復變答案習題2

1、復變答案習題復變答案習題2習題二1.求映射下圓周的像.解設則因為所以所以所以即，表示橢圓.2.在映射下，下列z平面上的圖形映射為w平面上的什么圖形，設或.（1）；（2）3xayb.ab為實數解設所以1記，則映射成w平面內虛軸上從O到4i的一段，即2記，則映成了w平面上扇形域，即3記，則將直線xa映成了即是以原點為焦點，張口向左的拋物線將yb映成了即是以原點為焦點，張口向右拋物線如圖所示.3.求下列極限.1解令則.于是.2解設zxyi，則

2、有顯然當取不同的值時fz的極限不同所以極限不存在.（3）；解.（4）.解因為所以.4.討論下列函數的連續(xù)性1解因為若令ykx則因為當k取不同值時，fz的取值不同，所以fz在z0處極限不存在.從而fz在z0處不連續(xù)，除z0外連續(xù).2解因為所以所以fz在整個z平面連續(xù).5.下列函數在何處求導并求其導數.1n為正整數；解因為n為正整數，所以fz在整個z平面上可導..2.解因為fz為有理函數，所以fz在處不可導.從而fz除外可導.3.解fz除外

3、處處可導，且.4.解因為.所以fz除z0外處處可導，且.6.試判斷下列函數的可導性與解析性.1解在全平面上可微.所以要使得，只有當z0時從而fz在z0處可導，在全平面上不解析.2.解在全平面上可微.只有當z0時即00處有.所以fz在z0處可導，在全平面處處解析.10.設求證1fz在z0處連續(xù)2fz在z0處滿足柯西黎曼方程3f′0不存在證明.1∵而∵∴∴同理∴∴fz在z0處連續(xù)2考察極限當z沿虛軸趨向于零時，ziy，有當z沿實軸趨向于零時

4、，zx，有它們分別為∴∴滿足CR條件3當z沿yx趨向于零時，有∴不存在即fz在z0處不可導11.設區(qū)域D位于上半平面，D1是D關于x軸的對稱區(qū)域，若fz在區(qū)域D內解析，求證在區(qū)域D1內解析證明設fzuxyivxy，因為fz在區(qū)域D內解析所以uxyvxy在D內可微且滿足CR方程，即，得故φxyψxy在D1內可微且滿足CR條件從而在D1內解析13.計算下列各值1e2ie2?eie2?cos1isin123414.設z沿通過原點的放射線趨于∞

5、點，試討論fzzez的極限解令zreiθ，對于θ，z→∞時，r→∞故所以15.計算下列各值123lneiln1iargeiln1ii416.試討論函數fz|z|lnz的連續(xù)性與可導性解顯然gz|z|在復平面上連續(xù)，lnz除負實軸及原點外處處連續(xù)設zxiy，在復平面內可微故gz|z|在復平面上處處不可導從而fx|z|lnz在復平面上處處不可導fz在復平面除原點及負實軸外處處連續(xù)17.計算下列各值12318.計算下列各值12345619.求