初高中銜接_第三講_一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系

1、4008102680好學(xué)者智，善思者康學(xué)習(xí)改變命運(yùn)陳玉兵陳玉兵beyond.cyb@beyond.cyb@1第三講第三講一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教材主要要求學(xué)生掌握一元二次方程的概念、解法及應(yīng)用，而一元二次方程的根的判斷式及根與系數(shù)的關(guān)系，在高中教材中的二次函數(shù)、不等式及解析幾何等章節(jié)有著許多應(yīng)用本節(jié)將對(duì)一元二次方程根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行闡述一、一元二次方程的根的判斷式一、一元二次方程的根

2、的判斷式一元二次方程，用配方法將其變形為：20(0)axbxca????2224()24bbacxaa???(1)當(dāng)時(shí)，右端是正數(shù)因此，方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：240bac??242bbacxa????(2)當(dāng)時(shí)，右端是零因此，方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根：240bac??122bxa??(3)當(dāng)時(shí)，右端是負(fù)數(shù)因此，方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根240bac??由于可以用的取值情況來(lái)判定一元二次方程的根的情況因此，把24bac?叫做一元二次方程的根的判別式

3、，表示為：24bac?20(0)axbxca????24bac???【例1】不解方程，判斷下列方程的實(shí)數(shù)根的個(gè)數(shù)：(1)(2)(3)22310xx???24912yy??25(3)60xx???解：解：(1)，∴原方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根2(3)42110?????????(2)原方程可化為：241290yy???，∴原方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根2(12)4490????????(3)原方程可化為：256150xx???，∴原方程沒(méi)有實(shí)數(shù)根

4、2(6)45152640??????????說(shuō)明：說(shuō)明：在求判斷式時(shí)，務(wù)必先把方程變形為一元二次方程的一般形式【例2】已知關(guān)于的一元二次方程，根據(jù)下列條件，分別求出的x2320xxk???k范圍：4008102680好學(xué)者智，善思者康學(xué)習(xí)改變命運(yùn)陳玉兵陳玉兵beyond.cyb@beyond.cyb@3算這里，可以利用韋達(dá)定理來(lái)解答解：解：由題意，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得：121222007xxxx?????(1)2222121212()2

5、(2)2(2007)4018xxxxxx?????????(2)121212112220072007xxxxxx???????(3)121212(5)(5)5()2520075(2)251972xxxxxx?????????????(4)22212121212||()()4(2)4(2007)22008xxxxxxxx???????????說(shuō)明：說(shuō)明：利用根與系數(shù)的關(guān)系求值，要熟練掌握以下等式變形：，，222121212()2xxxxx

6、x????12121211xxxxxx???22121212()()4xxxxxx????，，，2121212||()4xxxxxx????2212121212()xxxxxxxx???等等韋達(dá)定理體現(xiàn)了整體思想33312121212()3()xxxxxxxx?????【例5】已知關(guān)于的方程，根據(jù)下列條件，分別求出x221(1)104xkxk?????的值k(1)方程兩實(shí)根的積為5；(2)方程的兩實(shí)根滿(mǎn)足12xx12||xx?分析：分析

7、：(1)由韋達(dá)定理即可求之；(2)有兩種可能，一是，二是，120xx??12xx??所以要分類(lèi)討論解：解：(1)∵方程兩實(shí)根的積為5∴222121[(1)]4(1)034412154kkkkxxk?????????????????????所以，當(dāng)時(shí)，方程兩實(shí)根的積為54k?(2)由得知：12||xx?①當(dāng)時(shí)，，所以方程有兩相等實(shí)數(shù)根，故；10x?12xx?302k????②當(dāng)時(shí)，，由于10x?12120101xxxxkk????????