_第6講高階偏導(dǎo)數(shù)ppt

1、,—— 多元微積分學(xué),大 學(xué) 數(shù) 學(xué)（三）,,,,,,,,第六講 高階偏導(dǎo)數(shù),主講教師：孟純君,第一章 多元函數(shù)微分學(xué),第七節(jié) 高階偏導(dǎo)數(shù),正確理解多元函數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)的概念。能熟練地計算二、三元函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù)( )。熟悉求混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無關(guān)的條件。了解高階微分的概念及其算子表示法。會求二、三元函數(shù)的二階微分。知道多元函數(shù)的泰勒公式。,本節(jié)教學(xué)要求：,,,,,,? 高階偏導(dǎo)數(shù),? 高階微分,

2、? 微分算子,? 泰勒公式,本節(jié)關(guān)鍵概念和理論,? 求混合偏導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序無關(guān)的定理,,,,,,第七節(jié) 高階偏導(dǎo)數(shù),一. 高階偏導(dǎo)數(shù),二. 高階微分,三. 泰勒公式,,,,,,,多元函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)與一元函數(shù)的情形類似.,一般說來, 在區(qū)域 ? 內(nèi), 函數(shù) z = f (x, y) 的偏導(dǎo)數(shù),仍是變量 x , y 的多元函數(shù), 如果偏導(dǎo)數(shù),的二階偏導(dǎo)數(shù).,依此類推, 可定義多元函數(shù)的更高階的導(dǎo)數(shù).,仍可偏導(dǎo), 則它們的偏導(dǎo)數(shù)就是原來

3、函數(shù),一. 高階偏導(dǎo)數(shù),,,,,,,,,,,例,,,,,,,,,,高階偏導(dǎo)數(shù)還可使用下列記號,二元函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)共 22 = 4 項,,,,,,,,例,,,,,,,,,例,,,,,,,,,例,,,,,,,,,例,,,,共 23 = 8 項.,,,,,,發(fā)現(xiàn)求高階導(dǎo)數(shù)與求導(dǎo)順序有關(guān).,,,,,,例,先求一階偏導(dǎo)數(shù)：,再求二階偏導(dǎo)數(shù)：,,,,,解,,,,,,例,,,,,解,二階混合偏導(dǎo)數(shù)：,發(fā)現(xiàn)兩個混合偏導(dǎo)數(shù)相等,一般性？,這里的兩個混合

4、偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù),,,,,,例,需按定義求函數(shù)在點(0, 0) 處的偏導(dǎo)數(shù):,0,0,,,,,解,,,,,,這說明只有在一定的條件下求函數(shù),的高階偏導(dǎo)數(shù)才與求導(dǎo)順序無關(guān).,想想應(yīng)是什么條件？,,,,,,定理,則必有,,,廢話! 求出偏導(dǎo)數(shù)才能判斷連續(xù)性, 這時一眼就可看出混合偏導(dǎo)數(shù)是否相等了, 還要定理干什么.,有些函數(shù)不必求出其導(dǎo)數(shù),就可知道它的導(dǎo)函數(shù)是否連續(xù). 懂嗎！,,,,,,,,,,,,引入記號：,,,,,,例,解,,,,,,例

5、,,,,解,,,,,,例,解,,,,,,例,這是求隱函數(shù)的高階偏導(dǎo)數(shù).,請自己計算,解,,,,,,,,,,,,例,令,解,,,,,,即,同理可得,將上述偏導(dǎo)數(shù)帶入原方程, 得到,,,,,,利用算子可以方便地表示,高階微分,泰勒公式,,,,,,,二.高階微分,,,,,,,,,,,例,解,,,,,,稱為二階 Hessian 矩陣,二階微分的矩陣表示：,,,,,,例,又,故,解,,,,,,,與求多元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)的方法類似,,我們想借助一元函數(shù)

6、的泰勒公式來建立,多元函數(shù)的泰勒公式.,三.泰勒公式,,,,,,首先, 將一元函數(shù)的泰勒公式寫成微分形式：,,,,,,運用點函數(shù)進行推廣,,,,,,定理,(多元函數(shù)的泰勒公式),拉格朗日余項.,該公式稱為多元函數(shù)泰勒公式的微分形式,,,,,,由多元函數(shù)高階微分式：,多元函數(shù)的泰勒公式可寫成一般形式：,,,,,,,,證明多元函數(shù)泰勒公式的思想方法是,引入?yún)⒆兞浚瑢⒍嘣瘮?shù)的問題轉(zhuǎn)化為相應(yīng)的一元函數(shù)問題，選擇參變量的特殊值，寫出一元函數(shù)的泰