第3講 立體幾何中的向量方法 - 長(zhǎng)沙市周南中學(xué)首頁(yè)封面

1、 第 3 講 立體幾何中的向量方法 立體幾何中的向量方法 【高考考情解讀】高考對(duì)本節(jié)知識(shí)的考查以解答題的形式為主， 主要從以下三個(gè)方面命題：1.以多面體(特別是棱柱、棱錐或其組合體)為載體，考查空間中平行與垂直的證明，常出現(xiàn)在解答題的第(1)問(wèn)中，考查空間想象能力，推理論證能力及計(jì)算能力，屬低中檔問(wèn)題.2.以多面體(特別是棱柱、棱錐或其組合體)為載體，考查空間角(主要是線面角和二面角)的計(jì)算，是高考的必考內(nèi)容，屬中檔題.3.以已知結(jié)論尋

2、求成立的條件(或是否存在問(wèn)題)的探索性問(wèn)題，考查邏輯推理能力、空間想象能力以及探索能力，是近幾年高考命題的新亮點(diǎn)，屬中高檔問(wèn)題． 1． 直線與平面、平面與平面的平行與垂直的向量方法 設(shè)直線 l，m 的方向向量分別為 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面 α、β 的法向量分別為 μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)． (1)線面平行 l∥α?a⊥μ?a· μ＝0?a1a3＋b1b3＋

3、c1c3＝0. (2)線面垂直 l⊥α?a∥μ?a＝kμ?a1＝ka3，b1＝kb3，c1＝kc3. (3)面面平行 α∥β?μ∥v?μ＝λv?a3＝λa4，b3＝λb4，c3＝λc4. (4)面面垂直 α⊥β?μ⊥v?μ· v＝0?a3a4＋b3b4＋c3c4＝0. 2． 直線與直線、直線與平面、平面與平面的夾角計(jì)算 設(shè)直線 l，m 的方向向量分別為 a＝(a1，b1，c1)，b＝(a2，b2，c2)．平面 α、β 的法向量

4、分別為 μ＝(a3，b3，c3)，v＝(a4，b4，c4)(以下相同)． (1)線線夾角 設(shè) l，m 的夾角為 θ(0≤θ≤π2)，則 cos θ＝|a· b||a||b|＝ |a1a2＋b1b2＋c1c2|a21＋b21＋c21 a22＋b22＋c22 . (2)線面夾角 設(shè)直線 l 與平面 α 的夾角為 θ(0≤θ≤π2)， ∵DF → ＝(1，－1,1)，DM → ＝? ? ? ? 1 2，－1，0 ，DC → ＝(1,

5、0,0)， 由 n1· DF → ＝n1· DM → ＝0， 得? ? ? ? ?x1－y1＋z1＝0，1 2x1－y1＝0， 解得? ? ?y1＝12x1，z1＝－12x1，令 x1＝1，則 n1＝? ? ? ? 1，12，－12 . 同理可得 n2＝(0,1,1)． ∵n1· n2＝0，∴平面 MDF⊥平面 EFCD. 方法二 (1)OM → ＝OF → ＋FB →＋BM → ＝12DF → －BF →

6、＋12BA → ＝12(DB → ＋BF →)－BF →＋12BA →＝－12BD → －12BF →＋12BA → ＝－12(BC →＋BA →)－12BF →＋12BA → ＝－12BC →－12BF →. ∴向量OM → 與向量BF →，BC →共面， 又 OM?平面 BCF，∴OM∥平面 BCF. (2)由題意知，BF，BC，BA 兩兩垂直， ∵CD → ＝BA →，F(xiàn)C →＝BC →－BF →， ∴OM → · CD

7、 → ＝? ? ? ? －12BC →－12BF → · BA →＝0， OM → · FC →＝? ? ? ? －12BC →－12BF → · (BC →－BF →) ＝－12BC → 2＋12BF → 2＝0. ∴OM⊥CD，OM⊥FC，又 CD∩FC＝C， ∴OM⊥平面 EFCD. 又 OM?平面 MDF，∴平面 MDF⊥平面 EFCD. (1)要證明線面平行，只需證明向量OM → 與平面 BCF