏微分方程 理論的研究。武漢大學博士導(dǎo)師。,曾任國務(wù)院學位委員會數(shù)學組成員。中國數(shù)學會副理事長，湖北省數(shù)學會理事長。1984年起任武漢大學副校長，1988年任武漢大學校長。,32,李岳生，中山大學校長,李岳生：中山大學校長 （1984-1991年）

22、 1930年1月生，中山大學教授，博士生導(dǎo)師。曾任中山大學校長、計算機科學系主任、數(shù)學研究所所長；國務(wù)院學位委員會第二、三屆學科評議組成員，從事常微分方程、計算數(shù)學、微分方程數(shù)值解法、樣條函數(shù)與變分方法等方面的研究。,33,曹策問，鄭州大學校長,曹策問：鄭州大學校長 簡歷：1940年2月出生，湖南長沙人。1957年9月進入北京大學數(shù)學力學系數(shù)學專業(yè)學習；1963年9月在北京大學數(shù)學力學系讀研究生；1979年3月任鄭州大學

23、數(shù)學系教師，1986年任教授；1987年2月任鄭州大學副校長；1994年起任校長；；2003年1月任政協(xié)河南省第九屆委員會副主席。專長：可積動力系統(tǒng)。,34,展?jié)?，吉林大學校長,展?jié)?，回族?963年4月出生，山東兗州人，中共黨員，理學博士，教授，博士生導(dǎo)師。1979年9月入山東大學數(shù)學系學習，先后獲得學士、碩士、博士學位；1987年留校任教，先后被評聘為講師、副教授、教授；1991年1月至1992年12月獲德國洪堡基金會獎勵基金，

24、赴德國弗萊堡大學從事合作研究；1993年4月任山東大學數(shù)學系副主任；1995年3月任山東大學副校長；1996年12月任山東大學黨委常委、副校長；2000年7月任山東大學黨委常委、校長。,35,黃達人，中山大學校長,黃達人，男，1945年4月生，浙江象山人。1962年至1968年就讀于浙江大學數(shù)學系。1978年至1981年在浙江大學數(shù)學系讀研究生，畢業(yè)后留校任教。1985年至1986年作為訪問學者在美國南卡羅來納大學數(shù)學系進修訪問一年

25、。1988年任浙江大學數(shù)學系教授。曾任浙江大學數(shù)學系副主任、范歲久醫(yī)學圖像實驗室主任、教務(wù)處長、副教務(wù)長等職。1992年至1998年任浙江大學副校長。1998年11月調(diào)任中山大學常務(wù)副校長。1999年8月至今任中山大學校長。 學術(shù)研究領(lǐng)域為函數(shù)逼近論、小波分析、信號和圖像處理。,36,吳傳喜，湖北大學,吳傳喜1961年7月出生。教授，博導(dǎo)。北京大學數(shù)學系畢業(yè)，獲理學博士學位。2000年1月?lián)魏贝髮W校長。研究方向：現(xiàn)代微分幾何

26、,37,周明儒，徐州師范大學,38,王梓坤，北京師范大學校長,王梓坤：北京師范大學校長 （1984-1989年） 1929年4月生,江西吉安縣人。1952年畢業(yè)于武漢大學數(shù)學系。1955年考入蘇聯(lián)莫斯科大學數(shù)學力學系做研究生，師從于數(shù)學大師 A.N. Kolmogorov和 R. L. Dobrushin, 1952年起先后任南開大學講師、教授。1984年以來任北京師范大學教授。1984年至1989年任北京師范大學校長。199

27、1年當選為中國科學院院士。王梓坤是我國概率論研究的先驅(qū)和主要領(lǐng)導(dǎo)者之一。,39,王建磐，華東師范大學校長,王建磐：華東師范大學校長 簡歷：1949年1月2日生于福建古田縣。數(shù)學教授、博士生導(dǎo)師。1967年高中畢業(yè)后曾插隊農(nóng)村，當過中學民辦教師和縣劇團編劇。1978年靠自學考取華東師范大學數(shù)學系研究生，1981年獲理學碩士學位并留校工作，1982年考取本校在職博士研究生并于當年獲得理學博士學位，是我國首批18位自己培養(yǎng)的博士之一。

28、1991年聘為教授。1997年起任華東師范大學校長。主要研究領(lǐng)域為代數(shù)群與量子群，在代數(shù)群的模表示和量子群的表示理論上均有重要建樹。,40,史寧中，東北師范大學校長,史寧中：東北師范大學校長 （1998年- ） 1975年畢業(yè)于東北師范大學數(shù)學系。1982年至1989年赴日本九州大學理學部學習，先后獲得碩士、博士學位，是我國改革開放后首批公費留學的博士生。1989年回國后，任教于東北師范大學數(shù)學系。1992年起任教授。199

29、3年被評為博士生導(dǎo)師。1997年當選國務(wù)院學位委員會學科評議組成員。主要從事數(shù)理統(tǒng)計研究，研究方向涉及多元分析、傘型半序約束、 列聯(lián)表、凸分析等 。,41,路 鋼，華中師范大學,42,侯自新，南開大學校長（1995年-2006年）,侯自新教授曾任南開大學數(shù)學系主任、校長助理、副校長、研究生院院長、中國數(shù)學學會副理事長、天津市學位委員會副主任，九屆全國人民代表大會代表，天津市十四屆人民代表大會常務(wù)委員會委員?，F(xiàn)任十屆全國人民代表大會代表、

30、中國高等院校數(shù)學研究與高等人才培養(yǎng)中心主任、中國老教授協(xié)會副會長、天津市教育發(fā)展基金會副理事長。　　侯自新教授多年從事李群、李代數(shù)及齊性空間微分幾何等方面的研究與教學工作。,43,2.數(shù)學與文學 1）用數(shù)學方法對作品和語言進行寫作風格分析、 詞匯相關(guān)程度和句型頻譜分析 例：《紅樓夢》前80回與后40回的作者是否相同？ 1980年6月，在美國威斯康辛大學召開的

31、國際首屆《紅樓夢》研討會上，來自威斯康辛大學的華裔學者陳炳藻先生宣讀了一篇《從詞匯上的統(tǒng)計論〈紅樓夢〉的作者問題》的博士論文，引起了國際紅學界的關(guān)注和興趣。1986年，陳炳藻教授公開發(fā)表了《電腦在文學上的應(yīng)用：〈紅樓夢〉與〈兒女英雄傳〉兩書作者》的專著。利用計算機對《紅樓夢》前八十回和后四十回的用字進行了測定，并從數(shù)理統(tǒng)計的觀點出發(fā)，探討《紅樓夢》前后用字的相關(guān)程度。他將《紅樓夢》的一百二十回分為三組，每組四十回。并將《兒女英雄傳》作為

32、第四組進行比較，從每組中任意取出八萬字，分別挑出名詞，動詞，形容詞，副詞，虛詞這五種詞匯，運用數(shù)理語言學，通過計算機程序?qū)@些詞進行編排，統(tǒng)計，比較和處理，進而找出各組相關(guān)程度。結(jié)果發(fā)現(xiàn)《紅樓夢》前八十回與后四十回的詞匯相關(guān)程度達到78.57%，而《紅樓夢》與《兒女英雄傳》的詞匯相關(guān)程度是32.14%。由此他推斷出《紅樓夢》的作者為同一個人所寫的結(jié)論。這個結(jié)論是否被紅學界所結(jié)受，還存在一定的爭論。但是這種方法卻給很多人留下了深刻的印象。

33、 《靜靜的頓河》的作者是肖洛霍夫。,44,2）語言學好比一個公理化系統(tǒng) （語法好比法則和定理） 3）語音學（關(guān)于語調(diào)）的研究 計算機模擬人的語調(diào)，并繪出直觀的三維圖像， 是南開大學中文系與計算機系合作的一個成果，曾 獲得國家級教學成果二等獎。 其中大量用到數(shù)學。,45,3.數(shù)學與史學

34、 1）史衡學 數(shù)學的介入，使史學的研究成果更加客觀、嚴謹，較多地排除了人為因素。 2）考古對數(shù)學史研究的推進 1986年上海陸家咀發(fā)現(xiàn)元朝玉掛，談祥柏教授研究后發(fā)現(xiàn)，它是一個四階完全幻方。過去以為只有印度歷史上才有這種“完全幻方”。,46,4.數(shù)學與哲學 1）數(shù)學中“無限”的概念、“連續(xù)”的概念，一經(jīng)出現(xiàn)，便成了哲學研究的對象。 2）“哲學從一門學科中退出， 意味著這門學科的

35、建立；而數(shù)學進入一門學科，就意味著這門學科的成熟。” B.Demollins:“沒有數(shù)學，我們無法看透哲學的深度，沒有哲學，人們也無法看透數(shù)學的深度，而若沒有兩者，人們就什么也看不透?！?3）哲學系的“邏輯學”專業(yè)與數(shù)學系的“數(shù)理邏輯”專業(yè)。,47,5.數(shù)學與經(jīng)濟 1）普遍運用數(shù)學，建立經(jīng)濟模型 2）獲諾貝爾經(jīng)濟學獎的學者中，數(shù)學家出身的和有數(shù)學背景的人占一半以上。

36、6.數(shù)學與社會學 1）定量社會學、實證社會學已經(jīng)形成了一套邏輯嚴密的研究模式 2） “社會科學的許多重要領(lǐng)域已經(jīng)發(fā)展到不懂數(shù)學的人望塵莫及的階段?！?48,7.數(shù)學與工程技術(shù) 1）“1991年的海灣戰(zhàn)爭就是信息戰(zhàn)爭、數(shù)學戰(zhàn)爭” 2）數(shù)學與工程技術(shù)的相互滲透，非常廣泛、深刻。 2000年 是聯(lián)合國宣布的“世界數(shù)學年”，聯(lián)合國教科文組織指出：“純粹數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學是理解世

37、界及其發(fā)展的一把主要鑰匙?！?49,趣味題一：抓堆和抓三堆,1. 抓堆： 有一堆谷粒（例如100粒），甲、乙輪流抓，每次可抓1－5粒，甲先抓，規(guī)定誰抓到最后一把誰贏。問：甲應(yīng)該如何抓？為什么？,50,從簡單的問題入手,有一堆谷粒（例如10粒），甲、乙輪流抓，每次可抓1－5粒，甲先抓，規(guī)定誰抓到最后一把誰贏。問：甲應(yīng)該如何抓？為什么？,51,數(shù)學思想：問題一般化；問題特殊化；歸納總結(jié)，找出規(guī)律；證明規(guī)律，得到結(jié)論。,52,問

38、題一般化,抓堆： 有一堆谷粒（例如 n 粒），甲、乙輪流抓，每次可抓1－5粒，甲先抓，規(guī)定誰抓到最后一把誰贏。問：甲應(yīng)該如何抓？為什么？ 問題特殊化n = 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，12，13，,53,“抓堆”游戲的結(jié)論,把“6的倍數(shù)”留給對方，自己可以取勝。 （“反面說法”）在 n = 100 時，甲抓 4 ?？梢匀?。,54,2

39、. 抓三堆： 有三堆谷粒（例如100粒、200粒、 300粒），甲、乙輪流抓，每次只能從一堆 中抓，最少抓1粒，可抓任意多粒；甲先抓，規(guī)定誰抓到最后一把誰贏。問：甲應(yīng)該如何抓？為什么？,55,從簡單的情形入手,有三堆谷粒（例如4粒、5粒、 6粒），甲、乙輪流抓，每次只能從一堆中抓，最少抓1粒，可抓任意多粒。 甲先抓，規(guī)定“誰抓到最后一把誰贏”。問：甲應(yīng)該如何抓？為什么？,56,游戲?qū)嶄?4 ，5 ，6

40、，,57,數(shù)學文化：問題一般化；問題特殊化；歸納抽象，找出規(guī)律；證明規(guī)律，得到結(jié)論。,58,抓三堆：有三堆谷粒（例如100粒、200粒、300粒），甲、乙輪流抓，每次只能從一堆中抓，最少抓1粒，可抓任意多粒；甲先抓，規(guī)定誰抓到最后一把誰贏。問：甲應(yīng)該如何抓？為什么？ 解： 問題一般化 記號：將三堆谷粒的狀況記為（a , b , c）, 例如（100 , 200 , 300）。 這樣，

41、誰抓為（0 , 0 , 0），誰贏。,59,分析： 問題特殊化 1）只有一堆時，即狀況為（a , 0 , 0）,此時先抓者必勝。,60,2）只有兩堆時，即狀況為（a , b , 0） （1）若b = a , 即狀況為（a , a , 0）,此時后抓者必勝。因為 對方先抓后，結(jié)果或剩一堆，成為（a , 0 , 0）的狀況， 一把可抓完；或剩兩堆，你抓后，又成為新的（d ,

42、 d , 0） 的狀況，且d a ,即狀況為（a , b , 0）, 此時先抓 者必勝。因為先抓者可以把第二堆抓掉b – a個，使狀況 轉(zhuǎn)化為（a , a , 0）, 成為新的“狀況（1）”。,61,3）三堆都有，且其中兩堆相等，即狀況為（a , a , c）,此時先抓者必勝。因為先抓者可以把第三堆全抓完，使狀況轉(zhuǎn)化為（a , a , 0）,成為新的“狀況 2)（1）”。4）三堆都有，且其中任意

43、兩堆都不相等， 即狀況為（a , b , c）, 且不妨設(shè)a < b < c ,此時 情況比較復(fù)雜。,62,為了下面表述得清楚，我們把前面的一個結(jié)論用“反面說法”，總結(jié)為 “把兩堆相等的狀況留給對方，自己可以取勝。” 然后再討論 a、b、c 的不同情況。以其中最小的a為“主要線索”分情況討論。,63,（1）a ＝ 1 時，即狀況為（1 , b , c）。 下

44、面再 對 b 分情況討論。 （2）a ＝ 2 時，即狀況為（2 , b , c）。 下面再 對 b 分情況討論。 （3）a ＝ 3 時，即狀況為（3 , b , c）。 下面再 對 b 分情況討論。 （4）a ＝ 4 時，即狀況為（4 , b , c）。 下面再 對 b 分情況討論。 等等，等等。,64,往下的討論，留作“課