焦半徑公式的證明

1、1焦半徑公式的證明焦半徑公式的證明【尋根尋根】橢圓的根在哪里？自然想到橢圓的定義：到兩定點(diǎn)F1，F(xiàn)2（|F1F2|=2c）距離之和為定值2a（2a2c）的動(dòng)點(diǎn)軌跡（圖形）.這里，從橢圓的“根上”找到了兩個(gè)參數(shù)c和a.第一個(gè)參數(shù)c，就確定了橢圓的位置；再加上另一個(gè)參數(shù)a，就確定了橢圓的形狀和大小.比較它們的“身份”來(lái)，c比a更“顯貴”.遺憾的是，在橢圓的方程里，卻看不到c的蹤影，故有人開(kāi)玩笑地說(shuō)：橢圓方程有“忘本”之嫌.為了“正本”，我們

2、回到橢圓的焦點(diǎn)處，尋找c，并尋找關(guān)于c的“題根”.一、用橢圓方程求橢圓的焦點(diǎn)半徑公式用橢圓方程求橢圓的焦點(diǎn)半徑公式數(shù)學(xué)題的題根不等同數(shù)學(xué)教學(xué)的根基，數(shù)學(xué)教學(xué)的根基是數(shù)學(xué)概念，如橢圓教學(xué)的根基是橢圓的定義.但是在具體數(shù)學(xué)解題時(shí)，不一定每次都是從定義出發(fā)，而是從由數(shù)學(xué)定義引出來(lái)的某些已知結(jié)論（定理或公式）出發(fā)，如解答橢圓問(wèn)題時(shí)，經(jīng)常從橢圓的方程出發(fā).【例1】已知點(diǎn)P（x，y）是橢圓上任意一點(diǎn)，F(xiàn)1（c0）和F2(c0)是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn).求證

3、：|PF1|=a；|PF2|=a.【分析分析】可用距離公式先將|PF1|和|PF2|分別表示出來(lái).然后利用橢圓的方程“消y”即可.【解答解答】由兩點(diǎn)間距離公式，可知|PF1|=(1)從橢圓方程解出(2)代（2）于（1）并化簡(jiǎn)，得|PF1|=(a≤x≤a)1用橢圓的第二定義，也很容易推出橢圓的焦半徑公式.如圖右，點(diǎn)P（x，y）是以F1（c0）為焦點(diǎn)，以l1：x=為準(zhǔn)線的橢圓上任意一點(diǎn).PD⊥l1于D.按橢圓的第二定義，則有即r1=aex同

4、理有r2=aex.對(duì)中學(xué)生來(lái)講，橢圓的這個(gè)第二定義有很大的“人為性”.準(zhǔn)線缺乏定義的“客觀性”.因此，把橢圓的第二定義視作橢圓的一條性質(zhì)定理更符合邏輯性.【例3】P（x，y）是以F1（c，0），F(xiàn)2（c，0）為焦點(diǎn)，以距離之和為2a的橢圓上任意一點(diǎn).直線l為x=，PD1⊥l交l于D1.求證：.【解答解答】由橢圓的焦半徑公式|PF1|=aex.對(duì)|PD1|用距離公式|PD1|=x=x.故有.【說(shuō)明說(shuō)明】此性質(zhì)即是：該橢圓上任意一點(diǎn)，到定點(diǎn)