淺談一類(lèi)有約束條件的最值題的解法

1、活用數(shù)形結(jié)合求解一類(lèi)有約束條件的最值題活用數(shù)形結(jié)合求解一類(lèi)有約束條件的最值題西安市第一中學(xué)西安市第一中學(xué)張蓮生張蓮生簡(jiǎn)單線性規(guī)劃是現(xiàn)行高中數(shù)學(xué)教材必修5的一部分必修內(nèi)容，是解決一些在線性約束條件下的線性目標(biāo)函數(shù)的最值（最大值或最小值）的問(wèn)題。它是運(yùn)籌學(xué)的一個(gè)重要內(nèi)容，對(duì)于形成最優(yōu)化思想有著重要的作用，并且在實(shí)際生產(chǎn)活動(dòng)中也有著廣泛的應(yīng)用，可以實(shí)現(xiàn)對(duì)資源的最佳利用。簡(jiǎn)單線性規(guī)劃只能解決一些二元線性約束下條件下的二元函數(shù)的最值問(wèn)題，但它的思

2、想可以延伸到其他的數(shù)學(xué)最值問(wèn)題的求解過(guò)程中。簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的基本思想即在一定的約束條件下，通過(guò)數(shù)形結(jié)合求函數(shù)的最值。解決問(wèn)題時(shí)主要是借助平面圖形，運(yùn)用這一思想能夠比較有效地解決一些二元函數(shù)的最值問(wèn)題。本文將從規(guī)劃的思想出發(fā)來(lái)探討高中數(shù)學(xué)中一類(lèi)有約束條件的最值問(wèn)題的解法。一、線性約束條件下的二元函數(shù)最值問(wèn)題一、線性約束條件下的二元函數(shù)最值問(wèn)題在這類(lèi)問(wèn)題中它的線性約束條件是一個(gè)二元一次不等式組，可行域就是線性約束條件中不等式所對(duì)應(yīng)的方程所表示

3、的直線所圍成的區(qū)域，區(qū)域內(nèi)各點(diǎn)的坐標(biāo)即為可行解。當(dāng)目標(biāo)函數(shù)是一個(gè)二元一次函數(shù)時(shí)，在可行解中使得目標(biāo)函數(shù)取得最大值和最小值的點(diǎn)的坐標(biāo)即簡(jiǎn)單線性規(guī)劃的最優(yōu)解；當(dāng)目標(biāo)函數(shù)不是二元一次函數(shù)時(shí)，可以利用目標(biāo)函數(shù)所具有的幾何意義轉(zhuǎn)化求解.（一）利用直線的截距求線性規(guī)劃的最優(yōu)解（一）利用直線的截距求線性規(guī)劃的最優(yōu)解例1已知、滿(mǎn)足條件，求的最值。xy24250xxyxy????????????3zxy??解：約束條件所表示的可行域如圖1中的陰影部分所示

4、.其中直線與直線的交點(diǎn)2x?250xy????為，直線與直線的(21)P?4xy??250xy????交點(diǎn)為.(31)Q可變形為此時(shí)可理解3zxy??3yxz???z為直線的截距.3yxz???現(xiàn)作直線，再作一組與平行的直線.:3lyx??l∵、是上面不等式組所表示的區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)的橫縱坐標(biāo)，xy∴當(dāng)直線通過(guò)點(diǎn)時(shí)，3yxz???(21)P?xyO圖1，?2312111xyyzxx?????????可理解為可行域中點(diǎn)與點(diǎn)連線?z(11)P??

5、的斜率的2倍與1的和易知可行域中點(diǎn)與點(diǎn)連線的斜率最小為，點(diǎn)與AP14B點(diǎn)連線的斜率最大為5P故：，min132142z????max25111z????所以的取值范圍為.z3[11]2評(píng)注：本例將目標(biāo)函數(shù)中式子理解為兩點(diǎn)連線的斜率充分利用了目標(biāo)函數(shù)11yx??的幾何意義及斜率公式，使問(wèn)題迎刃而解.211221()yykxxxx????(三)利用兩點(diǎn)間距離公式求形如利用兩點(diǎn)間距離公式求形如的目標(biāo)函數(shù)的最值的目標(biāo)函數(shù)的最值22()()zxa

6、yb????例4已知x、y滿(mǎn)足約束條件，求：(1)的最小值；41xyyxx?????????22zxy??(2)最小值.22(2)(1)zxy????解：(1)x、y滿(mǎn)足的約束條件所對(duì)應(yīng)的可行域如圖4所示.可理解為可行域內(nèi)22zxy??的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方.由題知原點(diǎn)和點(diǎn)的連線段最短，即(11)Amin2z?(2)同理，可理解為可22(2)(1)zxy????行域內(nèi)的點(diǎn)到點(diǎn)的距離的平方，過(guò)點(diǎn)(21)PP向直線作垂線垂足為在可行域中，y