2017第34屆全國中學生物理競賽復賽理論考試試題和答案

1、1第34屆全國中學生物理競賽復賽理論考試試題解答屆全國中學生物理競賽復賽理論考試試題解答20172017年9月1616日一、（40分）一個半徑為、質(zhì)量為的均質(zhì)實心小圓柱被置于rm一個半徑為、質(zhì)量為的薄圓筒中，圓筒和小圓柱的中心軸RM均水平，橫截面如圖所示。重力加速度大小為。試在下述兩種g情形下，求小圓柱質(zhì)心在其平衡位置附近做微振動的頻率：（1）圓筒固定，小圓柱在圓筒內(nèi)底部附近作無滑滾動；（2）圓筒可繞其固定的光滑中心細軸轉(zhuǎn)動，小圓柱仍在

2、圓筒內(nèi)底部附近作無滑滾動。解：（1）如圖，為在某時刻小圓柱質(zhì)心在其橫截面上到圓筒中心軸的垂線與豎直方向的夾?角。小圓柱受三個力作用：重力，圓筒對小圓柱的支持力和靜摩擦力。設圓筒對小圓柱的靜摩擦力大小為，方向沿兩圓柱切點的切線方向（向右為正）。考慮小圓柱質(zhì)心的運F動，由質(zhì)心運動定理得①sinFmgma???式中，是小圓柱質(zhì)心運動的加速度。由于小圓柱與圓筒間作無a滑滾動，小圓柱繞其中心軸轉(zhuǎn)過的角度（規(guī)定小圓柱在最低1?點時）與之間的關系為1

3、0???②1()Rr?????由②式得，與的關系為a?③22122()ddarRrdtdt?????考慮小圓柱繞其自身軸的轉(zhuǎn)動，由轉(zhuǎn)動定理得④212drFIdt???式中，是小圓柱繞其自身軸的轉(zhuǎn)動慣量I⑤212Imr?由①②③④⑤式及小角近似⑥sin???得⑦22203()?????dgdtRr由⑦式知，小圓柱質(zhì)心在其平衡位置附近的微振動是簡諧振動，其振動頻率為⑧1π6()gfRr??（2）用表示小圓柱與圓筒之間的靜摩擦力的大小，和分別

4、為小圓柱與圓筒轉(zhuǎn)過的F1?2?角度（規(guī)定小圓柱相對于大圓筒向右運動為正方向，開始時小圓柱處于最低點位置）。對于小圓柱，由轉(zhuǎn)動定理得120????⑨221212?????????dFrmrdt對于圓筒，同理有⑩2222()??dFRMRdtR??1R3解：（1）由題設，彗星的運動軌道為拋物線，故①10E???彗星繞太陽運動的軌道方程為：②1coskr???彗星繞太陽運動過程中，機械能守恒③??2221022LmrVrEmr????&式中④

5、??MmVrGr??當彗星運動到近日點A時，其徑向速度為零，設其到太陽的距離為，由③式得minr⑤??2min2minmin2LMmVrGmrr???由⑤式和題給條件得⑥2Emin223LRrGMm??由③式得2222drGMLdtrmr??或⑦2222drdtGMLrmr??設彗星由近日點A運動到與地球軌道的交點C所需的時間為，對⑦式兩邊積分，并利t?用⑥式得⑧EEEmin23E221223RRRrdrrdrtGMRGMLrrmr??

6、?????對⑧式應用題給積分公式得⑨EE3E3212EEEEE32E1231223333210327RRrdrtGMRrRRRRRGMRGM???????????????????????????由對稱性可知，彗星兩次穿越地球軌道所用的時間間隔為⑩32E203227RTtGM???將題給數(shù)據(jù)代入⑩式得?66.4010sT??（2）彗星在運動過程中機械能守恒?2102GMmmEr???v式中是彗星離太陽的距離為時的運行速度的大小。由?式有v