復(fù)變函數(shù)習(xí)題答案第2章習(xí)題詳解

1、1第二章習(xí)題詳解第二章習(xí)題詳解1利用導(dǎo)數(shù)定義推出：1)（為正整數(shù)）??1??nnnzzn解：??????????zzzzznnznzzzzzzznnnnnznnzn?????????????????????????????22100121limlim????11210121?????????????????nnnnznzzzznnnz????lim2)211zz????????解：????2000111111zzzzzzzzzzzzzz

2、zzz?????????????????????????????limlimlim2下列函數(shù)何處可導(dǎo)？何處解析？1)??iyxzf??2解：設(shè)，則，??ivuzf??2xu?yv??，，，都是連續(xù)函數(shù)。xxu2???0???yu0???xv1????yv只有，即時才滿足柯西—黎曼方程。12??x21??x在直線上可導(dǎo)，在復(fù)平面內(nèi)處處不解析。??iyxzf???221??x2)??3332yixzf??解：設(shè)，則，??ivuzf??32x

3、u?33yv?，，，都是連續(xù)函數(shù)。26xxu???0???yu0???xv29yyv???只有，即時才滿足柯西—黎曼方程。2296yx?032??yx在直線上可導(dǎo)，在復(fù)平面內(nèi)處處不解析。??3332yixzf???032??yx3)??yixxyzf22??解：設(shè)，則，??ivuzf??2xyu?yxv2?31)??112??zzz解：令，解得，。故有、、三個奇點。??012??zz0?ziz??????112???zzzzf0ii?2

4、)????11222???zzz解：令，解得，。故有、、三個奇????01122???zz1??ziz????????11222????zzzzf1?ii?點。5復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)性與解析性有什么不同？判斷函數(shù)的解析性有哪些方法？解：復(fù)變函數(shù)的可導(dǎo)性是函數(shù)在某一點的局部性質(zhì)，而解析性是函數(shù)在一個區(qū)域內(nèi)的整體性質(zhì)。判斷函數(shù)的解析性有兩種法。一是用定義，利用函數(shù)的可導(dǎo)性判斷解析性；二是用定理：函數(shù)在其定義域內(nèi)解析和在內(nèi)點可微，并且滿??????

5、yxivyxuzf??D???yxu??yxvDiyxz??足柯西—黎曼方程。6判斷下列命題的真假，若真，請給以證明；若假，請舉例說明。1)如果在連續(xù)，那末存在；??zf0z??0zf解：假命題。例如，在復(fù)平面內(nèi)任意一點都連續(xù)，但不滿足柯西—黎曼方程，故??yixzf2??0z不存在。??zf2)如果存在，那末在解析；??zf??zf0z解：假命題。例如，，在點可導(dǎo)，但在點不解析。??yixxyzf22????zf00?z??yixzf

6、2??0z3)如果是的奇點，那末在不可導(dǎo)；0z??zf??zf0z解：假命題。例如，在復(fù)平面內(nèi)處處不解析，因此處處是奇點，但在??iyxzf33????zf0??yx上的點均可導(dǎo)。4)如果是和的一個奇點，那末也是和的奇點；0z??zf??zg0z????zgzf?????zgzf解：假命題。例如，與在復(fù)平面內(nèi)處處不解析，即復(fù)平面內(nèi)任意一點都是與??zzf???zzg??0z??zf的奇點。但在復(fù)平面內(nèi)處處解析，即在復(fù)平面內(nèi)沒有奇??zg