小學(xué)數(shù)學(xué)——整體把握蘭州

1、整體把握小學(xué)數(shù)學(xué)——從數(shù)學(xué)的角度,首都師范大學(xué)王尚志,問題 不增加學(xué)習(xí)時(shí)間和強(qiáng)度，有什么辦法提高學(xué)習(xí)、教學(xué)效率？ 如何讓學(xué)生喜歡您——喜歡數(shù)學(xué)？ 如何調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)激情、主動精神？ “做得快”是數(shù)學(xué)教育主要價(jià)值追求？ 如何幫助學(xué)生學(xué)會學(xué)習(xí)？,從一節(jié)課的教學(xué)設(shè)計(jì)說起,百分?jǐn)?shù)教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)內(nèi)容 本節(jié)課是在學(xué)生學(xué)習(xí)了分?jǐn)?shù)后，要學(xué)習(xí)的一個(gè)經(jīng)常使用的概念，教師設(shè)計(jì)的一節(jié)概念課。,百分?jǐn)?shù)概念課,教學(xué)目

2、標(biāo)1、理解百分?jǐn)?shù)的概念和意義；2、了解百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)差異，體會為什么引入百分?jǐn)?shù)；3、初步了解百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用；4、讓學(xué)生經(jīng)歷獨(dú)立學(xué)習(xí)和合作學(xué)習(xí)過程。,百分?jǐn)?shù)概念課,教學(xué)形式 本節(jié)課教師主要采用獨(dú)立學(xué)習(xí)與小組合作結(jié)合方式進(jìn)行教學(xué)活動。主要步驟：1、教師將全班同學(xué)進(jìn)行分組；2、確定需要研討的問題串；3、提出學(xué)生在獨(dú)立思考的要求；4、分工合作、交流提升、集體分享等過程；最后，通過學(xué)生的學(xué)習(xí)，分享結(jié)果，形成一個(gè)資源包，從而保

3、證每個(gè)學(xué)生都能有所收獲。,百分?jǐn)?shù)概念課,研討問題串——研討要求1、了解周圍的人是如何認(rèn)識百分?jǐn)?shù)？2、什么是百分?jǐn)?shù)？3、為什么學(xué)習(xí)百分?jǐn)?shù)？百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)有什么差異？4、 在那些背景下使用百分?jǐn)?shù)？,百分?jǐn)?shù)概念課,研討問題串——研討要求課前，各個(gè)小組完成和思考的任務(wù)。 收集并整理周圍成人對以下問題認(rèn)識，并提出自己的認(rèn)識： 什么是百分?jǐn)?shù)； 百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)差異；

4、 在哪些實(shí)際背景下有用； （要求：每一個(gè)同學(xué)獨(dú)立完成，匯總后，再由小組組長和兩個(gè)同學(xué)一起整理，教師需要進(jìn)行比較細(xì)致指導(dǎo)、要求。） （這一節(jié)課安排在星期一，課前的工作在上周末完成。）,百分?jǐn)?shù)概念課,研討問題串——研討要求課上，教師組織交流、抽象、總結(jié)。1、每個(gè)問題有兩個(gè)小組為主，集體進(jìn)行匯報(bào)，其他小組補(bǔ)充，討論；2、教師即時(shí)引導(dǎo)，把握進(jìn)度、集中主題；3、討論完，由教師總結(jié)。課后，對每一個(gè)問題，匯報(bào)小組進(jìn)行整理，并展

5、示。,百分?jǐn)?shù)概念課,評論： 學(xué)生感興趣，每個(gè)人都能參與進(jìn)來。 這節(jié)課的設(shè)計(jì)真的讓學(xué)生開動腦筋思考，想問題，印象深刻。 教學(xué)設(shè)計(jì)不是僅僅以讓學(xué)生“學(xué)會”為目的，而是以學(xué)生“會學(xué)”為目的的。 小組合作不僅僅是留于形式而是真正有價(jià)值的。,背 景,自上而下,國家在行動,國務(wù)院成立了以溫家寶總理為組長的國家中長期教育改革與發(fā)展規(guī)劃綱要領(lǐng)導(dǎo)小組 國家基礎(chǔ)教育課程教材咨詢、工作專家委員會 國家

6、教師教育專家委員會 將成立招生考試專家委員會,背 景,最大的動力 —教育的理想、追求,背 景,過程好了結(jié)果不會差 學(xué)生動起來結(jié)果會更好！,Today’s economy means multiple jobs and on-going development to build transferable skills and competencies,20th Century,21st Century,

7、1 – 2 Jobs,10 – 15 Jobs,Critical Thinking Across Disciplines,Integration of 21st Century Skills intoSubject Matter Mastery,Mastery ofOne Field,SubjectMatterMastery,Number ofJobs:,JobRequirement:,Teaching Model:,

8、SubjectMatterMastery,Integration of 21stCentury Skills intoSubject MatterMastery,Assessment Model:,5,Are we asking the right questions?,Why 21st Century Skills?,Are our students critical thinkers and problem solver

9、s?我們學(xué)生是否具有批判思考和問題解決的人？,Are our students globally aware?我們學(xué)生是否具有全球意識？,Are our students self-directed?我們學(xué)生是否具有自我定向能力？,Are our students good collaborators?我們學(xué)生是否是好的合作者？,Are we asking the right questions?,Why 21st Centur

10、y Skills?,Are our students information and technology literate?我們學(xué)生是否擁有信息技術(shù)意識？,Are our students flexible and adaptable?我們學(xué)生是否具有靈活和適應(yīng)能力？,Are our students innovative?我們學(xué)生是否具有創(chuàng)造意識和能力？,Are our students effective communica

11、tors?我們學(xué)生能否進(jìn)行有效交流能力？,P21 Members,,Why 21st Century Skills?,對雇傭的高中畢業(yè)生，什么能力對職業(yè)成功是最重要的?,Why 21st Century Skills?,對你們最近雇傭的高中畢業(yè)生，他們最缺乏的是什么？,,Why 21st Century Skills?,,對于你們將要雇傭的本科畢業(yè)生，那些能力和基本知識是最重要的？ What applied skills and

12、 basic knowledge are most important for those you will hire with a four-year college diploma?,,,對你們近期雇傭的本科畢業(yè)生，如何評價(jià)他們的這些能力？ Of the four-year graduates you recently hired, how do they rate?,Why 21st Century Skills?,Why

13、 21st Century Skills?,,在今后五年中，那些能力需要重點(diǎn)提升？ What skills and content areas will be growing in importance in the next five years?,Overview: 21st Century Competencies and Skills,21世紀(jì)基本能力幾種看法,基本結(jié)構(gòu),,THE 4 PILLARS OF A COMPET

14、ENCY-BASED EDUCATION,Learning to Know （學(xué)會學(xué)習(xí)）Learning to Do （學(xué)會做事）Learning to Live and Work Together （學(xué)會與人共同生活、工作）Learning to Be （學(xué)會做人） Source: Report presented to UNESCO by the International Commission on Education

15、 for the 21st Century “Learning: the treasure within”, 1996.,認(rèn)識數(shù)學(xué)課程內(nèi)容的三個(gè)基點(diǎn)： 21世紀(jì)基本能力 社會、科學(xué)技術(shù)的發(fā)展 數(shù)學(xué)沿革、發(fā)展 實(shí)際需求 認(rèn)識數(shù)學(xué)新課程變化三個(gè)基本視角： 數(shù)學(xué)視角 教育視角 學(xué)生視角,數(shù)學(xué)的角度,對數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)教育有比較科學(xué)的認(rèn)識整體把握數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)課程努力抓住數(shù)學(xué)的

16、本質(zhì),數(shù)學(xué)的角度,著名數(shù)學(xué)家華羅庚 能把書讀厚——聯(lián)系、整體 能把書讀薄——本質(zhì),關(guān)鍵詞,正確認(rèn)識數(shù)學(xué)整體把握數(shù)學(xué)課程——基本脈絡(luò)數(shù)學(xué)本質(zhì)四基： 基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn),整體把握—數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育,數(shù)學(xué)是研究現(xiàn)實(shí)中數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué)?！鞲袼?數(shù)學(xué)是研究數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學(xué) ——前蘇聯(lián)“數(shù)學(xué)的

17、內(nèi)容、方法、意義” 數(shù)學(xué)是研究模式與秩序的科學(xué)。 ——“2061”計(jì)劃 把數(shù)學(xué)科學(xué)與自然科學(xué)的并列。 ——“2061”計(jì)劃,整體把握—數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育,數(shù)學(xué)是科學(xué)，數(shù)學(xué)是理論，數(shù)學(xué)是語言，數(shù)學(xué)是工具，數(shù)學(xué)是技術(shù)，數(shù)學(xué)是文化，數(shù)學(xué)是伙伴， ……,整體把握—數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育,數(shù)學(xué)的基本特征：抽象性嚴(yán)格性應(yīng)用廣泛性數(shù)學(xué)基本思想抽象模型推理,整體把握—數(shù)學(xué)

18、與數(shù)學(xué)教育,數(shù)學(xué)教育在國家發(fā)展中的作用 幾個(gè)世紀(jì)以來，國家的崇高地位、安全、康寧和發(fā)展總是與國民能力緊密聯(lián)系在一起，這種能力又會受到面向各種復(fù)雜事物觀念的影響。引導(dǎo)社會發(fā)展需要數(shù)學(xué)能力，數(shù)學(xué)能力會給國家?guī)戆l(fā)展優(yōu)勢，在醫(yī)學(xué)和健康，技術(shù)和商業(yè)，航行和太空探索，防御和金融，等等方面，另外，在分析過去失敗經(jīng)驗(yàn)和預(yù)測未來發(fā)展的能力等方面帶來優(yōu)勢。歷史上這樣的例子比比皆是。,整體把握—數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育,數(shù)學(xué)教育在個(gè)人發(fā)展中作用

19、 在數(shù)學(xué)教育方面的成功對于公民個(gè)人也是十分重要的，因?yàn)閿?shù)學(xué)教育有助于他們進(jìn)大學(xué)深造、增加就業(yè)選擇，還有助于在未來的職業(yè)中獲得較好的待遇。 總之，學(xué)好數(shù)學(xué)有助于學(xué)生獲得更廣闊的發(fā)展空間。國家科學(xué)委員會預(yù)示，與數(shù)學(xué)有密切聯(lián)系的科學(xué)和工程方面勞動力需求增長速度和總的職業(yè)需求增長速度相比，比值為3：1 。,整體把握—數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育,兩千多年來，人們一直認(rèn)為每一個(gè)受教育者都必須具備一定的數(shù)學(xué)知識。但是，

20、今天，數(shù)學(xué)教育的傳統(tǒng)地位卻陷入了嚴(yán)重的危機(jī)之中，而且遺憾的是數(shù)學(xué)工作者要對此負(fù)一定的責(zé)任。數(shù)學(xué)教學(xué)有時(shí)竟演變成空洞的解題訓(xùn)練，這種訓(xùn)練雖然可以提高形式推理的能力，但卻不能導(dǎo)致真正的理解與深入的獨(dú)立思考。數(shù)學(xué)研究已經(jīng)出現(xiàn)一種過分專門化和過于強(qiáng)調(diào)抽象的趨勢，而忽視了數(shù)學(xué)的應(yīng)用以及與其他領(lǐng)域的聯(lián)系。不過，這種狀況不能證明緊縮數(shù)學(xué)教育政策是合理的。相反，那些醒悟到培養(yǎng)思維重要性的人，必然會采取完全不同的做法，即更加重視和加強(qiáng)數(shù)學(xué)教學(xué)。教師、學(xué)生

21、和一般受過教育的人都要求數(shù)學(xué)家有一個(gè)建設(shè)性的改造，而不是聽其自然，其目的是要真正理解數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體，是科學(xué)思考與行動的基礎(chǔ)。 ——R.柯朗（1941年，什么是數(shù)學(xué)的序言）,受學(xué)校教育的影響，一般人認(rèn)為數(shù)學(xué)僅僅是對科學(xué)家、工程師，或許還有金融家才有用的一系列技巧。這樣的教育導(dǎo)致了對這門學(xué)科的厭惡和對它的忽視。 由于學(xué)校數(shù)學(xué)教學(xué)的影響，這些權(quán)威性的診斷和流行的看法，竟被認(rèn)為是正確的！數(shù)學(xué)學(xué)

22、科并不是一系列的技巧，這些技巧只不過是它微不足道的方面：它們遠(yuǎn)不能代表數(shù)學(xué)，就如同調(diào)配顏色遠(yuǎn)不能當(dāng)作繪畫一樣。技巧是將數(shù)學(xué)的激情、推理、美和深刻的內(nèi)涵剝落后的產(chǎn)物。如果我們對數(shù)學(xué)的本質(zhì)有一定的了解，就會認(rèn)識到數(shù)學(xué)在形成現(xiàn)代生活和思想中起重要作用這一斷言并不是天方夜譚。 ——M.克萊因,整體把握—數(shù)學(xué)與數(shù)學(xué)教育,整體把握：

23、大學(xué)數(shù)學(xué)課程分類,分析類數(shù)學(xué)課程： 研究函數(shù)以及與函數(shù)有關(guān)的問題的課程。 數(shù)學(xué)分析，復(fù)變函數(shù)，實(shí)變函數(shù)，常微分方程，偏微分方程，數(shù)值計(jì)算，泛函分析，與這些課程有聯(lián)系的拓展類課程：三角級數(shù)，調(diào)和分析，函數(shù)逼近論等等。,整體把握：大學(xué)數(shù)學(xué)課程分類,代數(shù)類數(shù)學(xué)課程：研究運(yùn)算以及與運(yùn)算有關(guān)的課程。 高等代數(shù)（線性代數(shù)、多項(xiàng)式理論），抽象代數(shù)，群倫，有限群及其應(yīng)用，環(huán)論，域論，與這些課程

24、有聯(lián)系的拓展類課程：交換代數(shù)，非交換代數(shù)，半論，等等。,整體把握：大學(xué)數(shù)學(xué)課程分類,幾何類數(shù)學(xué)課程：研究圖形以及與圖形有關(guān)的課程。 解析幾何，射影幾何（高等幾何），微分幾何，點(diǎn)集拓?fù)?，代?shù)拓?fù)?，微分拓?fù)洌⒎至餍?，許多相關(guān)課程：代數(shù)幾何，旋論，形論，等,整體把握：大學(xué)數(shù)學(xué)課程分類,統(tǒng)計(jì)、概率類數(shù)學(xué)課程： 統(tǒng)計(jì)， 概率， 許多相關(guān)課程：隨機(jī)微分方程，等等,整體把握：大學(xué)數(shù)學(xué)課程分類,應(yīng)

25、用類數(shù)學(xué)課程 運(yùn)籌學(xué)——線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、非線性規(guī)劃 優(yōu)化課程 離散數(shù)學(xué)課程——圖論、 學(xué)科應(yīng)用課程——生物數(shù)學(xué)、 經(jīng)濟(jì)、金融類數(shù)學(xué)類課程 計(jì)算類課程 理論物理類數(shù)學(xué)課程 圖像識別類數(shù)學(xué)課程 等等 算法與計(jì)算機(jī)課程,整體把握：高中數(shù)學(xué)課程 的主要脈絡(luò),高中數(shù)學(xué)

26、主要脈絡(luò)①函數(shù) ②幾何 ③運(yùn)算 ④統(tǒng)計(jì)、概率 ⑤應(yīng)用 ⑥算法,初中數(shù)學(xué)：內(nèi)容結(jié)構(gòu),數(shù)與代數(shù)圖形與幾何統(tǒng)計(jì)與概率綜合與實(shí)踐,數(shù)與代數(shù)——初中,數(shù)、字母與運(yùn)算 ——運(yùn)算對象認(rèn)識 ——運(yùn)算背景認(rèn)識 ——運(yùn)算法則 ——運(yùn)算

27、應(yīng)用,數(shù)與代數(shù)——初中,量、關(guān)系與模型 ——量的認(rèn)識 ——從算術(shù)到代數(shù)：模型 ——常量模型：方程與不等式 ——變量模型：函數(shù)模型 ——簡單數(shù)學(xué)建模：模型分類、識別、確定,圖形與幾何——初中,圖形分類 ——空間圖形 ——平

28、面圖形 ——直線圖形、曲線圖形,圖形與幾何——初中,基本幾何圖形與基本關(guān)系： 基本圖形 ——長方體、直角坐標(biāo)系 ——圓 ——等腰三角形？ 基本關(guān)系 ——圖形組成要素的等、不等量關(guān)系 ——圖形間全等關(guān)

29、系 ——圖形間相似關(guān)系 ——圖形間對稱關(guān)系 ——圖形間投影關(guān)系,圖形與幾何——初中,研究圖形的基本方法 ——綜合推理 ——運(yùn)動與變換 ——坐標(biāo)系與代數(shù)方法 ——度量與積分 幾何（圖形）應(yīng)用

30、 ——運(yùn)用圖形描述問題 ——運(yùn)用圖形發(fā)現(xiàn)解決問題思路 ——運(yùn)用圖形表示（記憶）結(jié)果和解決問題過程,統(tǒng)計(jì)與概率——初中,統(tǒng)計(jì) ——數(shù)據(jù)分析全過程 ——從數(shù)據(jù)中提取信息 ——統(tǒng)計(jì)實(shí)際應(yīng)用 概率 ——隨機(jī)現(xiàn)象基本特征與識別 ——古典概型初步,綜合

31、與實(shí)踐——初中,綜合： 綜合數(shù)學(xué)討論某些數(shù)學(xué)問題 綜合數(shù)學(xué)討論某些實(shí)際問題 體會與積累： 數(shù)學(xué)實(shí)踐活動全過程 積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗(yàn),小學(xué)數(shù)學(xué)：內(nèi)容結(jié)構(gòu),數(shù)與代數(shù)圖形與幾何統(tǒng)計(jì)與概率綜合與實(shí)踐,小學(xué)數(shù)學(xué)：內(nèi)容結(jié)構(gòu),數(shù)與代數(shù) ——數(shù)量與數(shù)、運(yùn)算與估算 ——數(shù)量、關(guān)系與模型圖形與幾何

32、 ——圖形與分類 ——圖形基本關(guān)系 ——研究方法 ——圖形應(yīng)用,小學(xué)數(shù)學(xué)：內(nèi)容結(jié)構(gòu),統(tǒng)計(jì)與概率 ——數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)處理 ——概率初步認(rèn)識 綜合與實(shí)踐 ——數(shù)學(xué)綜合 ——數(shù)學(xué)應(yīng)用,數(shù)與代數(shù)——小學(xué),數(shù)量與數(shù)、運(yùn)算與估算 運(yùn)算 ——從數(shù)量到數(shù)——從數(shù)量運(yùn)算到數(shù)運(yùn)算

33、 ——運(yùn)算對象認(rèn)識：數(shù)與數(shù)的表示 ——運(yùn)算背景認(rèn)識 ——運(yùn)算法則 ——運(yùn)算應(yīng)用 估算 ——估算要素：單位、誤差、近似（逼近） ——估算分類,數(shù)與代數(shù)——小學(xué),數(shù)量與數(shù)、運(yùn)算與估算 運(yùn)算 自然數(shù)及其運(yùn)算 為什么數(shù)數(shù)是學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的

34、基礎(chǔ)？ 自然數(shù)的表示 整“個(gè)”數(shù)數(shù)——整“十”數(shù)數(shù)——整“百”整“千”數(shù)數(shù) 數(shù)數(shù)與加法定義 從一位數(shù)加到多位數(shù)的加,數(shù)與代數(shù)——小學(xué),數(shù)量與數(shù)、運(yùn)算與估算 運(yùn)算 自然數(shù)及其運(yùn)算 加、減、乘、除的順序

35、 ——不講加可否講減？ ——不講加、減，可否講除？,數(shù)與代數(shù)——小學(xué),數(shù)量與數(shù)、運(yùn)算與估算 運(yùn)算 自然數(shù)及其運(yùn)算 加、減、乘、除運(yùn)算的意義 乘是加的簡便運(yùn)算——乘的概念、乘對加的分配 除的意義：平均分、包含、乘的逆運(yùn)算,數(shù)與代數(shù)—

36、—小學(xué),數(shù)量與數(shù)、運(yùn)算與估算 運(yùn)算 分?jǐn)?shù)及其運(yùn)算 分?jǐn)?shù)的意義 分?jǐn)?shù)與除法 分?jǐn)?shù)與單位 分?jǐn)?shù)與百分?jǐn)?shù) 分?jǐn)?shù)與比 分?jǐn)?shù)與小數(shù),數(shù)與代數(shù)——小學(xué),

37、數(shù)量與數(shù)、運(yùn)算與估算 運(yùn)算 分?jǐn)?shù)及其運(yùn)算 分?jǐn)?shù)的運(yùn)算——單位作用 分?jǐn)?shù)與整數(shù)運(yùn)算 加 減 除 分?jǐn)?shù)的乘法運(yùn)算,數(shù)與代數(shù)——小學(xué),數(shù)量與數(shù)、運(yùn)算

38、與估算 估算 ——估算要素：單位、誤差、近似（逼近） ——估算分類 度量估計(jì) 比較：兩個(gè)量比較；與上、下界比較；決定范圍 求近似值,數(shù)與代數(shù)——小學(xué),數(shù)量、關(guān)系與模型 ——數(shù)量的認(rèn)識與分類 ——數(shù)量與運(yùn)算

39、 ——基本實(shí)際模型： “路程、速度、時(shí)間”模型 “總價(jià)、單價(jià)、數(shù)量”模型 ——模型抽象：正比例關(guān)系與反比例關(guān)系 ——方程初步 ——簡單數(shù)學(xué)建模：初步學(xué)習(xí)進(jìn)行量、量的關(guān)系分析,數(shù)與代數(shù)——小學(xué),數(shù)量、關(guān)系與模型

40、 ——數(shù)量的認(rèn)識、分類 幾何量 生活量 物理量,數(shù)與代數(shù)——小學(xué),數(shù)量、關(guān)系與模型 ——數(shù)量與運(yùn)算 一類量運(yùn)算 兩類量運(yùn)算,加、減,在同一類事物（同一個(gè)量）范圍，按加減

41、法分類——兩類 反映的都是部分與總數(shù)關(guān)系（求總數(shù)，求部分?jǐn)?shù)）分別對應(yīng) ： 有3只小鳥，又飛來6只，一共是幾只？ 倆人一共有10個(gè)梨，一個(gè)人有4個(gè)，另一個(gè)人有幾個(gè)？,加、減,兩類事物（兩個(gè)量）的數(shù)量比較，按加減法分類——三類 反映兩個(gè)量的數(shù)量：大的、小的與差的關(guān)系（求相差數(shù)，求大數(shù)，求小數(shù)）。 分別對應(yīng)： 學(xué)校里養(yǎng)了12只白兔，7只黑兔，白兔比黑兔多幾只？ 學(xué)校里養(yǎng)

42、了7只黑兔，白兔比黑兔多5只。學(xué)校里養(yǎng)了幾只白兔？ 學(xué)校里養(yǎng)了12只白兔，黑兔比白兔少5只。學(xué)校里養(yǎng)了幾只黑兔？,乘、除,在同一類事物（同一個(gè)量）范圍，按乘、除法分類——三類 反映這個(gè)量的總數(shù)數(shù)與各部份（各部分?jǐn)?shù)量相同）的關(guān)系：知道每份數(shù)和份數(shù)，求總數(shù)： 同學(xué)們澆樹，每人澆4棵，3個(gè)人一共澆多少棵？知道總數(shù)和份數(shù)，求每份數(shù)： 15條金魚，平均放在3個(gè)魚缸里，每個(gè)魚缸放幾

43、條？知道總數(shù)和每份數(shù)，求份數(shù)。 15條金魚，每個(gè)魚缸里放3條，要用幾個(gè)魚缸？,乘、除,兩類事物（兩個(gè)量）的數(shù)量比較，按乘、除法分類——三類 反映兩個(gè)量的倍數(shù)關(guān)系：知道大量的數(shù)量和小量的數(shù)量，求大的是小的幾倍數(shù)： 飼養(yǎng)組養(yǎng)了12只小雞，3只小鴨。小雞的只數(shù)是小鴨的幾倍？知道小量的數(shù)量和大量對小量的倍數(shù)，求大量的數(shù)量： 美術(shù)小組做黃花7朵，做紅花的

44、朵數(shù)是黃花的5倍。做了多少朵紅花？知道大量的數(shù)量和大量對小量的倍數(shù)，求小量的數(shù)量或求1倍數(shù)： 小林家養(yǎng)了36只母雞，正好是公雞只數(shù)的9倍。小林家養(yǎng)幾只公雞？,數(shù)與代數(shù)——小學(xué),數(shù)量、關(guān)系與模型 ——基本實(shí)際模型： “路程、速度、時(shí)間”模型 “總價(jià)、單價(jià)、

45、數(shù)量”模型,典型應(yīng)用問題,三個(gè)量形成基本關(guān)系 ——具體實(shí)際模型 反映“路程、速度、時(shí)間”基本模型 反映“總價(jià)、單價(jià)、數(shù)量”基本模型 其他，例如 反映“工程總量、進(jìn)度、時(shí)間”基本模型 數(shù)量關(guān)系：絕對大小關(guān)系——絕對變化 相對大小關(guān)系——相對變化

46、 （速度、單價(jià)、進(jìn)度、等等）,數(shù)與代數(shù)——小學(xué),數(shù)量、關(guān)系與模型 ——模型抽象：正比例關(guān)系與反比例關(guān)系,數(shù)與代數(shù)——小學(xué),數(shù)量、關(guān)系與模型 ——方程初步 加數(shù) + 加數(shù) ＝和 和 － 加數(shù) ＝差 被乘數(shù)×乘數(shù) ＝積

47、 被除數(shù)÷除數(shù) ＝商,數(shù)與代數(shù)——小學(xué),數(shù)量、關(guān)系與模型 ——簡單數(shù)學(xué)建模：初步學(xué)習(xí)進(jìn)行量、量的關(guān)系分析,小學(xué)數(shù)學(xué)：內(nèi)容結(jié)構(gòu),圖形與幾何 ——圖形與分類 ——基本圖形與基本關(guān)系 ——研究方法 ——圖形應(yīng)用,圖形與幾何——小學(xué),圖形與分類 ——空間圖形 —

48、—平面圖形 ——直線圖形、曲線圖形,圖形與幾何——小學(xué),基本圖形與基本關(guān)系： 基本圖形 ——數(shù)軸 ——方格紙 ——圓、等腰三角形？ 基本關(guān)系 ——圖形變換：平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn),圖形與幾何——小學(xué),研究圖形的基本方法

49、 ——綜合推理 ——運(yùn)動與變換 ——方格紙——坐標(biāo)系與代數(shù)方法 ——度量與積分,圖形與幾何——小學(xué),幾何（圖形）應(yīng)用 ——運(yùn)用圖形描述問題 ——運(yùn)用圖形發(fā)現(xiàn)解決問題思路 ——運(yùn)用圖形表示（記憶）結(jié)果和解決問題過程,一些典型

50、問題,從算術(shù)到代數(shù),從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,問題：一支鉛筆4元，一支鋼筆7元，共有46元買10支筆，應(yīng)如何購買？ 問題：一個(gè)籠子里裝著一些兔子和雞，共計(jì)20只，它們56條腿，試問：兔子和雞各有多少？,從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,算術(shù)方法（一）嘗試（猜測）——調(diào)整 有的學(xué)生——嘗試：買4支鉛筆6支鋼筆， 供需要58元。 ——

51、調(diào)整：只有46元，不足，只能少買一些鋼筆；買1支鋼筆9支鉛筆，可否？需43元?！僬{(diào)整：自己有46元，還可多買鋼筆；買2支鋼筆8支鉛筆，恰為46元。,從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,算術(shù)方法（二）窮舉、列表 有的學(xué)生—— 羅列所有的可能： 從0支鉛筆、10支鋼筆； 1支鉛筆、9支鋼筆； ……… 10支鉛筆、0支鋼筆。 把各種情況下所需的錢算出來

52、。最后作出判斷。 這種方法好嗎？有沒有邏輯？給我們什么啟示？,從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,算術(shù)方法（三）假設(shè)，推理 假設(shè)都買成鉛筆，供需40元； （46 – 40）/ （7 – 4）= 2 結(jié)果：買 8支鉛筆，2 支鋼筆。 為什么？,從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,代數(shù)方法： 1、量的分析 鉛筆每支4元、鋼筆每支7元 （1） 鉛筆的數(shù)量、鋼筆的數(shù)量

53、 （2） 鉛筆和鋼筆的總量10支 （3） 一共擁有46元 （4）其中(1)(3)(4)是已知量,(2)是未知量.這些在討論問題過程中都是不變的。,從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,2、等量關(guān)系讓學(xué)生用自然語言敘述等量關(guān)系 等量關(guān)系1：鉛筆、鋼筆的數(shù)量之和是10支。 等量關(guān)系2：買鉛筆和鋼筆的費(fèi)用之和是46元。 3、設(shè)未知數(shù)、列

54、方程第一種列方程方式：設(shè)未知量鉛筆的支數(shù)為x，利用等量關(guān)系1：鋼筆的數(shù)量為10-x,這樣，利用等量關(guān)系2，有： 4x+7(10-x)=46 。,從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,第二種列方程方式： 設(shè)鉛筆的支數(shù)為x，鋼筆的支數(shù)為y，則 x + y=10 （利用等量關(guān)系1） 4x+7y=46 （利用等量關(guān)系2） 4、 解方程。,,從算術(shù)到代

55、數(shù)例子：雞兔同籠問題,有兩種思維方法： 算術(shù)方法：嘗試，調(diào)整 窮舉，列表 假設(shè)，推理 代數(shù)方法：分析問題中的量，確定等量關(guān) 系，設(shè)未知數(shù)，列方程（不同方式），解方程。,從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,嘗試——調(diào)整求 的值二分法 排序優(yōu)選法微積分、數(shù)值計(jì)算等大部分?jǐn)?shù)學(xué)課程這

56、種方法本質(zhì)上是“逼近”，在數(shù)學(xué)研究特別是數(shù)學(xué)應(yīng)用中，她是非?；镜脭?shù)學(xué)思想，也是一種重要的方法。,從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,窮舉，列表學(xué)生很容易在老師的誘導(dǎo)下，通過窮舉、列表法做出判斷。在“分類”討論是數(shù)學(xué)思考問題的基本思想，窮舉、列表等是最基本、重要的一種方法。為了把所有的情況表示清楚，我們常常采用這種方法。,從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,假設(shè)、推理假設(shè)有10支鉛筆，0支鋼筆，則一共需要40元。如何使用余下的6元？

57、我們知道： 1支鋼筆7元=1支鉛筆4元+3元 這樣，可以用2支鉛筆加6元換兩支鋼筆。由此可知 46元可買8支鉛筆，2支鋼筆。,從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,算術(shù)方法小結(jié)：從數(shù)學(xué)上來講，前兩種方法更重要一些，它們體現(xiàn)了數(shù)學(xué)基本思想——逼近、分類。它們也是數(shù)學(xué)的通性通法，在今后學(xué)習(xí)中非常有用。希望老師幫助學(xué)生掌握。從學(xué)生認(rèn)知來說，前兩種方法也是學(xué)生容易接受的方法。它們反映了比較自然的解決問題過程。很多老

58、師更喜歡用第三種方法來解決類似問題，但這對于部分學(xué)生有一定難度。,從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,代數(shù)方法——方程：1、量的分析2、等量關(guān)系3、設(shè)未知數(shù)、列方程4、 解方程5、討論解的實(shí)際意義,從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,代數(shù)方法特征：分析規(guī)律表示規(guī)律 解決問題討論問題的意義,從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,算術(shù)方法基本特征：算——數(shù)（加—減、乘、除）基本特征：用“術(shù)”——算（有規(guī)律地算）基本特征：不同

59、的算法—— 不同的計(jì)算途徑或程序基本特征：解決一個(gè)一個(gè)的具體問題 通過“術(shù)”和“算”解決的問題是算術(shù)問題。 通過“術(shù)”和“算”體現(xiàn)邏輯思維—演繹。,從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,代數(shù)方法基本特征：用字母代替數(shù)基本特征：用字母表示規(guī)律 量之間的相等關(guān)系、不等關(guān)系、函數(shù)關(guān)系基本特征：通過字母的運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)律

60、 ——解決問題基本特征：不同的算法—— 不同的計(jì)算途徑或程序基本特征：一類一類地解決問題,從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,代數(shù)方法 通過字母的運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)律解決的問題是代數(shù)問題。 通過運(yùn)算和運(yùn)算規(guī)律體現(xiàn)邏輯思維—演繹。,算術(shù)方法與代數(shù)方法 共性： 通過“算”和“算律”解決問題 通過

61、“算”和“算律”體現(xiàn)數(shù)學(xué)的邏輯思維 不同： “算數(shù)”——“算字母” 解決具體問題——解決一類問題,從算術(shù)到代數(shù) 例子：雞兔同籠問題,從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,算術(shù)方法與代數(shù)方法都是解決數(shù)學(xué)問題重要方法。學(xué)習(xí)代數(shù)方法，不是要取代算術(shù)方法，在進(jìn)一步數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)、數(shù)學(xué)研究中，算術(shù)方法仍然會發(fā)揮重要作用。“從算術(shù)到代數(shù)過渡”是一個(gè)重要學(xué)習(xí)階段，通過小學(xué)、初中數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，完成這個(gè)過渡

62、。需要有一個(gè)整體思考。,從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,代數(shù)方法的基本特征： 一類一類解決問題，這是數(shù)學(xué)解決問題的重要思想。 近年來，提出并強(qiáng)調(diào)一個(gè)重要的數(shù)學(xué)概念： 模 型,從算術(shù)到代數(shù)例子：雞兔同籠問題,實(shí)例：雞兔同籠 x + y = a bx + cy = d