2017年第34屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽真題幾答案

1、1k02π?2πmm1ma?mbk0ab第34屆全國(guó)中學(xué)生物理競(jìng)賽決賽試題與參考解答一、（35分）如圖，質(zhì)量分別為ma、mb的小球a、b放置在光滑絕緣水平面上，兩球之間用一原長(zhǎng)為l0、勁度系數(shù)為k0的絕緣輕彈簧連接。（1）t?0時(shí)，彈簧處于原長(zhǎng)，小球a有一沿兩球連線向右的初速度v0，小球b靜止。若運(yùn)動(dòng)過(guò)程中彈簧始終處于彈性形變范圍內(nèi)，求兩球在任一時(shí)刻t(t?0)的速度。（2）若讓兩小球帶等量同號(hào)電荷，系統(tǒng)平衡時(shí)彈簧長(zhǎng)度為L(zhǎng)0，記靜電力常

2、量為K。求小球所帶電荷量和兩球與彈簧構(gòu)成的系統(tǒng)做微振動(dòng)的頻率（極化電荷的影響可忽略）。參考解答：（1）如圖，t時(shí)刻彈簧的伸長(zhǎng)量為u?l?l0有d2u?dt2式中????k0u①mamb②ma?mb為兩小球的約化質(zhì)量。由①②式知，彈簧的伸長(zhǎng)量u服從簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，振動(dòng)頻率為f??2π??③最后一步利用了②式。t時(shí)刻彈簧的伸長(zhǎng)量u的表達(dá)式為u?Asin?t?Bcos?t④式中A、B為待定常量。t?0時(shí)，彈簧處于原長(zhǎng)，即u(0)?B?0

3、將B?0代入④式得a相對(duì)于b的速度為u?Asin?t⑤v??dra?drb?du?A?cos?t⑥adtdtdtt?0時(shí)有?12π?3L?2l00??0??L?0k1?3L?2l??m?m?2π?00??ab?k?0??abLmm0?L30L0利用上式，?式可寫為d2x?q2??q2???x?2??dt2???k0(L0?l0)?KL2???k0?2KL3?x?O??L?????x?2??0??0???0??略去O??L??，并利用?或

4、?式，?式可寫為??0??d2x?q2?3L?2l????k?2K?x??00kx?0dt2???0由?式知，3L0?2l0?0，系統(tǒng)的微振動(dòng)服從簡(jiǎn)諧振動(dòng)的動(dòng)力學(xué)方程，振動(dòng)頻率為f???最后一步利用了②式。評(píng)分參考：第（1）問(wèn)24分，①②③④⑤⑥⑦⑧⑨⑩??式各2分；第（2）問(wèn)11分，???式各2分，?式1分，??式各2分。二、（35分）雙星系統(tǒng)是一類重要的天文觀測(cè)對(duì)象。假設(shè)某兩星體均可視為質(zhì)點(diǎn)，其質(zhì)量分別為M和m，一起圍繞它們的質(zhì)心做

5、圓周運(yùn)動(dòng)，構(gòu)成一雙星系統(tǒng)，觀測(cè)到該系統(tǒng)的轉(zhuǎn)動(dòng)周期為T0。在某一時(shí)刻，M星突然發(fā)生爆炸而失去質(zhì)量?M。假設(shè)爆炸是瞬時(shí)的、相對(duì)于M星是各向同性的，因而爆炸后M星的殘余體M?(M??M??M)星的瞬間速度與爆炸前瞬間M星的速度相同，且爆炸過(guò)程和拋射物質(zhì)?M都對(duì)m星沒(méi)有影響。已知引力常量為G，不考慮相對(duì)論效應(yīng)。（1）求爆炸前M星和m星之間的距離r0；（2）若爆炸后M?星和m星仍然做周期運(yùn)動(dòng)，求該運(yùn)動(dòng)的周期T1；（3）若爆炸后M?星和m星最終能永