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1、第二章解析函數(shù)16題中:(1)只要不滿足CR條件,肯定不可導(dǎo)、不可微、不解析(2)可導(dǎo)、可微的證明:求出一階偏導(dǎo),只要一階偏導(dǎo)yxyxvvuu存在且連續(xù),同時滿足CR條件。(3)解析兩種情況:第一種函數(shù)在區(qū)域內(nèi)解析,只要在區(qū)域內(nèi)處處可導(dǎo),就處處解析;第二種情況函數(shù)在某一點解析,只要函數(shù)在該點及其鄰域內(nèi)處處可導(dǎo)則在該點解析,如果只在該點可導(dǎo),而在其鄰域不可導(dǎo)則在該點不解析。(4)解析函數(shù)的虛部和實部是調(diào)和函數(shù),而且實部和虛部守CR條件的制
2、約,證明函數(shù)區(qū)域內(nèi)解析的另一個方法為:其實部和虛部滿足調(diào)和函數(shù)和CR條件,反過來,如果函數(shù)實部或者虛部不滿足調(diào)和函數(shù)或者CR條件則肯定不是解析函數(shù)。解析函數(shù)求導(dǎo):xxivuzf???)(4、若函數(shù)在區(qū)域D上解析,并滿足下列的條件,證明必為)(zf)(zf常數(shù)。(1)????0fzzD???證明:因為在區(qū)域上解析,所以。)(zf令,即。)()()(yxivyxuzf??xvyuyvxu???????????0????????yvixuzf
3、)(由復(fù)數(shù)相等的定義得:。00?????????????xvyuyvxu所以,(常數(shù)),(常數(shù)),即1Cyxu?)(2Cyxv?)(為常數(shù)。21iCCzf??)(5、證明函數(shù)在z平面上解析,并求出其導(dǎo)數(shù)。(1)(cossin)(cossin).xxexyyyieyyxy???。)()(212222222???????xyxyixyyxzf9、提示:解析函數(shù)的實部和虛部為調(diào)和函數(shù),只要該函數(shù)不是調(diào)和函數(shù)則它就不能做為解析函數(shù)的實部或虛部。
4、10、提示:求出實部和虛部對x,y的一階偏導(dǎo),若不滿足CR條件則肯定不是解析函數(shù),若滿足CR條件,同時滿足一階偏導(dǎo)存在且連續(xù)則為解析函數(shù)。14.若,試證:(1)。iyxz??xshyixchyzcossinsin??證:sinsin()sincoscossinzxiyxiyxiy????=()sincos22iiyiiyiiyiiyeeeexxi?????=()sincos22yyiiyyeeeexix?????sincosxchyix
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