格點(diǎn)與面積-小學(xué)奧數(shù)知道點(diǎn)詳解

1、如下圖，在一張由一組水平線和一組垂直線組成方格紙上，如果任意相鄰平行線之間的距離都相等，我們就把這樣兩組平行線的交點(diǎn)稱為格點(diǎn)（如下圖中的紅點(diǎn)），把圖中相鄰兩個(gè)格點(diǎn)的距離看著一個(gè)單位長(zhǎng)度，把每個(gè)小正方形的面積看作一個(gè)面積單位（如圖中帶陰影的方格）。一個(gè)多邊形的頂點(diǎn)如果全是格點(diǎn)，這個(gè)多邊形就叫做格點(diǎn)多邊形，本講就，學(xué)習(xí)求格點(diǎn)多邊形的面積問題。這種格點(diǎn)多邊形的面積計(jì)算起來(lái)很方便，一般有三種方法：①規(guī)則的格點(diǎn)多邊形，可以運(yùn)用多邊形的面積公式求出

2、面積；②一些簡(jiǎn)單而又特殊的格點(diǎn)多邊形，可以通過數(shù)格子求出面積；③較復(fù)雜的不規(guī)則圖形，一般用皮克公式計(jì)算。其中數(shù)格子的方法比較原始，很少用。任意格點(diǎn)多邊形，只要數(shù)出多邊形周界上的格點(diǎn)的個(gè)數(shù)及圖內(nèi)格點(diǎn)的個(gè)數(shù)，就可用下面的皮克公式算出面積：格點(diǎn)多邊形面積=內(nèi)格點(diǎn)個(gè)數(shù)內(nèi)格點(diǎn)個(gè)數(shù)邊格點(diǎn)數(shù)邊格點(diǎn)數(shù)2121這個(gè)公式是皮克(Pick)在1899年給出的，被稱為“皮克定理”，這是一個(gè)實(shí)用而有趣的定理。皮克定理的證明：皮克定理的證明：將格點(diǎn)圖中的每個(gè)點(diǎn)看作

3、以這個(gè)點(diǎn)為圓心、以單位面積正方形的邊長(zhǎng)的一半為半徑的圓。格點(diǎn)多邊形圖內(nèi)的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圓的面積都是圖形面積的一部分；而在多邊形邊界上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)的圓的面積只有一半屬于這個(gè)多邊形，且多邊形每個(gè)角上的圓屬于圖內(nèi)的面積都不到半個(gè)圓，少了其外角對(duì)應(yīng)的扇形面積，因任意多邊形的外角和是360度，正好是個(gè)整圓，所以周界上圓在圖內(nèi)的面積為：周界格點(diǎn)數(shù)21所以格點(diǎn)多邊形面積為：圖內(nèi)格點(diǎn)個(gè)數(shù)周界格點(diǎn)數(shù)21。皮克定理的證明過程比較抽象，孩子難以理解。本講只要求孩子初步

4、認(rèn)識(shí)格點(diǎn)面積公式，掌握格點(diǎn)面積公式的應(yīng)用，到初中還會(huì)進(jìn)一步學(xué)習(xí)皮克定理。例1：求下面各圖形的面積?！窘馕鼋馕觥浚骸窘馕鼋馕觥浚哼@個(gè)禮盒平面圖是由3個(gè)獨(dú)立的格點(diǎn)多邊形組成的。左邊三角形面積可以用皮克公式求出：4421=5；右邊三角形面積可以用皮克公式求出：2621=4；下面長(zhǎng)方形長(zhǎng)為6、寬為3，可以直接用長(zhǎng)方形面積公式算出面積：63=18；所以上圖總面積為：5418=27。例4：你知道下圖中共有多少個(gè)圖形嗎？每個(gè)圖形的面積各是多少？【解析