[學(xué)習(xí)]概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)王明慈第二版第2章隨機(jī)變量及其分布9節(jié)

1、2024/3/26,1,第九節(jié) 隨機(jī)變量函數(shù)的分布,一、一維隨機(jī)變量函數(shù)的分布,求Y=(X-1)2的概率分布,例1 設(shè)隨機(jī)變量X的概率分布如下，,解：Y的所有可能取值為0,1,4,2024/3/26,2,例2. 設(shè)隨機(jī)變量X有概率密度,解：分別記X，Y的分布函數(shù)為,求隨機(jī)變量Y=2X+8的概率密度。,2024/3/26,3,例3. 設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間[-1,2]上服從均勻分布，,解: 當(dāng)X在區(qū)間[-1,2]上取值時(shí),Y在[0,1]

2、或[1,4]取值,求隨機(jī)變量Y=X2的概率密度。,由于y=x2不是單調(diào)的，,2024/3/26,4,例3. 設(shè)隨機(jī)變量X在區(qū)間[-1,2]上服從均勻分布，,求隨機(jī)變量Y=X2的概率密度。,解: 所以Y的分布函數(shù)為,上式對(duì)y求導(dǎo)數(shù)，得Y的概率密度為,2024/3/26,5,在實(shí)際問題中，常常會(huì)遇到需要求隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題。例如：在下列系統(tǒng)中，每個(gè)元件的壽命分別為隨機(jī)變量 X,Y ，它們相互獨(dú)立同分布。我們想知道系統(tǒng)壽命 Z 的分布。,

3、這就是求隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題。,二、多維隨機(jī)變量函數(shù)的分布,2024/3/26,6,解題步驟：,1.一般情形問題,已知二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合密度為 f ( x , y ), g ( x , y ) 是二元連續(xù)函數(shù)，欲求隨機(jī)變量 Z=g (X,Y)的概率密度。,2024/3/26,7,2. 和的分布,例 3,1）離散型隨機(jī)變量和的分布,2024/3/26,8,2024/3/26,9,例4,2024/3/26,10,2024/

4、3/26,11,2）連續(xù)型隨機(jī)變量和的分布,2024/3/26,12,,2024/3/26,13,由于 X , Y 的對(duì)稱性可得,2024/3/26,14,2024/3/26,15,例5. 設(shè)隨機(jī)變量X與Y相互獨(dú)立，概率密度分別是,解: Z的分布函數(shù)為,求Z=X+Y的概率密度。,2024/3/26,16,∴Z的分布函數(shù),,,x + y = z,,,,,,,2024/3/26,17,3.極值分布,解：,2024/3/26,18,,解：,2