高考數(shù)學(xué)-高考必會(huì)題型-專題8-概率與統(tǒng)計(jì)-第36練-概率的兩類模型

1、第 36 36 練 概率的兩類模型 練 概率的兩類模型題型一 古典概型問題例 1 某班級(jí)的某一小組有 6 位學(xué)生，其中 4 位男生，2 位女生，現(xiàn)從中選取 2 位學(xué)生參加班級(jí)志愿者小組，求下列事件的概率：(1)選取的 2 位學(xué)生都是男生；(2)選取的 2 位學(xué)生一位是男生，另一位是女生．破題切入點(diǎn) 先求出任取 2 位學(xué)生的基本事件的總數(shù)，然后分別求出所求的兩個(gè)事件含有的基本事件數(shù)，再利用古典概型概率公式求解．解 (1)設(shè) 4 位男生的編

2、號(hào)分別為 1,2,3,4,2 位女生的編號(hào)分別為 5,6.從 6 位學(xué)生中任取 2 位學(xué)生的所有可能結(jié)果為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)，共 15 種．從 6 位學(xué)生中任取 2 位學(xué)生，所取的 2 位全是男生的方法數(shù)，即從 4 位男生中任取 2 個(gè)的方法數(shù)，共有 6 種，即(1,2)，(1,

3、3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．所以選取的 2 位學(xué)生全是男生的概率為 P1＝＝.(2)從 6 位學(xué)生中任取 2 位，其中一位是男生，而另一位是女生，其取法包括(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，共 8 種．所以選取的 2 位學(xué)生一位是男生，另一位是女生的概率為 P2＝.題型二 幾何概型問題例 2 (2013·四川改編)節(jié)日前夕，小李在家門前的樹

4、上掛了兩串彩燈，這兩串彩燈的第一次閃亮相互獨(dú)立，且都在通電后的 4 秒內(nèi)任一時(shí)刻等可能發(fā)生，然后每串彩燈以 4 秒為間隔閃亮，那么這兩串彩燈同時(shí)通電后，它們第一次閃亮的時(shí)刻相差不超過 2 秒的概率是________．破題切入點(diǎn) 由幾何概型的特點(diǎn)，利用數(shù)形結(jié)合即可求解．答案 解析 設(shè)在通電后的 4 秒鐘內(nèi)，甲串彩燈、乙串彩燈第一次亮的時(shí)刻為 x、y，x、y 相互獨(dú)立，由題意可知，如圖所示．∴兩串彩燈第一次亮的時(shí)間相差不超過 2 秒的概率為

5、 P(|x－y|≤2)＝＝＝＝.題型三 古典概型與幾何概型的綜合問題例 3 已知關(guān)于 x 的一元二次方程 9x2＋6ax－b2＋4＝0，a，b∈R.(1)若 a 是從 1,2,3 三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b 是從 0,1,2 三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求已知方程有兩個(gè)不相等實(shí)根的概率；(2)若 a 是從區(qū)間[0,3]內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，b 是從區(qū)間[0,2]內(nèi)任取的一個(gè)數(shù)，求已知方程有實(shí)數(shù)根的概率．破題切入點(diǎn) 本題中含有兩個(gè)參數(shù)，顯然要將問題轉(zhuǎn)化

6、為含參數(shù)的一元二次方程有解的條件問題．第(1)問利用列舉法將基本事件羅列出來，再結(jié)合題意求解．第(2)問將 a，b 滿足的不等式轉(zhuǎn)化為可行域——平面區(qū)域問題，從而利用幾何概型的概率公1解析 由題意，關(guān)于 x 的方程 x2－2x＋b－a＋3＝0 對(duì)應(yīng)的一元二次函數(shù) f(x)＝x2－2x＋b－a＋3 滿足 f(0)>0，f(1)<0，即建立平面直角坐標(biāo)系如圖．滿足題意的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，故所求概率 P＝＝.3．(2014

7、83;陜西改編)從正方形四個(gè)頂點(diǎn)及其中心這 5 個(gè)點(diǎn)中，任取 2 個(gè)點(diǎn)，則這 2 個(gè)點(diǎn)的距離不小于該正方形邊長的概率為________．答案 解析 取兩個(gè)點(diǎn)的所有情況為 10 種，所有距離不小于正方形邊長的情況有 6 種，概率為＝.4．有一底面半徑為 1，高為 2 的圓柱，點(diǎn) O 為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn) P，則點(diǎn) P 到點(diǎn) O 的距離大于 1 的概率為________．答案 解析 設(shè)點(diǎn) P 到點(diǎn) O 的距離小于等

8、于 1 的概率為 P1，由幾何概型，則 P1＝＝＝，故點(diǎn) P 到點(diǎn)O 的距離大于 1 的概率 P＝1－＝.5．在面積為 S 的矩形 ABCD 內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn) P，則△PBC 的面積小于的概率是________．答案 解析 如圖，M，N 分別為 AB，CD 中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn) P 位于陰影部分時(shí)，△PBC 的面積小于，根據(jù)幾何概型，其概率為 P＝＝.6．已知點(diǎn) A 在坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn) B 在直線 y＝1 上，點(diǎn) C(3,4)，若 AB≤，則△ABC 的

9、面積大于 5 的概率是________．答案 解析 設(shè) B(x,1)，根據(jù)題意知點(diǎn) D(，1)，若△ABC 的面積小于或等于 5，則×DB×4≤5，即 DB≤，所以點(diǎn) B 的橫坐標(biāo) x∈[－，]，而 AB≤，所以點(diǎn) B 的橫坐標(biāo) x∈[－3,3]，所以△ABC 的面積小于或等于 5 的概率為P＝＝，所以△ABC 的面積大于 5 的概率是 1－P＝.7．(2013·湖北)在區(qū)間[－2,4]上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù) x