姜啟源《數(shù)學(xué)模型》第四版第二章初等模型

1、第二章 初等模型,2.1 光盤(pán)的數(shù)據(jù)容量2.2 雙層玻璃窗的功效2.3 劃艇比賽的成績(jī)2.4 實(shí)物交換2.5 污水均流池的設(shè)計(jì)2.6 交通流與道路通行能力2.7 核軍備競(jìng)賽2.8 揚(yáng)帆遠(yuǎn)航2.9 天氣預(yù)報(bào)的評(píng)價(jià),研究對(duì)象的機(jī)理比較簡(jiǎn)單,用靜態(tài)、線性、確定性模型即可達(dá)到建模目的,可以利用初等數(shù)學(xué)方法來(lái)構(gòu)造和求解模型,盡量采用簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)工具來(lái)建模,如果用初等和高等的方法建立的模型，其應(yīng)用效果差不多，那么初

2、等模型更高明，也更受歡迎.,初 等 模 型,2.1 光盤(pán)的數(shù)據(jù)容量,背景和問(wèn)題,20世紀(jì)80年代出現(xiàn)激光唱片(CD)與激光視盤(pán)(LD), 統(tǒng)稱(chēng)光盤(pán)，用于儲(chǔ)存數(shù)字聲頻、視頻信號(hào)和計(jì)算機(jī)數(shù)據(jù)等.,20世紀(jì)90年代出現(xiàn)數(shù)字視頻光盤(pán)(DVD).,21世紀(jì)初光盤(pán)集計(jì)算機(jī)、光學(xué)記錄和影視技術(shù)為一體, 帶動(dòng)了出版、廣播、通信、互聯(lián)網(wǎng)等行業(yè)的發(fā)展.,CD的數(shù)據(jù)容量: 單層650MB(兆字節(jié))DVD的數(shù)據(jù)容量: 單層4.7GB(千兆字節(jié)),從數(shù)學(xué)

3、建模的角度研究 : 光盤(pán)的數(shù)據(jù)容量是怎么確定的，在一定條件下怎樣使其最大化.,調(diào)查和分析,經(jīng)過(guò)編碼的數(shù)字信息，以一定深度和寬度、不同長(zhǎng)度的凹坑的形式，用燒蝕技術(shù)存儲(chǔ)在光盤(pán)表面呈螺旋線形狀的信道上.,當(dāng)盤(pán)片上環(huán)形區(qū)域面積一定時(shí)，數(shù)據(jù)容量的大小取決于信道的總長(zhǎng)度與信道上存儲(chǔ)數(shù)據(jù)的線密度.,決定信道長(zhǎng)度和線密度大小的主要因素是所用激光的波長(zhǎng)，和驅(qū)動(dòng)光盤(pán)的機(jī)械形式.,調(diào)查和分析,當(dāng)光盤(pán)運(yùn)轉(zhuǎn)時(shí)激光束要能識(shí)別出信道上的凹坑所攜帶的信息，必須精確地聚

4、焦.,數(shù)據(jù)容量,激光波長(zhǎng) 驅(qū)動(dòng)形式,信道長(zhǎng)度 線密度,激光波長(zhǎng),光的衍射使激光束在光盤(pán)上形成圓狀的光斑.,為了提高存儲(chǔ)數(shù)據(jù)的線密度，應(yīng)該使光斑盡量小，而光斑的大小與激光波長(zhǎng)成正比.,,,調(diào)查和分析,恒定角速度(CAV),驅(qū)動(dòng)光盤(pán)的機(jī)械形式,每一圈螺旋線上存儲(chǔ)同等數(shù)量的數(shù)據(jù)信息,容量取決于最內(nèi)圈的長(zhǎng)度、線密度以及總?cè)?shù),各圈螺旋線上數(shù)據(jù)的線密度不變,容量取決于固定的線密度和螺旋線總長(zhǎng)度,恒定線速度(CLV ),從光盤(pán)的容量比較，CLV

5、優(yōu)于CAV.,數(shù)據(jù)讀取時(shí)間: CLV每圈轉(zhuǎn)速不同，當(dāng)讀出磁頭在內(nèi)外圈移動(dòng)時(shí)，需要等待光盤(pán)加速或減速，而CAV不需要.,對(duì)音樂(lè)、影像、計(jì)算機(jī)文件等按順序播放的信息，多用CLV;對(duì)詞典、數(shù)據(jù)庫(kù)、人機(jī)交互等常要隨機(jī)查找的信息，多用CAV.,模型建立,CLV(恒定線速度)光盤(pán),R1~光盤(pán)環(huán)形區(qū)域內(nèi)圓半徑, R2 ~外圓半徑, d ~信道間距,LCLV ~信道總長(zhǎng)度,環(huán)形區(qū)域面積/信道間距,同心圓平均周長(zhǎng)*總?cè)?shù),,數(shù)據(jù)容量,ρ~線密度,,(n

6、~總?cè)?shù)),其他方法建模,模型建立,CAV(恒定角速度)光盤(pán),螺旋線最內(nèi)圈的長(zhǎng)度近似為2πR1, 總?cè)?shù)可視為,,,數(shù)據(jù)容量,LCLV ~信道總長(zhǎng)度,ρ~線密度,,當(dāng)線密度ρ、信道間距d和外徑R2給定后， 可選擇環(huán)形區(qū)域的內(nèi)圓半徑R1，使數(shù)據(jù)容量最大 .,模型求解,CLV(恒定線速度)光盤(pán),R2=58 mm , R1=22.5 mm,CD信道長(zhǎng)度在5km以上，容量約680 MB; DVD容量在GB量級(jí).,影像時(shí)間按照每秒鐘占用0.62

7、 MB計(jì)算 .,模型求解,CAV(恒定角速度)光盤(pán),,即使在內(nèi)圓半徑的最佳選擇下，CAV光盤(pán)的信息容量也小于CLV光盤(pán) .,問(wèn)題,雙層玻璃窗與同樣多材料的單層玻璃窗相比，減少多少熱量損失.,假設(shè),熱量傳播只有傳導(dǎo)，沒(méi)有對(duì)流.,T1,T2不變，熱傳導(dǎo)過(guò)程處于穩(wěn)態(tài).,材料均勻，熱傳導(dǎo)系數(shù)為常數(shù).,建模,熱傳導(dǎo)定律,Q ~單位時(shí)間單位面積傳導(dǎo)的熱量,?T~溫差, d~材料厚度, k~熱傳導(dǎo)系數(shù),2.2 雙層玻璃窗的功效,單層,Ta,Tb,記

8、雙層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q1,Ta~內(nèi)層玻璃的外側(cè)溫度,Tb~外層玻璃的內(nèi)側(cè)溫度,,建模,記單層玻璃窗傳導(dǎo)的熱量Q2,雙層與單層窗傳導(dǎo)的熱量之比,k1=4~8 ?10-3 (J/cm·s·kw·h), k2=2.5?10-4, k1/k2=16 ~32,對(duì)Q1比Q2的減少量作最保守的估計(jì)，,取k1/k2 =16,,建模,模型應(yīng)用,取 h=l/d=4, 則 Q1/Q2=0.03,即雙層玻璃窗與同樣多材料的

9、單層玻璃窗相比，可減少97%的熱量損失.,結(jié)果分析,Q1/Q2所以如此小，是由于層間空氣的熱傳導(dǎo)系數(shù)k2極低, 而這要求空氣非常干燥、不流通.,房間通過(guò)天花板、墻壁、…損失的熱量更多.,實(shí)際上雙層窗的功效不會(huì)如此之大!,2.3 劃艇比賽的成績(jī),對(duì)四種賽艇 (單人、雙人、四人、八人) 4次國(guó)際大賽冠軍的成績(jī)進(jìn)行比較，發(fā)現(xiàn)與槳手?jǐn)?shù)有某種關(guān)系. 試建立數(shù)學(xué)模型揭示這種關(guān)系.,問(wèn)題,準(zhǔn)備,調(diào)查賽艇的尺寸和質(zhì)量,問(wèn)題分析,前進(jìn)阻力 ~ 浸沒(méi)部

10、分與水的摩擦力,前進(jìn)動(dòng)力 ~ 槳手的劃槳功率,分析賽艇速度與槳手?jǐn)?shù)量之間的關(guān)系,賽艇速度由前進(jìn)動(dòng)力和前進(jìn)阻力決定:,對(duì)槳手體重、功率、阻力與艇速的關(guān)系等作出假定.,運(yùn)用合適的物理定律建立模型.,模型假設(shè),1）艇形狀相同(l/b為常數(shù)), w0與n成正比,2）v是常數(shù)，阻力 f與 sv2成正比,符號(hào)：艇速 v, 浸沒(méi)面積 s, 浸沒(méi)體積 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 槳手?jǐn)?shù) n, 槳手功率 p, 槳手體重 w, 艇重 W.,艇的靜態(tài)特

11、性,艇的動(dòng)態(tài)特性,3）w相同，p不變，p與w成正比,槳手的特征,模型建立,f sv2,,p w,s1/2 A1/3,,A W(=w0+nw) n,np fv,,模型檢驗(yàn),,,,,,利用4次國(guó)際大賽冠軍的平均成績(jī)對(duì)模型 t n – 1/ 9 進(jìn)行檢驗(yàn).,與模型吻合！,劃艇比賽的成績(jī),對(duì)實(shí)際數(shù)據(jù)做比較、分析，發(fā)現(xiàn)并提出問(wèn)題.,利用物理基本知識(shí)分析問(wèn)題.,模型假設(shè)比較粗糙.,利用合適的物理定律及簡(jiǎn)單的

12、比例方法建模(只考慮各種艇的相對(duì)速度).,模型結(jié)果與實(shí)際數(shù)據(jù)十分吻合 (巧合！),問(wèn)題,甲有物品X, 乙有物品Y, 雙方為滿足更高的需要，商定相互交換一部分. 研究實(shí)物交換方案.,用x,y分別表示甲(乙)占有X,Y的數(shù)量. 設(shè)交換前甲占有X的數(shù)量為x0, 乙占有Y的數(shù)量為y0, 作圖：,若不考慮雙方對(duì)X,Y的偏愛(ài)，則矩形內(nèi)任一點(diǎn) p(x,y),都是一種交換方案：甲占有(x,y) ，乙占有(x0 -x, y0 -y).,2.4 實(shí)物交

13、換,甲的無(wú)差別曲線,分析與建模,如果甲占有(x1,y1)與占有(x2,y2)具有同樣的滿意程度,即p1, p2對(duì)甲是無(wú)差別的.,將所有與p1, p2無(wú)差別的點(diǎn)連接起來(lái), 得到一條無(wú)差別曲線MN.,線上各點(diǎn)的滿意度相同, 線的形狀反映對(duì)X,Y的偏愛(ài)程度.,比MN各點(diǎn)滿意度更高的點(diǎn)如p3，在另一條無(wú)差別曲線M1N1上, 于是形成一族無(wú)差別曲線（無(wú)數(shù)條）.,無(wú)差別曲線族的性質(zhì)：,單調(diào)減(x增加, y減小),下凸(凸向原點(diǎn)),互不相交,在p1點(diǎn)

14、占有x少、y多，寧愿以較多的? y換取較少的? x;,在p2點(diǎn)占有y少、x多，就要以較多的? x換取較少的? y.,甲的無(wú)差別曲線族記作,f(x,y)=c1,c1~滿意度,（f ~等滿意度曲線）,甲的無(wú)差別曲線,乙的無(wú)差別曲線族 g(x,y)=c2具有相同性質(zhì)（形狀可以不同）.,雙方的交換路徑,乙的無(wú)差別曲線族 g=c2 (坐標(biāo)系x'O'y', 且反向）,甲的無(wú)差別曲線族 f=c1,雙方滿意的交換方案必在AB（交

15、換路徑）上!,因?yàn)樵贏B外的任一點(diǎn)p', (雙方)滿意度低于AB上的點(diǎn)p.,兩族曲線切點(diǎn)連線記作AB,分析與建模,交換方案的進(jìn)一步確定,交換方案 ~ 交換后甲的占有量 (x,y),0?x?x0, 0?y?y0矩形內(nèi)任一點(diǎn),交換路徑AB,X,Y用貨幣衡量其價(jià)值，設(shè)交換前x0,y0價(jià)值相同，則等價(jià)交換原則下交換路徑為,(x0,0), (0,y0) 兩點(diǎn)的連線CD.,AB與CD的交點(diǎn)p,設(shè)X單價(jià)a, Y單價(jià)b, 則等價(jià)交換下ax+b

16、y=s (s=ax0=by0),2.5 污水均流池的設(shè)計(jì),城市生活污水的流量是時(shí)刻變化的, 在凈化處理前需要先進(jìn)入一個(gè)集中、儲(chǔ)存的大池子，再通過(guò)水泵和輸水管以恒定的流量流向凈化設(shè)備.,背景和問(wèn)題,集中、儲(chǔ)存、均衡調(diào)節(jié)流量的池子稱(chēng)為均流池.,根據(jù)污水的流量設(shè)計(jì)均流池的容積及水泵和輸水管的規(guī)格；在一定條件下按照施工成本最小的原則確定均流池的具體尺寸.,調(diào)查和分析,除了節(jié)假日等特殊情況以外，生活污水進(jìn)入均流池的流量是以天為周期變化的.,典

17、型調(diào)查得到以小時(shí)為單位間隔、一天的污水流量(m3/s),污水一天進(jìn)入均流池的平均流量（忽略蒸發(fā)等損失） =從均流池用水泵打入凈化設(shè)備的恒定流量,由以小時(shí)為單位間隔的污水流入量和從均流池到凈化設(shè)備的恒定流出量，可得均流池中污水隨時(shí)間變化的容量.,調(diào)查和分析,均流池的容積應(yīng)該按照污水的最大容量，并考慮留有一定裕量來(lái)設(shè)計(jì).,均流池的面積可以由它的容積和深度得到.,均流池的施工成本：底部單位面積的成本，四條邊上單位長(zhǎng)度的施工成本

18、.,均流池的形狀一般為矩形，其深度通常按照工程需要（底部需安裝設(shè)備、進(jìn)行清理等）確定.,模型假設(shè)與建立,以調(diào)查得到的一天的污水流量為依據(jù)，并留有25%的裕量進(jìn)行均流池的設(shè)計(jì).,均流池的深度為3m，施工成本：底部面積 340元/m2，兩條長(zhǎng)邊及一條短邊250元/m，另一條短邊450元/m.,模型1 均流池的恒定流出量和最大容量模型,,流量單位換算成m3/h,記為f(t),平均流入量=恒定流出量,=203.67(m3/h ),設(shè)計(jì)流量

19、255 m3/h (25%的裕量),f(t),模型1,均流池中污水的容量為c(t) (m3),,設(shè)c(0)=0,,c(9)最小,,c(23)最大,,模型1,f(t),c(t),最大容量為892.98m,設(shè)計(jì)容量1116 m3 (25%的裕量),模型2 均流池的具體尺寸模型,,設(shè)計(jì)容量1116 m3, 深度3m,施工成本：底部面積 340元/m2, 兩長(zhǎng)邊及一短邊250元/m,另一短邊450元/m. l~長(zhǎng)邊長(zhǎng)度， w~短邊長(zhǎng)

20、度,底部面積 l w=372, w =372/ l,建造一個(gè)23 m×16.5m的均流池，成本約15萬(wàn)元.,,,2.6 交通流與道路通行能力,現(xiàn)代城市生活中交通擁堵是普遍存在的現(xiàn)象，在許多平面交叉路口，紅燈后面總是排著長(zhǎng)長(zhǎng)的汽車(chē)隊(duì)伍等待放行.,背景和問(wèn)題,通過(guò)信號(hào)燈控制等管理手段提高道路通行能力，已經(jīng)成為城市交通工程面臨的重要課題之一.,介紹交通流的基本參數(shù)及它們之間的關(guān)系; 討論一般道路及信號(hào)燈控制的十字路口的通行能

21、力.,交通流的基本參數(shù)及其特性,流量q~某時(shí)刻單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)道路某斷面的車(chē)輛數(shù)(輛/h ),密度k~某時(shí)刻通過(guò)道路某斷面單位長(zhǎng)度內(nèi)的車(chē)輛數(shù)(輛/km ),速度v ~某時(shí)刻通過(guò)道路某斷面的車(chē)輛速度(km/h),交通流~ 標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度的小型汽車(chē)在單方向道路上行駛形成的車(chē)流，沒(méi)有外界因素如岔路、信號(hào)燈等的影響.,借用物理學(xué)概念, 將交通流看作一輛輛汽車(chē)組成的連續(xù)流體, 用流量、速度、密度3個(gè)參數(shù)描述其基本特性.,3個(gè)參數(shù)之間的基本關(guān)系,交通流的基

22、本參數(shù)及其特性,速度v 與密度k 的關(guān)系,,線性模型,vf ~暢行車(chē)速(k=0時(shí)),kj~阻塞密度(v=0時(shí)),適合車(chē)流密度適中的情況,對(duì)數(shù)模型,車(chē)流密度較大時(shí)適用,指數(shù)模型,車(chē)流密度較小時(shí)適用,v1~ k=kj/e時(shí)的車(chē)速(理論上), 由觀測(cè)數(shù)據(jù)確定.,交通流的基本參數(shù)及其特性,km=kj/2 ~最大流量時(shí)的密度,vm=vf/2 ~最大流量時(shí)的速度,,,,城市干道的通行能力,道路通行能力~單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)某斷面的最大車(chē)輛數(shù).,交通流量遠(yuǎn)

23、小于通行能力時(shí)，車(chē)速高，呈自由流狀態(tài),交通流量接近通行能力時(shí)，車(chē)速低，呈強(qiáng)制流狀態(tài)，出現(xiàn)交通擁堵.,飽和度~流量與通行能力的比值, 表示道路的負(fù)荷程度.,城市干道的通行能力~在理想的道路和交通條件下，當(dāng)具有標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度和技術(shù)指標(biāo)的車(chē)輛，以前后兩車(chē)最小車(chē)頭間隔連續(xù)行駛時(shí)，單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)道路某斷面的最大車(chē)輛數(shù)N (輛/h).,城市干道的通行能力,,v~車(chē)速 (km/h)， d~最小車(chē)頭間隔(m),d 主要由剎車(chē)距離決定，剎車(chē)距離與車(chē)速密切相關(guān).

24、,,d1~剎車(chē)時(shí)司機(jī)在反應(yīng)時(shí)間t0 內(nèi)汽車(chē)行駛的距離.,d2~剎車(chē)時(shí)從制動(dòng)器起作用到汽車(chē)停止行駛的距離.,c~與路面阻力、車(chē)重、濕度、坡度等有關(guān)的系數(shù).,d3~兩車(chē)之間的安全距離，d4~車(chē)輛的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度.,單位時(shí)間內(nèi)通過(guò)的最大車(chē)輛數(shù)N,城市干道的通行能力,交通工程的專(zhuān)業(yè)教材: 司機(jī)剎車(chē)的反應(yīng)時(shí)間t0 =1s，系數(shù)c=0.01,安全距離 d3=2m，小型車(chē)輛的標(biāo)準(zhǔn)長(zhǎng)度d4=5m.,當(dāng)t0，c，d3，d4變大時(shí)最大通行能力Nm減小.,最大通行

25、能力,,,最大制動(dòng)力與車(chē)的質(zhì)量成正比，使汽車(chē)作勻減速運(yùn)動(dòng).,制動(dòng)距離與車(chē)速的模型,制動(dòng)距離：制動(dòng)器作用力、車(chē)重、車(chē)速、道路、氣候…,設(shè)計(jì)制動(dòng)器的合理原則：,剎車(chē)時(shí)使用最大制動(dòng)力F，F(xiàn)作的功等于汽車(chē)動(dòng)能的改變，且F與車(chē)的質(zhì)量m成正比.,F d2= m v2/2,F ? m,模型假設(shè),,信號(hào)燈控制的十字路口的通行能力,相位A,相位B,相位C,相位D,信號(hào)燈控制采用4相位方案,典型的十字路口,東西方向有3條車(chē)道：左轉(zhuǎn)、直行、直右混行,南北方向

26、有2條車(chē)道：左轉(zhuǎn)、直右混行,某一相位下每小時(shí)通過(guò)停止線的最大車(chē)輛數(shù)(單行道) S (輛/h),信號(hào)燈控制的十字路口的通行能力,假設(shè)紅燈時(shí)車(chē)輛在停止線后排成一列等待，綠燈后第1輛車(chē)立即啟動(dòng)通過(guò)停止線，其余車(chē)輛按照固定時(shí)間間隔通過(guò)停止線.,T(s)~信號(hào)燈周期， tg(s)~某相位的綠燈時(shí)間.t0(s)~綠燈后第1輛車(chē)通過(guò)停止線的時(shí)間.ts(s)~直行或右轉(zhuǎn)車(chē)輛通過(guò)停止線的時(shí)間.,,~反映車(chē)輛通過(guò)路口不均勻性的折減系數(shù).,信號(hào)燈控制的十

27、字路口的通行能力,G=tg/T~綠燈時(shí)間與信號(hào)燈周期之比(綠信比),Q= 3600/ts~小時(shí)流量(按每ts(s) 通過(guò)一輛車(chē)計(jì)算),每小時(shí)通過(guò)停止線的最大車(chē)輛數(shù),實(shí)地調(diào)查高峰時(shí)段 4個(gè)相位通行的實(shí)際流量qA, qB, qC, qD,調(diào)整4個(gè)相位的綠信比, 使GA:GB:GC:GD qA:qB:qC:qD,t0=2.3s，ts=2.5s(小型車(chē)輛)~3.5s(大型車(chē)輛)，對(duì)直行或右轉(zhuǎn) =0.9(左轉(zhuǎn)更小),2.7 核軍

28、備競(jìng)賽,冷戰(zhàn)時(shí)期美蘇聲稱(chēng)為了保衛(wèi)自己的安全, 實(shí)行“核威懾戰(zhàn)略”, 核軍備競(jìng)賽不斷升級(jí).,隨著前蘇聯(lián)的解體和冷戰(zhàn)的結(jié)束, 雙方通過(guò)了一系列核裁軍協(xié)議.,在什么情況下雙方的核軍備競(jìng)賽不會(huì)無(wú)限擴(kuò)張, 而存在暫時(shí)的平衡狀態(tài).,當(dāng)一方采取加強(qiáng)防御、提高武器精度、發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈等措施時(shí), 平衡狀態(tài)會(huì)發(fā)生什么變化.,估計(jì)平衡狀態(tài)下雙方擁有的最少的核武器數(shù)量,這個(gè)數(shù)量受哪些因素影響.,背景與問(wèn)題,以雙方(戰(zhàn)略)核導(dǎo)彈數(shù)量描述核軍備的大小.,假定雙方采

29、取如下同樣的核威懾戰(zhàn)略：,認(rèn)為對(duì)方可能發(fā)起所謂第一次核打擊，即傾其全部核導(dǎo)彈攻擊己方的核導(dǎo)彈基地；,己方在經(jīng)受第一次核打擊后，應(yīng)保存足夠的核導(dǎo)彈，給對(duì)方重要目標(biāo)以毀滅性的打擊.,在任一方實(shí)施第一次核打擊時(shí)，假定一枚核導(dǎo)彈只能攻擊對(duì)方的一個(gè)核導(dǎo)彈基地.,摧毀這個(gè)基地的可能性是常數(shù)，它由一方的攻擊精度和另一方的防御能力決定.,模型假設(shè),圖的模型,y=f(x)~甲有x枚導(dǎo)彈,乙所需的最少導(dǎo)彈數(shù)(乙安全線),x=g(y)~乙有y枚導(dǎo)彈,甲所需的

30、最少導(dǎo)彈數(shù)(甲安全線),當(dāng) x=0時(shí) y=y0，y0~乙方的威懾值,y0~甲方實(shí)行第一次打擊后已經(jīng)沒(méi)有導(dǎo)彈，乙方為毀滅甲方工業(yè)、交通中心等目標(biāo)所需導(dǎo)彈數(shù).,,P(xm,ym),乙安全區(qū),甲安全區(qū),雙方安全區(qū),P~平衡點(diǎn)(雙方最少導(dǎo)彈數(shù)),乙安全線,分析模型,乙方殘存率 s ~甲方一枚導(dǎo)彈攻擊乙方一個(gè)基地，基地未被摧毀的概率.,sx個(gè)基地未被摧毀，y–x個(gè)基地未被攻擊.,x<y,甲方以 x枚導(dǎo)彈攻擊乙方 y個(gè)基地中的 x個(gè),,y0

31、=sx+y–x,x=y,y0=sy,乙的x–y個(gè)基地被攻擊2次, s2(x–y)個(gè)未被摧毀;y –(x–y)=2y– x個(gè)被攻擊1次, s(2y– x )個(gè)未被摧毀.,y0= s2(x–y)+ s(2y– x ),x=2y,y0=s2y,y<x<2y,,x=a y,,分析模型,x=y, y=y0/s,x=2y, y=y0/s2,y0~威懾值,s~殘存率,利用微積分知識(shí)可知y是一條上凸的曲線，且,y0變大，曲線上移、變陡

32、.,s變大，y減小，曲線變平.,x<y, y= y0+(1–s)x,y<x<2y,,甲方增加經(jīng)費(fèi)保護(hù)及疏散工業(yè)、交通中心等目標(biāo).,乙方威懾值 y0變大,,甲方的被動(dòng)防御也會(huì)使雙方軍備競(jìng)賽升級(jí).,（其他因素不變）,乙安全線 y=f(x)上移,模型解釋,,,平衡點(diǎn)P?P´,,,甲方將固定核導(dǎo)彈基地改進(jìn)為可移動(dòng)發(fā)射架.,乙安全線y=f(x)不變,甲方殘存率變大,威懾值x 0不變,x減小，甲安全線x=g(y)向y軸

33、靠近,,模型解釋,甲方這種單獨(dú)行為，會(huì)使雙方的核導(dǎo)彈減少.,,,,P?P´,雙方發(fā)展多彈頭導(dǎo)彈，每個(gè)彈頭可以獨(dú)立地摧毀目標(biāo).,(x , y仍為雙方核導(dǎo)彈的數(shù)量),雙方威懾值x 0, y0和殘存率s均減小.,y0減小 ? y下移且變平,s變小 ? y增加且變陡,雙方導(dǎo)彈增加還是減少，需要更多信息及更詳細(xì)的分析.,模型解釋,乙安全線 y=f(x),,,核 軍 備 競(jìng) 賽,對(duì)“核威懾戰(zhàn)略”做一些合理、簡(jiǎn)化假設(shè)，用圖的模型描述雙方

34、核武器相互制約、達(dá)到平衡的過(guò)程.,,提出安全曲線概念，給出它的一般形式.,通過(guò)更精細(xì)的分析找到影響安全線的參數(shù)：威懾值和殘存率，給出安全線的分析表達(dá)式.,利用模型對(duì)核軍備競(jìng)賽中的一些現(xiàn)象作出合理解釋.,帆船在海面上乘風(fēng)遠(yuǎn)航，確定最佳的航行方向及帆的朝向.,簡(jiǎn)化問(wèn)題,海面上東風(fēng)勁吹，設(shè)帆船要從A點(diǎn)駛向正東方的B點(diǎn)，確定起航時(shí)的航向?，,2.8 揚(yáng)帆遠(yuǎn)航,模型分析,風(fēng)(通過(guò)帆)對(duì)船的推力w,風(fēng)對(duì)船體部分的阻力p,推力w的分解,阻力p的分解

35、,p=p1+p2,模型假設(shè),w與帆迎風(fēng)面積s1成正比，p與船迎風(fēng)面積s2成正比，比例系數(shù)相同且 s1遠(yuǎn)大于 s2 .,f1~航行方向的推力,p1 ~航行方向的阻力,w1=wsin(?–?),f1=w1sin?=wsin? sin(?–?),p1=pcos?,模型假設(shè),w2與帆面平行，可忽略.,f2, p2垂直于船身，可由舵抵消.,模型建立,w=ks1, p=ks2,船在正東方向速度分量v1=vcos?,航向速度v與力f=f1–p1成正

36、比.,v=k1(f1–p1),2) 令? =? /2, v1=k1 [w(1–cos?)/2–pcos?]cos ?求?使v1最大（w=ks1, p=ks2）,1) 當(dāng)?固定時(shí)求?使f1最大,f1=w[cos(?–2?)–cos?]/2,= k1(f1–p1)cos?,f1=w1sin?=wsin? sin(?–?),p1=pcos?,求?,? ,使 v1最大,模型建立,v1=vcos?,模型求解,60º < ? &

37、lt; 75º,1< t < 2,備注,只討論起航時(shí)的航向，是靜態(tài)模型. 航行過(guò)程中終點(diǎn)B將不在正東方，應(yīng)調(diào)整?和? .,記 t=1+2s2/s1, k2=k1w/2,=( k1w/2)[1–(1+2p/w)cos?]cos ?,w=ks1, p=ks2,1/4<cos ?<1/2,模型求解,v1=k1 [w(1–cos?)/2–pcos?]cos ?,s1>> s2,,,,2.8

38、天氣預(yù)報(bào)的評(píng)價(jià),明天是否下雨的天氣預(yù)報(bào)以有雨概率形式給出.,問(wèn)題,已得到某地一個(gè)月4種預(yù)報(bào)方法的有雨概率預(yù)報(bào)，和實(shí)際上有雨或無(wú)雨的觀測(cè)結(jié)果.,怎樣根據(jù)這些數(shù)據(jù)對(duì)4種預(yù)報(bào)方法給以評(píng)價(jià),計(jì)數(shù)模型,根據(jù)明天是否有雨的實(shí)測(cè)，統(tǒng)計(jì)預(yù)報(bào)的正確率,有雨概率=50% 毫無(wú)意義, 不予統(tǒng)計(jì),正確率0.57,正確率0.71,正確率0.81,正確率0.93,ⅹ,√,計(jì)數(shù)模型,從實(shí)用角度看，更重要的是誤報(bào)率.,預(yù)報(bào)無(wú)雨而實(shí)測(cè)有雨的概率P2,預(yù)報(bào)有雨

39、而實(shí)測(cè)無(wú)雨的概率P1,設(shè)兩種后果的損失之比為1 : 2,P1=10/16,P2=3/14,誤報(bào)率P=P1/3+2P2/3=0.35,誤報(bào)率P=0.20,誤報(bào)率P=0.06,√,,,缺點(diǎn): 未考慮預(yù)報(bào)概率的具體值,記分模型,將預(yù)報(bào)有雨概率與實(shí)測(cè)結(jié)果比較并記分,模型1,pk~第k天預(yù)報(bào)有雨概率,vk=1~第k天有雨， vk=0~無(wú)雨,第k天的預(yù)報(bào)得分,對(duì)k 求和得到預(yù)報(bào)的分?jǐn)?shù)S1,S1 (A) =1.0， S1 (B) = 2.6， S1

40、(C) = 7.0， S1 (D) = 6.7,實(shí)測(cè)有雨,S1越大越好,√,記分模型,模型2,,pk~第k天預(yù)報(bào)有雨概率,vk=1~第k天有雨， vk=0~無(wú)雨,第k天的預(yù)報(bào)得分,對(duì)k 求和得到預(yù)報(bào)的分?jǐn)?shù)S2,S2越小越好,S2 (A) =14.5，S2 (B) = 12.9， S2 (C) = 8.5， S2 (D) = 8.8,√,,模型3,第k天的預(yù)報(bào)得分,對(duì)k 求和得到預(yù)報(bào)的分?jǐn)?shù)S3,S3越小越好,S3 (A) =8.95，S3

41、 (B) = 6.39， S3 (C) =4.23， S3 (D) =3.21,√,記分模型,S2 (A) =14.5，S2 (B) = 12.9， S2 (C) = 8.5， S2 (D) = 8.8,S3 (A) =8.95，S3 (B) = 6.39， S3 (C) =4.23， S3 (D) =3.21,S1 (A) =1.0， S1 (B) = 2.6， S1 (C) = 7.0， S1 (D) = 6.7,模型1, 2對(duì)4種

42、預(yù)報(bào)的優(yōu)劣排序、相對(duì)分差都相同,f~理論上的有雨概率,模型3的期望分?jǐn)?shù),p~預(yù)報(bào)有雨概率,v=1~有雨， v=0~無(wú)雨,P(v=1)= f, P(v=0)= 1– f,比較模型3與模型2的優(yōu)劣,p=f 時(shí)E(S)最小,考察一般模型,求E(S)的極值,此意義下模型3最佳！,圖形模型,,*號(hào)幾乎隨機(jī)分布, 預(yù)報(bào)效果很差,模型1,*號(hào)的p沒(méi)有變化, 毫無(wú)用途,v=0*號(hào)在p=0.6左邊,無(wú)雨預(yù)報(bào)較好; v=1 *號(hào)分散 ,有雨預(yù)報(bào)較差,v=

43、0 *號(hào)在p=0.5左邊,v=1 *號(hào)在p=0.4右邊,無(wú)雨、有雨預(yù)報(bào)都好,*上( )中數(shù)字是坐標(biāo)在*的天數(shù),圖形模型,模型2,,p ~預(yù)報(bào)有雨概率, q~實(shí)測(cè)有雨天數(shù)比例,p和q越接近越好,*離對(duì)角線越近越好,*幾乎均勻分布,明顯不好,只有一個(gè)*, 幾乎在q=p上,比A好一些,未顯示出優(yōu)勢(shì),模型缺陷,不能用于預(yù)報(bào)B的情況,數(shù)據(jù)量小可能是預(yù)報(bào)D未得到正確評(píng)價(jià)的原因,用*與q=p的豎直距離度量模型的優(yōu)劣, 并考慮各個(gè)*的權(quán)重，模型2可量化

44、為分?jǐn)?shù)模型 .,深入討論,評(píng)價(jià)預(yù)報(bào)的優(yōu)劣，需制定評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn),無(wú)統(tǒng)一看法, 提出三類(lèi)層次、內(nèi)涵不同但相互關(guān)聯(lián)的標(biāo)準(zhǔn),第一類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)：預(yù)報(bào)者本身的一致性,指預(yù)報(bào)者根據(jù)知識(shí)、信息和經(jīng)驗(yàn)對(duì)預(yù)報(bào)的事件做出的判斷，與他對(duì)外發(fā)布的預(yù)報(bào)之間的關(guān)系.,不完全一致,預(yù)報(bào)者沒(méi)有利用全部判斷，只從使用者的需要出發(fā).,出于預(yù)報(bào)效益等考慮，對(duì)判斷作了適當(dāng)改變.,一致性受預(yù)報(bào)者控制，外界通常難以掌握,在預(yù)報(bào)以概率形式給出的情況下，當(dāng)預(yù)報(bào)與預(yù)報(bào)者的判斷一致時(shí)，才會(huì)得到與實(shí)際

45、觀測(cè)最相符的結(jié)果.,深入討論,第二類(lèi)標(biāo)準(zhǔn): 根據(jù)預(yù)報(bào)和實(shí)測(cè)間的關(guān)系,評(píng)價(jià)預(yù)報(bào)的品質(zhì),利用預(yù)報(bào)(隨機(jī)變量x)與觀測(cè)(隨機(jī)變量y)的聯(lián)合分布F(x, y),可靠性,決定性,將特定預(yù)報(bào)x下觀測(cè)y的條件均值與x之差對(duì)所有x平均,作為可靠性的數(shù)量指標(biāo).,由條件分布F(y∣x) 和邊際分布F(x) 計(jì)算得到,將特定預(yù)報(bào)x下觀測(cè)y的條件均值與y的無(wú)條件均值之差對(duì)所有x平均, 作為決定性的數(shù)量指標(biāo).,越小越好,越大越好,深入討論,第二類(lèi)標(biāo)準(zhǔn): 根據(jù)預(yù)報(bào)

46、和實(shí)測(cè)間的關(guān)系,評(píng)價(jià)預(yù)報(bào)的品質(zhì),分辨度,敏銳性,將特定觀測(cè)y下預(yù)報(bào)x的條件均值與y之差對(duì)所有y平均,作為分辨度的數(shù)量指標(biāo).,越小越好,將這個(gè)條件均值與y的無(wú)條件均值之差對(duì)所有y平均, 作為分辨度的又一數(shù)量指標(biāo).,越大越好,預(yù)報(bào)本身的敏銳, 與事件無(wú)關(guān). 由邊際分布F(x)決定.,如預(yù)報(bào)有雨概率多數(shù)接近1或0.,由條件分布F(x∣y) 和邊際分布F(y) 計(jì)算得到,不確定性,實(shí)際事件發(fā)生的不確定，與預(yù)報(bào)無(wú)關(guān).會(huì)給預(yù)報(bào)帶來(lái)困難,深入討論,