矩陣的秩及其求法

1、第1頁(yè)共3頁(yè)第五節(jié)：矩陣的秩及其求法第五節(jié)：矩陣的秩及其求法一、矩陣秩的概念一、矩陣秩的概念1.k階子式定義1設(shè)在A中任取k行k列交叉處元素按原相對(duì)位置組成的階行列式行列式，稱(chēng)為A的一個(gè)k階子式。例如共有個(gè)二階子式，有個(gè)三階子式矩陣A的第一、三行，第二、四列相交處的元素所構(gòu)成的二階子式為而為A的一個(gè)三階子式。顯然，矩陣A共有個(gè)k階子式。2.矩陣的秩定義2設(shè)有r階子式不為0，任何r1階子式(如果存在的話)全為0稱(chēng)r為矩陣A的秩，記作R(A

2、)或秩(A)。規(guī)定：規(guī)定：零矩陣的秩為0.注意注意：(1)如R(A)=r，則A中至少有一個(gè)r階子式所有r1階子式為0，且更高階子式均為0，r是A中不為零的子式的最高階數(shù)，是唯一的.(2)有行列式的性質(zhì)，(3)R(A)≤mR(A)≤n0≤R(A)≤minmn.(4)如果Ann且則R(A)=n.反之，如R(A)=n則因此，方陣A可逆的充分必要充分必要條件是R(A)=n.二、矩陣秩的求法二、矩陣秩的求法1、子式判別法(定義)。例1設(shè)為階梯形矩

3、陣，求R(B)。解由于存在一個(gè)二階子式不為0，而任何三階子式全為0，則R(B)=2.結(jié)論：階梯形矩陣的秩結(jié)論：階梯形矩陣的秩=臺(tái)階數(shù)。臺(tái)階數(shù)。例如一般地，行階梯形矩陣的秩等于其一般地，行階梯形矩陣的秩等于其“臺(tái)階數(shù)臺(tái)階數(shù)”——非零行的行數(shù)。非零行的行數(shù)。??nmijaA????)min1(nmkk?????????????????110145641321A182423?CC43334?CC10122???D1015643213??Dnm

4、?knkmcc??nmijaA??0rD?()().TRARA?0A?0.A????????????000007204321B02021????????????010010100321A???????????001021B???????????100010011C125034000D???????????21235081530007200000E???????????????3?AR??2?BR??3?CR??2RD???3RE?第3頁(yè)

5、共3頁(yè)例5三、滿秩矩陣三、滿秩矩陣定義3A為n階方陣時(shí)，稱(chēng)A是滿秩陣，（非奇異矩陣）稱(chēng)A是降秩陣，（奇異矩陣）可見(jiàn)：對(duì)于滿秩方陣A施行初等行變換可以化為單位陣E又根據(jù)初等陣的作用：每對(duì)A施行一次初等行變換，相當(dāng)于用一個(gè)對(duì)應(yīng)的初等陣左乘A由此得到下面的定理.定理定理3設(shè)A是滿秩方陣，則存在初等方陣是滿秩方陣，則存在初等方陣使得使得對(duì)于滿秩矩陣A，它的行最簡(jiǎn)形是n階單位陣E.例如A為滿秩方陣。關(guān)于矩陣的秩的一些重要結(jié)論：關(guān)于矩陣的秩的一些重

6、要結(jié)論：定理定理5R(AB)R(A)R(AB)R(B)即R(AB)minR(A)，R(B)設(shè)A是矩陣，B是矩陣，矩陣，性質(zhì)性質(zhì)1性質(zhì)性質(zhì)2如果如果AB=0則性質(zhì)性質(zhì)3如果如果R(A)=n如果如果AB=0則B=0。性質(zhì)性質(zhì)4設(shè)AB均為均為矩陣，則矩陣，則例8設(shè)A為n階矩陣，證明R（AE）R（AE）≥n證：∵（AE）（EA）=2E∴R（AE）R（EA）≥R（2E）=n而R（EA）=R（AE）∴R（AE）R（AE）≥n????26352132

7、111，求）（且設(shè)??????????????ARA?????????????6352132111??A?????????????????458044302111???????????????????015044302111???2)(?AR?15?????0105?????????nAR???nAR???0???AnAR.21sPPP?EAPPPPss??121???EAnAR~????nEAnAR~?????????????2132