一元二次方程根的分布

1、1方程根的分布專題講義方程根的分布專題講義一知識(shí)要點(diǎn)一知識(shí)要點(diǎn)二次方程的根從幾何意義上來(lái)說(shuō)就是拋物線與軸交點(diǎn)的02???cbxaxcbxaxy???2x橫坐標(biāo)，所以研究方程的實(shí)根的情況，可從的圖象上進(jìn)行研02???cbxaxcbxaxy???2究若在內(nèi)研究方程的實(shí)根情況，只需考察函數(shù)與)(????02???cbxaxcbxaxy???2軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)及交點(diǎn)橫坐標(biāo)的符號(hào)，根據(jù)判別式以及韋達(dá)定理，由的系數(shù)可判xcbxaxy???2斷出的符號(hào)，從

2、而判斷出實(shí)根的情況2121xxxx??若在區(qū)間內(nèi)研究二次方程，則需由二次函數(shù)圖象與區(qū)間關(guān)系來(lái)確)(nm02???cbxax定1二次方程有且只有一個(gè)實(shí)根屬于二次方程有且只有一個(gè)實(shí)根屬于的充要條件的充要條件)(nm若其中一個(gè)是方程的根，則由韋達(dá)定理可求出另一根nm若不是二次方程的根，二次函數(shù)的圖象有以下幾種nm02???cbxaxcbxaxxf???2)(可能：（1）（2）210xnxma????nxmxa????210（3）（4）210x

3、nxma????nxmxa????210由圖象可以看出，在處的值與在處的值符號(hào)總是相反，即)(xfmx?)(mfnx?)(nf；反之，若，的圖象的相對(duì)位置只能是圖中四種情況之0)()(??nfmf0)()(??nfmf)(xf一所以得出結(jié)論：若都不是方程的根，記，則有且nm)0(02????acbxaxcbxaxxf???2)(0)(?xf只有一個(gè)實(shí)根屬于的充要條件是)(nm0)()(?nfmf2二次方程兩個(gè)根都屬于二次方程兩個(gè)根都屬于

4、的充要條件的充要條件)(nmxyOmn1x2xxyOmn1x2xxyOmn1x2xxyOmn1x2x3二次方程二次方程的兩個(gè)實(shí)根都在的兩個(gè)實(shí)根都在的左側(cè)（兩根都小于的左側(cè)（兩根都小于）的充要條件是：）的充要條件是：02???cbxax)(nmm????????????mabmafacb20)(042這里這里cbxaxxf???2)(二例題選講二例題選講例１設(shè)關(guān)于的方程R），x?????bbxx(0241（1）若方程有實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)b的取

5、值范圍；（2）當(dāng)方程有實(shí)數(shù)解時(shí)，討論方程實(shí)根的個(gè)數(shù)，并求出方程的解。例２已知二次函數(shù)f(x)=ax2bxc(a≠0).若方程f(x)=x無(wú)實(shí)根，求證：方程f[f(x)]=x也無(wú)實(shí)根例３設(shè)，，若，求實(shí)數(shù)的取值范圍[24)A??240Bxxax????BA?a變式：已知方程x2(3m1)x(3m2)=0的兩個(gè)根都屬于(33)，且其中至少有一個(gè)根小于1，求m的取值范圍例４已知方程有兩個(gè)負(fù)根，求的取值范圍)(0)32()1(242Rmmxmx?

6、?????m例５求實(shí)數(shù)的范圍，使關(guān)于的方程mx062)1(22?????mxmx（１）有兩個(gè)實(shí)根，且一個(gè)比２大，一個(gè)比２?。ǎ玻┯袃蓚€(gè)實(shí)根，且滿足??410??????（３）至少有一個(gè)正根例６已知關(guān)于x的二次方程x22mx2m1=0.(1)若方程有兩根，其中一根在區(qū)間(－1，0)內(nèi)，另一根在區(qū)間(1，2)內(nèi)，求m的范圍.(2)若方程兩根均在區(qū)間(0，1)內(nèi)，求m的范圍.變式：已知方程2x2–2(2a1)xa2=0的兩個(gè)根在3與3之間，求

7、a的取值范圍例７已知二次方程的兩個(gè)根都小于1，求的取值范圍02)12(2?????mxmmxm變式：如果二次函數(shù)y=mx2(m－3)x1的圖象與x軸的交點(diǎn)至少有一個(gè)在原點(diǎn)的右側(cè)，試求m的取值范圍.例８已知是實(shí)數(shù)，函數(shù)，如果函數(shù)在區(qū)間上有零a2()223fxaxxa????()yfx???11?，點(diǎn)，求的取值范圍a二次方程實(shí)根分布的一些方法除了直接用于判別二次方程根的情況，在其它的一些場(chǎng)合下也可以適當(dāng)運(yùn)用下面再舉兩個(gè)例子：例９求函數(shù)y=(

8、1x2)的值域x1x23x2例10已知拋物線y=2x2mxm與直角坐標(biāo)平面上兩點(diǎn)(00)(11)為端點(diǎn)的線段（除去兩個(gè)端點(diǎn)）有公共點(diǎn)，求m的取值范圍三鞏固練習(xí)三鞏固練習(xí)1已知二次方程有且只有一個(gè)實(shí)根屬于(11)，求m的取值04)32()13(2??????mxmxm范圍2已知方程在上有兩個(gè)根，求的取值范圍02)12(22??????mmmxx)1(??m3已知二次方程有且只有一個(gè)實(shí)根屬于（1，2），且0)1(2)12(2?????mmx