平面向量與向量方法的應(yīng)用競賽輔導材料

1、平面向量與向量的方法的應(yīng)用（一）（教師版）一、用向量表示三角形的“心”（重心、內(nèi)心、垂心、外心）在中，角所對的邊分別為ABC?ABCabc三角形“四心”的向量的統(tǒng)一形式：是的心XABC??0XAXBXC???????????????????引理：若是內(nèi)的一點，則XABC?::::XBCXACXABSSS????????0XAXBXC???????????????????證明：這里只證明（0XAXBXC??????????????????

2、??::::XBCXACXABSSS???????均為正數(shù)）作，，，???XMXA???????????XNXB??????????XPXC??????????則容易證明點為的重心于是0XMXNXP?????????????????XMNP?，所以1||||sin21||||sin2XBCXNPXBXCBXCSSXNXPNXP?????????????????????1???，同理，，所1XBCXNPSS?????MNPS??????X

3、ACMNPSS???????XABMNPSS???????以::::XBCXACXABSSS???????取，則，，XBCS???XACS???XABS???0XBCXACXBASXASXBSXC??????????????????????練習：1是的________心0GAGBGC?????????????????GABC?2是的________心0aIAbIBcIC?????????????????IABC?3是的________心

4、sin2sin2sin20AOABOBCOC????????????????????OABC?是的________心222OAOBOC???????????????OABC?4在內(nèi)部，則是的HABC?tantantan0AHABHBCHC????????????????????HABC?________心是的________心HAHBHBHCHCHA??????????????????????????????HABC?是的_______

5、_心222222HABCHBACHCAB??????????????????????????????HABC?當你學完正弦定理和余弦定理后，會有更多的表示方法5所在直線一定通過的________心||||ABACABAC?????????????????ABC?6所在直線一定通過的________心ABAC?????????ABC?7所在直線一定通過的________心||cos||cosABACABBACC??????????????

6、?????ABC?8已知是坐標平面內(nèi)不共線的三點，是坐標原點，動點滿足ABCOP（），則點的軌跡一定經(jīng)過1[(1)(1)(12)]3OPOAOBOC???????????????????????????RP的________心ABC?（答案：1重心2內(nèi)心3外心4垂心（提示：為的垂心HABC??因為在內(nèi)部，所以HAHBHBHCHCHA?????????????????????????????HABC?，所以||||cosHAHBHAHBB

7、HA????????????????????||||cosHAHBC???????????2cossin(180)HABSCC?????，同理，tanHABSHAHBC????????????tanHACSHAHCB????????????tanHBCSHBHCA????????????２給定兩個長度為1的平面向量和，它們的夾角OA????OB????為如圖所示，點C在以O(shè)為圓心的圓弧上變動若120?AAB，其中，則的最大值是OCxOA

8、yOB??????????????xy?Rxy?________解法１：設(shè)，由可得，AOC???OCxOAyOB??????????????，即.OCOAxOAOAyOBOAOCOBxOAOByOBOB???????????????????????????????????????????????????????????????1cos21cos(120).2xyxy????????????????∴∴2[coscos(120)]xy??

9、?????cos3sin2sin()26?????????的最大值是xy?2解法２：以點為坐標原點，為軸，建立平面直角坐標系，則，OOAx(10)A設(shè)（），由可得，13()22B?(sincos)C??2[0]3???OCxOAyOB??????????????，∴，，∴13(cossin)(10)()22xy?????1cos2xy???3sin2y??，，∴3cossin3x????23sin3y??cos3sinxy?????2s

10、in()26?????，∴的最大值是xy?2解法３：設(shè)，過點作的平行線交于點，過點作的平AOC???COBOADCOA行線交于點，由及可知，，OBE||||||1OAOBOC???????????????OCxOAyOB??????????????||ODx?又，在中，由正弦定理得||||OEDCy??120OAOB????????????DOC?，∴，，∴1sin60sin(120)sinxy???????3cossin3x????2

11、3sin3y??，∴的最大值是cos3sinxy?????2sin()26?????xy?23為內(nèi)一點，，，，，OABC?150AOB???COAO?||1OA?????||2OB?????，設(shè)，則__________||3OC?????OCxOAyOB??????????????xy??3過點作的平行線交的延長線于點，過點作的平行線交的COBAOECOABO延長線于點，則，，所以，F(xiàn)30OECBOE?????90EOC???26ECO

12、C??，，，所以，6cos3033OE???3OFOB??????????33OEOA??????????333OCOAOB???????????????所以，，所以33x??3y??333xy????四、向量間的夾角（余弦值）或夾角范圍問題1已知，都是非零向量，且與垂直，與垂直，求ab3?ab75?ab4?ab72?ab與的夾角ab1解：依題意，所以，解得(3)(75)0(4)(72)0.???????????abababab2222