高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)例題講解

1、第1章函數(shù)的極限與連續(xù)函數(shù)的極限與連續(xù)例1求0limxxx?解：當(dāng)0?x時，000limlimlim11xxxxxxx?????????，當(dāng)0?x時，000limlimlim(1)1xxxxxxx????????????，由極限定義可知，xxx0lim?不存在（如圖）例2求xmxxsinlim0?（m是非零常數(shù)）解：令umx?，顯然當(dāng)0x?時0u?，于是muummxmxmxmxuxx???????sinlimsinlimsinlim00

2、0例3求xxx)21(lim???解：令2xt?，當(dāng)x??時，有t??，原式22222])11(lim[])11[(lim)21(limettxttttxx??????????????例4求xxxx????11lim20解：2220011limlim(11)xxxxxxxxxx??????????2011lim211xxxx????????例5求xaxx1lim0??解：令tax??1，則log(1)axt??，0x?時0t?，于是00

3、01limlimlimlnlog(1)lnxxttaattatxta????????第2章一元函數(shù)微分及其應(yīng)用一元函數(shù)微分及其應(yīng)用例1討論函數(shù)32)(xxf?在0?x處的可導(dǎo)性與連續(xù)性解：32)(xxf?為初等函數(shù)，在其定義域)(????上連續(xù)，所以在0?x處連續(xù)又0(0)(0)(0)limhfhffh?????3020limhhh???故2223()(4)(4)vhhRhRhh??????（02hR??），問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)()vh的最

4、大值由223()()04vhRh?????得駐點23hR?（負值不合題意舍去）根據(jù)實際問題，圓柱體的體積不能超過球的體積，因而是有最大值的，而最大值顯然不能在端點0h?，2hR?處取得，故只在唯一駐點23hR?處取得即當(dāng)23hR?，63rR?時圓柱體的體積最大，最大體積3max439vR??第3章一元函數(shù)的積分學(xué)一元函數(shù)的積分學(xué)例1??dxax221（0?a）解：當(dāng)ax?時，設(shè)taxsec?(02t???)，tdttadxtansec?

5、代入有：原式221sectan(sec)attdtata????secln(sectan)tdtttC?????為將變量t還原為x，借助如圖的直角三角形（或利用三角恒等式）有axt?sec，222tansec1xatta????從而：22221ln()dxxxaCxa??????當(dāng)ax??時，令ux??，則au?，由上，我們有：222211dxduxaua??????222211ln()ln()uuaCxxaC???????????22