第2章 隨機變量及其分布

1、第二章 隨機變量及其分布,§2.1 隨機變量,§2.2 離散型隨機變量的概率分布,§2.3 隨機變量的分布函數(shù),§2.4 連續(xù)型隨機變量的概率密度,§2.5 隨機變量的函數(shù)的分布,§2.1 隨機變量,我們知道隨機事件是由基本事件構成的，前面我們所給出的定義無論是基本事件還是隨機事件都是用文字敘述給出，這有兩個缺憾，一是非常繁瑣，二是盡管事件可以看成子集（樣本空間的子集）但

2、是文字敘述卻不符合數(shù)學的研究特點，因此為了更深入地研究隨機現(xiàn)象，我們就需要將隨機試驗的結果數(shù)量化，也就是用某一變量取得各種不同的數(shù)值來描述隨機試驗的結果，這樣就引進了隨機變量的概念．,(1) 在隨機現(xiàn)象中,有很多樣本點本身就是數(shù)量表示的,由于樣本點出現(xiàn)的隨機性,其數(shù)量呈現(xiàn)為隨機變量.如:,①投擲一顆骰子,出現(xiàn)的點數(shù)X是一個隨機變量.,②每天進入某超市的顧客數(shù)Y;顧客購買商品的件數(shù)U;顧客排隊付款的時間V. Y、U、V是三個不同的

3、隨機變量.,③電視機的壽命T是一個隨機變量.,④測量的誤差?是一個隨機變量.,若用數(shù)字“1”代表事件“出現(xiàn)正面”， 用數(shù)字“0”代表事件“出現(xiàn)反面”，,(2)在隨機現(xiàn)象中,還有不少樣本點本身不是數(shù),這時可根據(jù)需要設計隨機變量.如:,則構造隨機變量X：S ?{0,1}，即X(H)=1， X(T)=0,此時，隨機變量 X 隨基本事件的變化而變化，當基本事件確定，對應值 X 也相應確定．,設E是隨機試驗，它的樣本空間是S＝{e} ，如果

4、對于每一個 e ∈S，都有一個實數(shù)X(e)與之對應，這樣就得到一個定義在S上的單值實值函數(shù)X=X(e), 稱為 隨機變量. 常用字母X,Y,ξ,η,等表示隨機變量．,定義,隨機變量是定義在樣本空間上的實值集函數(shù)，它與普通的實函數(shù)有本質的區(qū)別．一方面它的取值是隨機的，而它取每一個可能值都有一定的概率；另一方面，它的定義域是樣本空間S，而S不一定是實數(shù)集．,,S,,e,,X(e),,,R,,隨機變量,離散型隨機變量,非離散型的隨

5、機變量,,（取有限個或可數(shù)個值）,-----連續(xù)型隨機變量．,隨機變量的概念在概率論與數(shù)理統(tǒng)計中既是基本的， 又是非常重要的．后面將會看到，由于引入了隨機變量， 高等數(shù)學的方法就可用來研究隨機現(xiàn)象了．,例1 一袋中有6個球，分別標有 1,2,2,2,3,3，從袋中任 取一個球， 觀察出現(xiàn)的數(shù)字．,當試驗的可能結果本身是用數(shù)量描述的，這時構造隨機變量最容易．,解：樣本空間 S＝｛e1，e2，e3},

6、 其中e1＝｛出現(xiàn)數(shù)字1｝，e2＝｛出現(xiàn)數(shù)字2｝， e3＝｛出現(xiàn)數(shù)字3｝. 構造隨機變量X：S ?｛1,2,3｝， 即 X(e1)=1， X(e2)=2， X(e3)=3,例3 某射手每次射擊打中目標的概率是 p (0<p<1)，現(xiàn)在他連續(xù)向一目標射擊，直到第一次擊中目標為止，則射擊次數(shù) X 是一個隨機變量，X 可以取到一切自然數(shù)．,§2.2 離

7、散型隨機變量的概率分布,一、基本概念,定義 設離散型隨機變量 X 所有可能取的值為 xk ，k =1，2，… X 取各個可能值的概率為 pk , 即 P{ X=xk }= pk ， k =1，2，… (2.1) 稱(2.1) 式為離散型隨機變量 X 的概率分布或分布律.,離散型隨機變量的分布律：,例1 設一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過四盞信號燈

8、,每盞信號燈以概率 p 禁止汽車通過. 以 X 表示汽車首次停下時, 它已通過的信號燈的盞數(shù)(設各信號燈的工作是相互獨立的). 求 X 的分布律.,或寫成,解: X 的可能取值為 0, 1, 2, 3, 4， 故 X 的分布律為,例2 設袋中有4個紅球, 1個白球, 今從袋中隨機抽取兩次, 每次取一個, 設 X 表示所取得的白球數(shù), 試分兩種情況: (1) 放回抽取; (2)不放回抽取. 分別求出 X 的分布律.,離散型隨機變量

9、 X 的概率函數(shù)或分布律完全刻劃了離散型隨機變量的分布情況.已知 X 的分布律 ,可以求得這個隨機變量 X 所對應的樣本空間中任何隨機事件的概率.,二、幾種常見的離散型隨機變量,1.(0-1)分布,(1)相互獨立試驗 將試驗E重復進行n次, 若各次試驗的結果互不影響, 即每次試驗結果出現(xiàn)的概率都不依賴于其它各次試驗的結果, 則稱這n次試驗是相互獨立的.,2.二項分布,(3)貝努利試驗的特性 設X表示n重貝努利試驗中A事件發(fā)生

10、的次數(shù). 則X是一個隨機變量, X 的可能值為0,1,2,…,n.,若隨機變量X的分布律為 則稱X 服從參數(shù)為 n,p 的二項分布，記作 X~b(n,p )．,(2)二項分布,二項分布是一種常見的離散型分布.如:,下面通過實例來觀察二項分布隨著 k 取值的不同而變化的情況．,例1 設有20臺機床，獨立地各加工一件齒輪，若各機床加工的廢品率都是0.2，求20件齒輪產(chǎn)品中的廢品數(shù)的分

11、布律?,表中當k≥11時，P{X=k}<0.001．為了對此結果有一個直觀的了解，我們將表中數(shù)據(jù)用圖形來表示．,從上圖中可看到，概率P{X=k}先是隨 k 的增加而單調上升，當k增加到4時，P{X=k}取得最大值0.218，然后P{X=k}再隨著 k 的增加而單調下降．一般來講，對于固定的n和p，二項分布 b(n,p)都具有這一性質．,解: 設k=N 時P{X=k}為最大,則有不等式

12、 解得,例2 某人進行射擊, 每次射擊的命中率為0.02, 獨立射擊400次, 試求至少擊中兩次的概率.,解: 設X表示擊中的次數(shù), 則X ~ b(400,0.02),上式計算較繁索,下面給出一個近似公式：,,泊松定理：設　　　是一常數(shù)，n是任意正整數(shù)，設　　　　，則對于任一固定的非負整數(shù)k，有,利用此定理解上例,(3) 泊松分布,若隨機變量X的分布律

13、為 其中? >0是常數(shù), 則稱X服從參數(shù)為 ? 的泊松分布，記作 ．,可以驗證,泊松分布是一種常見的離散型分布,它常與單位時間(或單位面積、單位產(chǎn)品等)上的計數(shù)過程相聯(lián)系.如:,都服從泊松分布.因此泊松分布的應用面是十分廣泛的.,例3 已知某電話交換臺每分鐘接到的呼叫次數(shù)X服從參數(shù)? =4的泊松分布，求：(1) 每分鐘恰好接到3次呼

14、喚的概率; (2) 每分鐘內接到呼喚的次數(shù)不超過4次的概率.,解 (1),例4 設某商店每月銷售某種商品的數(shù)量服從參數(shù)為 5 的泊松分布,問在月初要庫存多少此種商品才能保證當月不脫銷的概率為0.99977 ?,解: 設X表示銷售數(shù)量, n為庫存數(shù)量,則,查表得 n=14,由定義，事件“x1 x}＝1-P{X?x}=1-F(x),§2.3 隨機變量的分布函數(shù),因而,一般地，對于離散型隨機變量X 來講，如果其概率

15、分布律為 , k=1,2,… 其中x1<x2<…則X的分布函數(shù)為 F(x)是階梯形曲線，x =x1，x2，… 為F(x)的跳躍點，其跳躍值分別為p1 , p2 ,… ．,(2)解法一,解法二,例2 一個靶子是半徑為2米的圓盤,設擊中靶上任一同心圓盤上的點的概率與該圓盤的面積成正比,并設射擊都能 中靶,以X表示彈著點與圓心的距離.試求隨機變量X的分布函數(shù)．,解 (1) 當x&

16、lt;0時，事件{X≤x}為不可能事件，于是 F(x)= P{X≤x}=0,(2) 當0≤x≤2時，P{0≤X ≤x}=cx2 (c為待定常數(shù)) 又因為{0≤X≤2}為必然事件,故 1= P{0≤X≤2} 故 于是,(3)當x>2時,{ X≤x}為必然事件,于是 F(x)= P{X≤x}=1,綜上所述,本例中的分布函數(shù)F(x)的圖形是一條連續(xù)曲線，且對于任意x

17、均有 其中 這說明隨機變量X 的分布函數(shù)F(x)恰好是某個非負函數(shù) f(x) 在(-∞,x]上的積分，這種情況的隨機變量X稱為連續(xù)型隨機變量.這就是我們下節(jié)中要研究的連續(xù)型隨機變量．,§2.4 連續(xù)型隨機變量的概率密度,注：公式(4.1)和(4.2)表示了分布函數(shù)與概率密度間的 兩個關系．利用這些關系，可以根據(jù)分布函數(shù)和概 率密度中的一個

18、推出另一個．,2.概率密度f(x)的性質：,o,x,0 x,連續(xù)型隨機變量的分布函數(shù)與概率密度的幾何意義：F(x)等于曲線 f(x)在(-∞，x]上的曲邊梯形的面積(見圖1). 說明曲線 f(x)與x 軸之間的面積等于1(見圖2).而性質(3)表示P{x1<X≤x2}等于曲線 f(x)在區(qū)間(x1,x2)上的曲邊梯形的面積(見圖3).,圖1,圖2,圖3,x,F(x),f(x),f

19、(x),1,例1 已知 是某個連續(xù)型隨機 變量的概率密度, 試確定常數(shù) c.,解: 由概率密度函數(shù)的性質 得 即 c=2,例2設連續(xù)型隨機變量 X 的概率密度為試求(1)常數(shù)A的值. (2) X 的分布函數(shù)F(x) (3),X,例3 設連續(xù)型隨機變量X的概

20、率密度為 求 :(1)系數(shù)A (2)P{-1/2<X≤1/2｝ (3)F(x),(2),(3),當x < -1時，,當-1≤x <1時，,當x ≥1時，,故,因此，在討論連續(xù)型隨機變量落入某個區(qū)間內的概率時，可以不必分該區(qū)間是開區(qū)間、閉區(qū)間或半開區(qū)間，因為 P{a<X<b}= P{a<X≤b}= P{a≤X<b}= P{a≤X≤b

21、}.,除了離散分布和連續(xù)分布以外,還有既非離散又非連續(xù)的分布.見下例:,從圖上可以看出:它既不是階梯函數(shù),又不是連續(xù)函數(shù),所以它既非離散的又非連續(xù)的分布.它是新的一類分布.本書將不研究此類分布,只是讓大家知道,需要不斷的學習與研究.,5.幾種常見的連續(xù)型隨機變量,(一)均勻分布若連續(xù)型隨機變量X的概率密度為則稱X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，記作X～ U(a,b).,,顯然，f(x)≥0，且 由(4.1)式可得

22、X的分布函數(shù)為,性質 (1) (2)若隨機變量X在區(qū)間(a,b)上服從均勻分布，則對任意 滿足a≤c<d≤b的c和d，有 上式說明X落入(a,b)中任一小區(qū)間的概率與該小區(qū)間的長度成正比，而與小區(qū)間的位置無關，這就是均勻分布的概率意義.,例4 設電阻值R是一個隨機變量，均勻分布在800歐～1000歐，求R的概率密度及R落在850歐～950歐的概率.,解: 由題意，R的概率密度為,而,(二) 指數(shù)分布,若隨機變

23、量X的概率密度為 為常數(shù)且大于零, 則稱X服從參數(shù)為 的指數(shù)分布.,顯然，f(x)≥0，且由(4.1)式可得X的分布函數(shù)為：,[注] 因為指數(shù)分布隨機變量只可能取非負實數(shù),所以指數(shù)分布常被用作各種“壽命”分布,如:電子元件的壽命、動植物的壽命、電話的通話時間、隨機服務系統(tǒng)中的服務時間等等都可假定服從指數(shù)分布.指數(shù)分布在可靠性與排隊論中有著廣泛的應用.,例5 設某種燈泡的使用壽命為X，其概率密度為 求:(

24、1)此種燈泡使用壽命超過100小時的概率. (2)任取5只產(chǎn)品, 求有2只壽命大于100小時的概率.,(三) 正態(tài)分布,若隨機變量X的概率密度為其中 為常數(shù)，則稱X服從參數(shù)為 的正態(tài)分布，記為,由(4.1)式可得正態(tài)分布的分布函數(shù)為,,,,,,正態(tài)分布的概率密度函數(shù)f(x)具有如下性質,1. 曲線關于直線 對稱，當

25、 時，有,3. 在 處曲線 f(x) 有拐點，且曲線以x軸為水 平漸近線.,,,,4. 若固定 ，而改變值 ，則曲線 f(x)的圖形沿x軸平行 移動，而曲線形狀不變，如圖1所示.,5. 若固定 ，改變值 ， 越大，曲線越平坦， 越 小，曲線越陡峭，這時 X 落入 ? 附近的概率越大. 如 圖2所示.,,6.當

26、參數(shù) 時，稱X服從標準正態(tài)分布， 記作X～N(0,1)，對應的概率密度與分布函數(shù)分別 用 與 來表示,即,與 的性質,(1) 是偶函數(shù)，即 (2) 當x=0時， 取得最大值 ; (3)Φ(-x)=1-Φ(x),為了便于計算, 人們已經(jīng)編制了 的函數(shù)表即371頁附表2 標準正態(tài)分布表,

27、例6 已知 , 求,解:,對于服從一般正態(tài)分布的隨機變量X，要計算X落入?yún)^(qū)間(a,b)的概率，可以轉化成標準正態(tài)分布的概率計算.,引理設 ，則,例7 設X～N(1.5，4),計算:(1) P{X2};(4) P{｜X｜<3}.,解 (1) P{X<3.5} = F(3.5) = Φ( )=Φ(1)=0.8413,

28、(2) P{X<－4} = F(－4) = Φ( )=Φ(－2.75)=1－ Φ(2.75) =1－0.9970=0.003,(3) P{X>2} = 1－P{X≤2｝= 1－F(2) = 1－ Φ( ) =1－Φ(0.25) =1－0.5987

29、=0.4013,(4) P{｜X｜<3}= P{－3<X<3}=F(3)－F(－3) =Φ(0.75)－[1－Φ(2.25)] =0.7734－(1－0.9878) =0.7612,例8 已知 ，分別求落入?yún)^(qū)間[ __ , + ]；[ __2 , +2

30、 ]；[ __3 , +3 ]內的概率.,從上式三個數(shù)據(jù)中可以看到，對于正態(tài)隨機變量來說，它的值落入?yún)^(qū)間 [ -3 , +3 ]內幾乎是肯定的事，這就是所謂的“3 法則”.,(2)類似地， P{ __2 ≤X≤ + 2 ｝=2Φ(2) __1 =2 0.9772_

31、_1=0.9544,(3) P{ __ 3 ≤X≤ +3 ｝=2Φ(3) __1 =2 0.9987__1=0.9974,解 (1) =Φ(1) __Φ(__1)=2Φ(1) __1=2 0.8413__1=0.6826,,例9 將一溫度調節(jié)器放置在儲存著某種液體的容器內, 調節(jié)器整定在

32、 ，液體的溫度Ｘ（以C計）是一個隨機變量，且 . (1)若d=90,求X小于89的概率. (2)若要求保持液體的溫度至少為80的概率不低于0.99,問d 至少為多少?,解: (1)所求概率為,(2) 按題意要求d 滿足,亦即,即,故需,定義,設 , 若 滿足條件則稱點 為標準正態(tài)

33、分布的上 分位點(如圖),§2.5 隨機變量的函數(shù)的分布,在分析和解決實際問題時，常常會遇到一些隨機變量，它們的分布難于直接得到，但其與一些已知隨機變量之間具有函數(shù)關系.本節(jié)主要解決如何由隨機變量X的概率分布求出隨機變量Y=g(X)的概率分布.,對于隨機變量X的函數(shù)的分布的討論分兩部分一、離散型隨機變量函數(shù)的分布律二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的概率密度,一、離散型隨機變量函數(shù)的分布律,即：P{X－1=－2｝=P{

34、X=－1｝=1/5 P{－2X=2｝=P{X=－1｝=1/5 P{ =1｝=P{X=1｝+P{X=－1｝ =1/10+1/5=3/10等等，由此可定出,二、連續(xù)型隨機變量函數(shù)的概率密度,對于連續(xù)型隨機變量，需要由隨機變量X的概率密度 去求隨機變量Y=g(X)的概率密度. 解決這類問題的方法是：第一步求出Y的分布函數(shù)

35、的表達式，第二步利用連續(xù)型隨機變量分布函數(shù)與概率密度的關系，求導數(shù)即可得到.,例2 設隨機變量X具有概率密度 求 Y=2X+8 的概率密度.,解 先求Y=2X+8的分布函數(shù),于是，得 Y=2X+8的 概率密度為,例3 設隨機變量X具有概率密度 ， 求Y= 的概率密度.,解 先求Y的分布函

36、數(shù) . 因為 故當y≤0時， =P{Y≤y｝=0 當 y>0 時， =P{－ ≤X≤ }= 于是，得Y的概率密度為,例如 , 設 , 其概率密度為則 的概率密度為,,定理 設隨機變量X具

37、有概率密度 , 又設函數(shù)g(x)處處可導且有 (或恒有 ) 則Y=g(X)是連續(xù)型隨機變量,其概率密度為 其中 h(y)是g(x)的反函數(shù).,注: 若g(x)不是

38、單調函數(shù)不能用此定理 若 在有限區(qū)間[a，b]以外等于零，則只需假設在 [a，b]上恒有 （或恒有 ），此時,例4 設電壓 ,其中A 是一個已知的正常數(shù), 相角 是一個隨機變量, 在區(qū)間 服從均勻分布,試求電壓 V 的概率密度.,解: 由于

39、 在 上恒有 , 且有反函數(shù) 又 的概率密度為 由定理得 的概率密度為,,解: X的概率函數(shù)為 現(xiàn)在y=g(x)=ax+b, 由這一式子解得

40、 , 且有 由定理得Y=aX+b的概率密度為,第二章小結,本章要求,(1)理解隨機變量的概念,離散型隨機變量及概率函數(shù)(分布律)的概念和性質;連續(xù)型隨機變量及概率密度函數(shù)的概念和性質.(2)理解分布函數(shù)的概念和性質,會利用概率分布計算有關事件的概率.(3)掌握常見分布：兩點分布、二項分布、泊松分布、均勻分布、指數(shù)分布和正態(tài)分布的相關的性質.(4)會求簡單的隨機變量函數(shù)的分布.,,?隨機變量的分類

41、： 離散型 隨機變量 連續(xù)型 非離散型 其它,,3.隨機變量的分布函數(shù) ?定義:設X是一個隨機變量,x?(-?,+?),函數(shù) F(x)=P{X ?x},稱為X的分布函數(shù),?對任意實數(shù)x1 , x2 (x1< x2 ),有,,? 分布函數(shù)的性質,(

42、1),(3),(4) F(x)是右連續(xù)的,即F(x+0)=F(x),*,*,(1)離散型隨機變量X的分布函數(shù),分布函數(shù):,,(2) 連續(xù)型隨機變量,¤,#,¤,*,*,三種重要的連續(xù)型隨機變量,,(一) 均勻分布,(二) 指數(shù)分布,(三) 正態(tài)分布,標準正態(tài)分布,,注： 1° 若 , 則

43、 2°若 ，則它的分布函數(shù)為 3°對于任意區(qū)間 ，有,,4 隨機變量的函數(shù)的分布,一、離散型隨機變量的函數(shù)的分布律二、連續(xù)型隨機變量的函數(shù)的概率密度,方法：由隨機變量X的

44、概率密度 去求 隨機變量Y=g(X)的概率密度. (1) 求出Y的分布函數(shù)的表達式; (2) 由分布函數(shù)求導數(shù)，即可得到.,,第三章 多維隨機變量及其分布,,以下我們對密度函數(shù)與分布律的異同點作一些說明,從這個意義上講,概率密度函數(shù)與概率分布律所起的作用是類似的.但它們之間的差別也是明顯的,具體有:,相同點,不同點,(1)離散型隨機變量的分布函數(shù)F(x)總是