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1、最新人教版數(shù)學(xué)八年級上冊最新人教版數(shù)學(xué)八年級上冊最短路徑問題最短路徑問題1最短路徑問題(1)求直線異側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題,只要連接這兩點(diǎn),與直線的交點(diǎn)即為所求如圖所示,點(diǎn)A,B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn),在l上找一個(gè)點(diǎn)C,使CA+CB最短,這時(shí)點(diǎn)C是直線l與AB的交點(diǎn)(2)求直線同側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問題,只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對稱點(diǎn),連接對稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn),則與該直線的交點(diǎn)即為所求如圖所示
2、,點(diǎn)A,B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn),在l上找一個(gè)點(diǎn)C,使CA+CB最短,這時(shí)先作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′,則點(diǎn)C是直線l與AB′的交點(diǎn)為了證明點(diǎn)C的位置即為所求,我們不妨在直線上另外任取一點(diǎn)C′,連接AC′,BC′,B′C′,證明AC+CB<AC′+C′B.如下:證明:由作圖可知,點(diǎn)B和B′關(guān)于直線l對稱,所以直線l是線段BB′的垂直平分線因?yàn)辄c(diǎn)C與C′在直線l上,所以BC=B′C,BC′=B′C′.在△AB′C′中,AB′<AC′+
3、B′C′,所以AC+B′C<AC′+B′C′,所以AC+BC<AC′+C′B.【例1】在圖中直線l上找到一點(diǎn)M,使它到A,B兩點(diǎn)的距離和最小分析:分析:先確定其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于直線l的對稱點(diǎn),然后連接對稱點(diǎn)和另一個(gè)點(diǎn),與直線l的交點(diǎn)M即為所求的點(diǎn)解:解:如圖所示:(1)作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對稱點(diǎn)B′;(2)連接AB′交直線l于點(diǎn)M.(3)則點(diǎn)M即為所求的點(diǎn)點(diǎn)撥:運(yùn)用軸對稱變換及性質(zhì)將不在一條直線上的兩條線段轉(zhuǎn)化到一條直線上,岸垂直的橋,應(yīng)如何
4、選擇橋的位置才能使從A地到B地的路程最短?思路導(dǎo)引:從A到B要走的路線是A→M→N→B,如圖所示,而MN是定值,于是要使路程最短,只要AM+BN最短即可此時(shí)兩線段應(yīng)在同一平行方向上,平移MN到AC,從C到B應(yīng)是余下的路程,連接BC的線段即為最短的,此時(shí)不難說明點(diǎn)N即為建橋位置,MN即為所建的橋解:解:(1)如圖2,過點(diǎn)A作AC垂直于河岸,且使AC等于河寬(2)連接BC與河岸的一邊交于點(diǎn)N.(3)過點(diǎn)N作河岸的垂線交另一條河岸于點(diǎn)M.則M
5、N為所建的橋的位置4生活中的距離最短問題[來源:學(xué)&科&網(wǎng)]由兩點(diǎn)之間線段最短(或三角形兩邊之和大于第三邊)可知,求距離之和最小問題,就是運(yùn)用等量代換的方式,把幾條線段的和想辦法轉(zhuǎn)化在一條線段上,從而解決這個(gè)問題,運(yùn)用軸對稱性質(zhì),能將兩條線段通過類似于鏡面反射的方式轉(zhuǎn)化成一條線段,如圖,AO+BO=AC的長所以作已知點(diǎn)關(guān)于某直線的對稱點(diǎn)是解決這類問題的基本方法[來源:學(xué)科網(wǎng)]【例4】(實(shí)際應(yīng)用題)茅坪民族中學(xué)八(2)班舉行文藝晚會,桌子
6、擺成如圖a所示兩直排(圖中的AO,BO),AO桌面上擺滿了橘子,OB桌面上擺滿了糖果,站在C處的學(xué)生小明先拿橘子再拿糖果,然后到D處座位上,請你幫助他設(shè)計(jì)一條行走路線,使其所走的總路程最短?圖a圖b解:解:如圖b.(1)作C點(diǎn)關(guān)于OA的對稱點(diǎn)C1,作D點(diǎn)關(guān)于OB的對稱點(diǎn)D1,(2)連接C1D1,分別交OA,OB于P,Q,那么小明沿C→P→Q→D的路線行走,所走的總路程最短5.運(yùn)用軸對稱解決距離之差最大問題利用軸對稱和三角形的三邊關(guān)系是解
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