初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（66）

1、256初中數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)資料（66）輔助圓甲內(nèi)容提要甲內(nèi)容提要1.經(jīng)過兩個(gè)點(diǎn)可以畫無數(shù)個(gè)圓；經(jīng)過三個(gè)點(diǎn)作圓，必須是不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)，可以作一個(gè)圓，并且只能作一個(gè)圓.2.經(jīng)過四點(diǎn)作圓(即四點(diǎn)共圓)有如下的判定定理：①到一個(gè)定點(diǎn)的距離相等的所有的點(diǎn)在同一個(gè)圓上(圓的定義).②一組對角互補(bǔ)的四邊形頂點(diǎn)在同一圓上.③一個(gè)外角等于它的內(nèi)對角的四邊形頂點(diǎn)共圓.④同底同側(cè)頂角相等的三角形頂點(diǎn)共圓.推論：同斜邊的直角三角形頂點(diǎn)共圓(斜邊就是圓的直徑

2、).3.畫出輔助圓就可以應(yīng)用圓的有關(guān)性質(zhì).常用的有：①同弧所對的圓周角相等.②圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，外角等于內(nèi)對角.③圓心角(圓周角)、弧、弦、弦心距的等量關(guān)系.④圓中成比例線段定理：相交弦定理，切割線定理.4.證明型如abcd=m2常用切割線定理乙例題乙例題例1.已知：點(diǎn)O是△ABC的外心，BE，CD是高.求證：AO⊥DE證明：延長AO交△ABC的外接圓于F，連接BF.∵O是△ABC的外心∴AF是△ABC外接圓的直徑，∠ABF=Rt∠

3、.∵BE，CD是高，∠BDC=∠CEB=Rt∠.∴B，C，E，D四點(diǎn)共圓(同斜邊的直角三角形頂點(diǎn)共圓)∴∠ADE=∠ECB=∠F.∴∠AGD=∠ABF=Rt∠，即AO⊥DE.例2.正方形ABCD的中心為O，面積為1989cm2，P為正方形內(nèi)的一點(diǎn)，且∠OPB=45，?PA∶PB=5∶14，則PB=____cm.(1989年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)解：∵∠OPB=∠OAB=45?∴ABOP四點(diǎn)共圓(同底同側(cè)頂角相等的三角形

4、頂點(diǎn)共圓)∴∠APB=∠AOB=Rt∠.在Rt△APB中，設(shè)PA為5x，則PB是14x.∴(5x)2(14x)2=1989.解得x=314x.＝42.∴PB=42(cm).例3.已知：平行四邊形ABCD中，CE⊥AB于E，AF⊥BC于F.求證：ABAECBCF=AC2.證明：作BG⊥AC交AC于G.∵CE⊥AB，AF⊥BC.GOCBADFEBDCAOPBDAECFG258求證：AE=AF.5.已知：M是平行四邊形ABCD對角線AC上的一

5、點(diǎn)，過點(diǎn)M畫兩組對邊的垂線段分別交AB，CD于E，F(xiàn)交AD，BC于G，H.求證：EG∥FH.6.已知：△ABC的三條高AD，BE，CF交于點(diǎn)H.求證：BHBECHCF=BC2.7.已知：AB是⊙O的直徑，C是半圓上的一點(diǎn)，CD⊥AB于D，G是CD上的一點(diǎn)，AG的延長線交半圓于H.求證：CD2AD2=AGAH.8.已知：AD是△ABC的角平分線.求證：AD2=ABAC.＝DBDC9.已知：凸五邊形ABCDE中.∠A=3α，BC=CD=DE

6、，∠C=∠D=180.＝2α.?求證：AC，AD，AE三等分∠A.(1990年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題年全國初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題)10.求證：圓上一點(diǎn)到圓內(nèi)接四邊形兩組對邊的距離的積相等11.求證：圓內(nèi)接四邊形兩組對邊積的和等于兩對角線的積(托列密定理托列密定理)12.如圖已知：圓內(nèi)接四邊形ABCD中，由AB上一點(diǎn)M作MP⊥BC，MQ⊥CD，MR⊥DA，PR交MQ于N.求證：.MABMNRPN?(1983年福建省初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題年福建省初中數(shù)學(xué)聯(lián)賽題