2、圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理

1、CDOBAEP圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理證明：圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理證明：如右圖：圓內(nèi)接四邊形ABCD，圓心為O，延長BC至E，AC、BD交于P，則：1、圓內(nèi)接四邊形的對角互補：∠ABC∠ADC=180，∠BCD∠BAD=1802、圓內(nèi)接四邊形的任意一個外角等于它的內(nèi)對角：∠DCE=∠BAD3、圓內(nèi)接四邊形對應(yīng)三角形相似：△BCP∽△ADP4、相交弦定理：APCP=BPDP5、托勒密定理：ABCDADCB=ACBD一、圓內(nèi)接一、圓內(nèi)接四邊形四邊

2、形的對角的對角互補互補的證明（三種方法）的證明（三種方法）【證明】方法一：利用一條弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半。CABDOαβ如圖，連接OB、OD則∠A=β，∠C=α2121∵αβ=360∴∠A∠C=360=18021同理得∠B∠D=180（也可利用四邊形內(nèi)角和等于360）【證明】方法二：利用直徑所對應(yīng)的圓周角為直角。設(shè)圓內(nèi)接四邊形ABCD證明：∠A∠C=180，∠B∠D=180連接BO并延長，交⊙O于E。連接AE、CE。則BE為

3、⊙O的直徑∴∠BAE=∠BCE=90∴∠BAE∠BCE=180∴∠BAE∠BCE∠DAE∠DAE=180即∠BAE∠DAE∠BCE∠DAE=180∵∠DAE=∠DCE（同弧所對的圓周角相等）∴∠BAE∠DAE∠BCE∠DCE=180即∠BAD∠BCD=180∠A∠C=180∴∠B∠D=360（∠A∠C）=180（四邊形內(nèi)角和等于360）【證明】方法三：利用四邊形內(nèi)角和為360及同弧所對的圓周角均相等連接AC、BD，將∠A、∠B、∠C、∠

4、D分為八個角∠1、∠2、∠3、∠4、∠5、∠6、∠7、∠8∵∠1∠2∠3∠4∠5∠6∠7∠8=360（四邊形內(nèi)角和為360）∠4=∠1，∠7=∠2，∠8=∠5，∠3=∠6（同弧所對的圓周角相等）∴∠1∠2∠5∠6=360=18021∵∠1∠2=∠A∠5∠6=∠C∴∠A∠C=180∴∠B∠D=360（∠A∠C）=180（四邊形內(nèi)角和等于360）2、圓內(nèi)接圓內(nèi)接四邊形四邊形的任意一個的任意一個外角外角等于它的等于它的內(nèi)對角內(nèi)對角證明證明CD

5、OBAEP如圖，求證：∠DCE=∠BAD∠BCD∠DCE=180（平角為180）∠BCD∠BAD=180（圓內(nèi)接四邊形的對角互補）∴∠DCE=∠BAD3、圓內(nèi)接圓內(nèi)接四邊形四邊形對應(yīng)三角形對應(yīng)三角形相似相似如上圖，求證：△BCP∽△ADP，△ABP∽△DCP證明：∵∠CBP=∠DAP，∠BCP=∠ADP（一條弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半。）又∵∠APD=∠BPC（對頂角相等）∴△BCP∽△ADP∵∠BAP=∠CDP，∠ABP=∠D

6、CP（一條弧所對圓周角等于它所對圓心角的一半。）AOBCD12435678又∵∠APB=∠DPC（對頂角相等）∴△ABP∽△DCP4、相交弦定理相交弦定理仍用上圖，求證：APCP=BPDP證明：∵△BCP∽△ADP（圓內(nèi)接四邊形對應(yīng)三角形相似）∴（相似三角形的三邊對應(yīng)成比例）CPDPBPAP?∴APCP=BPDPCDOBAEP5、托勒密定理托勒密定理求證：如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于圓O，那么ABCDADBC=ACBD【證明】方法一：作輔

7、助線AE，使∠BAE=∠CAD，交BD于點E∵∠ABE=∠ACD（同弧AD所對的圓周角相等）又∵∠BAE=∠CAD∴△ABE∽△ACD∴，即ABCD=ACBE(1)CDBEACAB?∵∠BAE=∠CAD∴∠BAE∠EAC=∠CAD∠EAC即∠BAC=∠EAD又∵∠ACB=∠ADE（同弧AB所對的圓周角相等）∴△ABC∽△AED∴，即BCAD=ACDE(2)ADACDEBC?(1)(2)得∴ABCDBCAD=ACBEACDE=AC（BED

8、E）=ACBD【證明】方法二：利用西姆松定理證明托勒密定理。（提示：本題要使用正弦定理），初三現(xiàn)有知識還不能求證。廣義托勒密定理廣義托勒密定理廣義托勒密(Ptolemy)定理指出，圓內(nèi)接凸四邊形兩對對邊乘積的和等于兩條對角線的乘積，其推論是任意凸四邊形ABCD，必有ACBD≤ABCDADBC，而且當ABCD四點共圓時取等號。內(nèi)容：凸四邊形對邊乘積和≥對角線的積托勒密定理的推論：任意凸四邊形ABCD，必有ACBD≤ABCDADBC，當且僅

9、當ABCD四點共圓時取等號。證明如下：在四邊形ABCD中連接AC、BD作∠ABE=∠ACD∠BAE=∠CAD，則△ABE∽△ACD∴BECD=ABACABAC=AEAD∴BEAC=ABCD①ABAE=ACAD∵∠BAE=∠CAD∴∠BAE∠EAC=∠CAD∠EAC即∠BAC=∠DAE又∵ABAE=ACAD∴△ABC∽△AED∴BCED=ACAD∴EDAC=ADBC②①②得AC(BEED)=ABCDADBC又∵BEED≥BD∴ACBD≤A