第二章隨機變量及其分布-白城師范學(xué)院

1、§2.1 隨機變量及其分布§2.2 隨機變量的數(shù)學(xué)期望§2.3 隨機變量的方差與標(biāo)準差§2.4 常用離散分布§2.5 常用連續(xù)分布§2.6 隨機變量函數(shù)的分布§2.7 分布的其他特征數(shù),第二章 隨機變量及其分布,§2.1 隨機變量及其分布,(1) 擲一顆骰子， 出現(xiàn)的點數(shù) X1，2，……，6. (2) n個

2、產(chǎn)品中的不合格品個數(shù) Y 0，1，2，……，n (3) 某商場一天內(nèi)來的顧客數(shù) Z 0，1，2，…… (4) 某種型號電視機的壽命 T : [0, +?),2.1.1 隨機變量的定義,定義2.1.1 設(shè) ? ={?}為某隨機現(xiàn)象的樣本空間， 稱定義在?上的實值函數(shù)X=X(?)為隨機變量.,注 意 點 (1),(1) 隨機變量X(?)是樣本點?的函數(shù)，,其定義域為? ，其值域為R=(??

3、，??),若 X 表示擲一顆骰子出現(xiàn)的點數(shù)， 則 {X=1.5} 是不可能事件.,(2) 若 X 為隨機變量，則 {X = k} 、 {a < X ? b} 、…… 均為隨機事件.,即 {a < X ? b} ={?；a < X(?)? b }? ?,注 意 點 (2),(3) 注意以下一些表達式：,{X = k}= {X ? k}?{X < k}；,{a < X ? b} = {

4、X ? b}?{X ? a}；,{ X > b} = ? ?{X ? b}.,(4) 同一樣本空間可以定義不同的隨機變量.,若隨機變量 X 可能取值的個數(shù)為有限個或 可列個，則稱 X 為離散隨機變量.若隨機變量 X 的可能取值充滿某個區(qū)間 [a, b]，則稱 X 為連續(xù)隨機變量.前例中的 X, Y, Z 為離散隨機變量； 而 T 為連續(xù)隨機變量.,兩類隨機變量,定義2.1.2 設(shè)X為一

5、個隨機變量，對任意實數(shù) x， 稱 F(x)=P( X? x) 為 X 的分布函數(shù).基本性質(zhì)： (1) F(x) 單調(diào)不降； (2) 有界：0?F(x)?1，F(xiàn)(??)=0，F(xiàn)(+?)=1； (3) 右連續(xù).,2.1.2 隨機變量的分布函數(shù),2.1.3 離散隨機變量的分布列,設(shè)離散隨機變量 X 的可能取值為：x1，x2，……，xn，…… 稱 pi=

6、P(X=xi)， i =1, 2, …… 為 X 的分布列.分布列也可用表格形式表示：,X x1 x2 …… xn ……,P p1 p2 …… pn ……,,,分布列的基本性質(zhì),(1) pi ? 0， (2),(正則性),(非負性),注 意 點 (1),求離散隨機變量的分布列應(yīng)注意：,(1) 確定隨機變量的所有可能取值;,(2)

7、 計算每個取值點的概率.,注 意 點 (2),對離散隨機變量的分布函數(shù)應(yīng)注意：,(1) F(x)是遞增的階梯函數(shù);,(2) 其間斷點均為右連續(xù)的;,(3) 其間斷點即為X的可能取值點;,(4) 其間斷點的跳躍高度是對應(yīng)的概率值.,例2.1.1,已知 X 的分布列如下：,X 0 1 2,P 1/3 1/6 1/2,,,求 X 的分布函數(shù).,,解：,X

8、 0 1 2,P 0.4 0.4 0.2,,,解：,例2.1.2,已知 X 的分布函數(shù)如下,求 X 的分布列.,,2.1.4 連續(xù)隨機變量的密度函數(shù),連續(xù)隨機變量X的可能取值充滿某個區(qū)間 (a, b).因為對連續(xù)隨機變量X，有P(X=x)=0， 所以無法仿離散隨機變量用 P(X=x) 來描述連續(xù)隨機變量X的分布.注意離散隨機變量與連續(xù)隨機變量的差別.,定義2.1.4,

9、設(shè)隨機變量X 的分布函數(shù)為F(x),,則稱 X 為連續(xù)隨機變量，,若存在非負可積函數(shù) p(x) ，滿足：,稱 p(x)為概率密度函數(shù)，簡稱密度函數(shù).,密度函數(shù)的基本性質(zhì),滿足(1) (2)的函數(shù)都可以看成某個連續(xù)隨機變量的概率密度函數(shù).,(非負性),(正則性),注意點(1),(1),(2) F(x) 是 (?∞, +∞) 上的連續(xù)函數(shù); (3) P(X=x) = F(x)?F(x?0) = 0;,(4) P{a<

10、X≤b} = P{a<X<b} = P{a≤X<b} = P{a≤X≤b} = F(b)?F(a).,注意點(2),(5) 當(dāng)F(x) 在x點可導(dǎo)時, p(x) =,當(dāng)F(x) 在x點不可導(dǎo)時, 可令p(x) =0.,,連續(xù)型,密度函數(shù) X ~ p(x)

11、 ( 不唯一 ),2.,4. P(X=a) = 0,離散型,分布列: pn = P(X=xn) ( 唯一 ),2. F(x) =,3. F(a+0) = F(a); P(a<X?b) = F(b)?F(a).,4. 點點計較,5. F(x)為階梯函數(shù)。,5. F(x)為連續(xù)函數(shù)。,F(a?

12、0) = F(a).,F(a?0) ? F(a).,,例2.1.3,設(shè) X ~,求 (1) 常數(shù) k. (2) F(x).,,(1) k =3.,(2),解：,例2.1.4,設(shè) X ~,求 F(x).,,解：,設(shè)X與Y同分布，X的密度為,已知事件 A = { X > a } 和 B ={ Y > a } 獨立，,解: 因為 P(A) = P(B),,P(A?B) = P(A)+P(B)?P(A)

13、P(B),從中解得,,且 P(A?B)=3/4,,求常數(shù) a .,且由A、B 獨立，得,= 2P(A) ? [P(A)]2 = 3/4,從中解得: P(A)=1/2,,由此得 0<a <2 ,,因此 1/2 = P(A) = P( X > a ),例2.1.5,設(shè) X ~ p(x)，且 p(?x) = p(x)，F(xiàn)(x)是 X 的分布函數(shù)， 則對任意實數(shù) a>0，有( )

14、 ① F(?a) =1? ② F(?a)= ③ F(?a) = F(a) ④ F(?a) = 2F(a) ? 1,課堂練習(xí),②,§2.2 隨機變量的數(shù)學(xué)期望,分賭本問題(17世紀) 甲乙兩賭徒賭技相同，各出賭注50元.無平局，誰先贏3局，則獲全部賭注.當(dāng)甲贏2局、乙贏1局時，中止了賭博.問如何分賭本?,兩種分法,1. 按已賭局數(shù)分： 則甲分總

15、賭本的2/3、乙分總賭本的1/3 2. 按已賭局數(shù)和再賭下去的“期望” 分： 因為再賭兩局必分勝負，共四種情況：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分總賭本的3/4、乙分總賭本的1/4,2.2.1 數(shù)學(xué)期望的概念,若按已賭局數(shù)和再賭下去的“期望” 分， 則甲的所得 X 是一個可能取值為0 或100 的隨機變量，其分布列為：,,,X 0 100,P

16、1/4 3/4,甲的“期望” 所得是：0?1/4 +100 ? 3/4 = 75.,2.2.2 數(shù)學(xué)期望的定義,定義2.2.1 設(shè)離散隨機變量X的分布列為P(X=xn) = pn, n = 1, 2, ... 若級數(shù),絕對收斂，則稱該級數(shù)為X 的,數(shù)學(xué)期望，記為,連續(xù)隨機變量的數(shù)學(xué)期望,定義2.2.2 設(shè)連續(xù)隨機變量X的密度函數(shù)為p(x), 若積分,絕對收斂，則稱該

17、積分為X 的,數(shù)學(xué)期望，記為,數(shù)學(xué)期望簡稱為期望.數(shù)學(xué)期望又稱為均值.數(shù)學(xué)期望是一種加權(quán)平均.,注 意 點,例2.2.1,則,E(X) =,?1×0.2+0×0.1+1×0.4+2×0.3 = 0.8.,X ?1 0 1 2,P 0.2 0.1 0.4 0.3,,,例題2.2.3彩票問題,每張福利彩票售價5元，

18、各有一個兌獎號。每出售100萬張設(shè)一個開獎組，用搖獎器當(dāng)眾搖出一個6位數(shù)的中獎號碼，對獎規(guī)則如下：兌獎號碼與中獎號碼的最后一、二、三、四、五位相同者獲六等獎，分獲獎金10，50，500，5000，50000元 ，兌獎號碼與中獎號碼全部相同獲一等獎500000元.試求每張彩票平均所得獎金額？,例題2.2.2 在一個人數(shù)為N的人群中 普查某種疾病,,,,2.2.3 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),定理2.2.1 設(shè) Y=g(X) 是隨機變量

19、X的函數(shù)， 若 E(g(X)) 存在，則,,例2.2.2 設(shè)隨機變量 X 的概率分布為,求 E(X2+2).,= (02+2)×1/2+(12+2)×1/4+(22+2)×1/4,= 1+3/4+6/4 = 13/4,解: E(X2+2),X 0 1 2,P 1/2 1/4 1/4,,,數(shù)學(xué)期望的性質(zhì),(1)

20、 E(c) = c,(2) E(aX) = aE(X),(3) E(g1(X)+g2(X)) = E(g1(X))+E(g2(X)),例2.2.3,設(shè) X ~,求下列 X 的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.,(1) 2X?1, (2) (X ? 2)2,,解: (1) E(2X ? 1) = 1/3,,(2) E(X ? 2)2 = 11/6.,§2.3 隨機變量的方差與標(biāo)準差,數(shù)學(xué)期望反映了X 取值的中心

21、.方差反映了X 取值的離散程度.,2.3.1 方差與標(biāo)準差的定義,定義2.3.1 若 E(X?E(X))2 存在，則稱 E(X?E(X))2 為 X 的方差，記為,Var(X)=D(X)= E(X?E(X))2,(2) 稱,注 意 點,?X = ? (X)=,(1) 方差反映了隨機變量相對其均值的偏離程度. 方差越大, 則隨機變量的取值越分散.,為X 的標(biāo)準差.,標(biāo)準差的量綱與隨機

22、變量的量綱相同.,2.3.2 方差的性質(zhì),(1) Var(c)=0. 性質(zhì) 2.3.2,(2) Var(aX+b) = a2 Var(X). 性質(zhì) 2.3.3,(3) Var(X)=E(X2)?[E(X)]2. 性質(zhì) 2.3.1,例2.3.1 設(shè) X ~,, 求 E(X), Var(X).,解: (1) E(X)=,,= 1,(2) E(X2) =,,= 7/6

23、,所以,,Var(X) = E(X2)?[E(X)2],= 7/6 ? 1 = 1/6,課堂練習(xí),問題：Var(X) = 1/6, 為什么？,隨機變量的標(biāo)準化,設(shè) Var(X)>0, 令,則有 E(Y)=0, Var(Y)=1.,稱 Y 為 X 的標(biāo)準化.,2.3.3 切比雪夫不等式,設(shè)隨機變量X的方差存在(這時均值也存在), 則 對任意正數(shù)ε，有下面不等式成立,例2.3.2設(shè) X~,證明,證明:,E(

24、X) =,= n+1,E(X2) =,= (n+1)(n+2),所以,,Var(X) = E(X2)?(EX)2 = n+1,,,(這里, ? = n+1),,由此得,定理 2.3.2,Var(X)=0,P(X=a)=1,§2.4 常用離散分布,2.4.1 二項分布 記為 X ~ b(n, p).X為n重伯努里試驗中“成功”的次數(shù),,當(dāng)n=1時，稱 b(1, p) 為 0-1分布.,試驗次數(shù)為

25、 n=4,,“成功”即取得合格品的概率為 p=0.8,,所以, X ~ b(4, 0.8),思考： 若 Y 為不合格品件數(shù)，Y ?？,Y ~ b(4, 0.2),一批產(chǎn)品的合格率為0.8, 有放回地抽取4次, 每次一件, 則取得合格品件數(shù) X 服從二項分布.,例2.4.1 設(shè)X ~ b(2, p)， Y ~ b(4, p)， 已知 P(X?1) = 8/9， 求 P(Y?1).,解: 由 P(X?1)

26、 = 8/9 ，知 P(X=0) = 1/9.,由此得： P(Y?1) = 1? P(Y=0),所以 1/ 9 = P(X=0) =(1?p)2，,從而解得: p = 2/3.,= 1- (1?p)4 = 80/81.,若隨機變量 X 的概率分布為,則稱 X 服從參數(shù)為? 的泊松分布,,記為 X ~ P(?).,2.4.2 泊松分布,泊松定理,定理2.4.1,(二項分布的泊松近似),在n重伯努里試驗中，記 pn 為一次試驗中

27、成功的概率.,若 npn ??，則,記為 X ~ h(n, N, M).,超幾何分布對應(yīng)于不返回抽樣模型 ：,N 個產(chǎn)品中有 M 個不合格品，,從中抽取n個，不合格品的個數(shù)為X .,2.4.3 超幾何分布,記為 X ~ Ge(p),X 為獨立重復(fù)的伯努里試驗中， “首次成功”時的試驗次數(shù).,幾何分布具有無記憶性，即：,P( X > m+n | X > m ) = P( X > n ),2.4.4 幾

28、何分布,負二項分布(巴斯卡分布),記為X ~ Nb(r, p).,X 為獨立重復(fù)的伯努里試驗中， “第 r 次成功”時的試驗次數(shù).,注 意 點,(1) 二項隨機變量是獨立 0-1 隨機變量之和.,(2) 負二項隨機變量是獨立幾何隨機變量之和.,常用離散分布的數(shù)學(xué)期望,幾何分布Ge(p) 的數(shù)學(xué)期望 = 1/p,0-1 分布的數(shù)學(xué)期望 = p,二項分布 b(n, p)的數(shù)學(xué)期望 = np,泊松分布 P(?) 的數(shù)學(xué)期望

29、 = ?,常用離散分布的方差,0-1 分布的方差 = p(1?p),二項分布 b(n, p)的方差 = np(1?p),泊松分布 P(?) 的方差= ?,幾何分布Ge(p) 的方差 = (1?p)/p2,§2.5 常用連續(xù)分布,正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布、伽瑪分布、貝塔分布。,記為X ~ N(?, ?2),,其中? >0， ? 是任意實數(shù).,? 是位置參數(shù).,? 是尺度參數(shù).,2.5.1 正態(tài)分布,,,,

30、,y,x,O,,μ,正態(tài)分布的性質(zhì),(1) p(x) 關(guān)于? 是對稱的.,p(x),,,,x,0,μ,在? 點 p(x) 取得最大值.,(2) 若? 固定, ? 改變,,(3) 若? 固定, ? 改變,,,σ大,p(x)左右移動,,形狀保持不變.,? 越大曲線越平坦;,? 越小曲線越陡峭.,p(x),,,x,0,x,?x,,,,,,,標(biāo)準正態(tài)分布N(0, 1),密度函數(shù)記為 ?(x),,分布函數(shù)記為 ?(x).,?(x) 的計算

31、,(1) x ? 0 時, 查標(biāo)準正態(tài)分布函數(shù)表.,(2) x < 0時, 用,若 X ~ N(0, 1), 則 (1) P(X ? a) = ?(a); (2) P(X>a) =1??(a); (3) P(a<X<b) = ?(b)??(a); (4) 若a ? 0, 則 P(|X|<a) = P(?a<X&

32、lt;a) = ?(a)??(?a) = ?(a)? [1? ?(a)] = 2?(a)?1,例2.5.1 設(shè) X ~ N(0, 1), 求 P(X>?1.96) , P(|X|<1.96),= 1? ?(?1.96),= 1?(1? ?(1.96)),= 0.975 (查表得),= 2 ?(1.96)?1,= 0.95,=

33、 ?(1.96),解: P(X>?1.96),P(|X|<1.96),= 2 ?0.975?1,設(shè) X ~ N(0, 1), P(X ? b) = 0.9515, P(X ? a) = 0.04947, 求 a, b.,解: ?(b) = 0.9515 >1/2, 所以 b > 0, 反查表得: ?(1.66) = 0.9515, 故 b

34、= 1.66,而 ?(a) = 0.0495 < 1/2,所以 a < 0, ?(?a) = 0.9505, 反查表得: ?(1.65) = 0.9505, 故 a = ? 1.65,,,例2.5.2,一般正態(tài)分布的標(biāo)準化,定理2.5.1 設(shè) X ~ N(?, ? 2),,則 Y ~ N(0, 1).,推論:,若 X ~ N(?, ? 2), 則,若 X ~ N(?, ?2), 則

35、 P(Xa) =,設(shè) X ~ N(10, 4), 求 P(10<X<13), P(|X?10|<2).,解: P(10<X<13) = ?(1.5)??(0),= 0.9332 ? 0.5,P(|X??10|<2) =,P(8<X<12),= 2?(1)?1,= 0.6826,= 0.4332,例2.5.3,設(shè) X ~ N(?, ? 2), P(X ? ?5) =

36、0.045, P(X ? 3) = 0.618, 求 ? 及 ?.,例2.5.4,,? = 1.76? =4,解:,已知 X ~ N(3, 22), 且 P{X>k} = P{X≤k}, 則 k = ( ).,3,課堂練習(xí)(1),設(shè) X ~ N(?, 42), Y ~ N(?, 52), 記 p1 = P{X≤ ? ?4}，p2 = P{Y≥? +5}, 則( )

37、 ① 對任意的 ? ，都有 p1 = p2 ② 對任意的 ? ，都有 p1 p2,①,課堂練習(xí)(2),設(shè) X ~ N(? , ? 2), 則隨? 的增大， 概率 P{| X? ? | <? } ( ) ① 單調(diào)增大 ② 單調(diào)減少 ③ 保持不變 ④ 增減不定,③,課堂練習(xí)(3),正態(tài)分布的 3? 原則,

38、設(shè) X ~ N(?, ?2), 則,P( | X?? | < ? ) = 0.6828.,P( | X?? | < 2? ) = 0.9545.,P( | X?? | < 3? ) = 0.9973.,記為X ~ U(a, b),2.5.2 均勻分布,X ~ U(2, 5). 現(xiàn)在對 X 進行三次獨立觀測，試求至少有兩次觀測值大于 3 的概率.,解：,記 A = { X > 3 },,則 P(A) =

39、P( X> 3) = 2/3,設(shè) Y 表示三次獨立觀測中 A 出現(xiàn)的次數(shù),,則 Y~ b(3, 2/3)，所求概率為,P(Y≥2) =,P(Y=2)+P(Y=3),=20/27,例2.5.5,2.5.3 指數(shù)分布,記為 X ~ Exp(?),,其中? >0.,特別：指數(shù)分布具有無憶性，即：,P( X > s+t | X > s )=P( X > t ),2.5.4 伽瑪分布,記為 X ~ Ga(?, ?

40、),,其中? >0， ? > 0.,為伽瑪函數(shù).,稱,注意點,(1),?(1) = 1, ?(1/2) =,?(n+1) = n!,(2),Ga(1, ?) = Exp(?),Ga(n/2, 1/2) = ?2(n),2.5.5 貝塔分布,記為 X ~ Be(a, b),,其中a >0，b >0.,稱,為貝塔函數(shù).,注意點,(1),(2),B(a, b) =B(b, a),B(a, b) =?(a)?(b)

41、 /?(a+b),(3),Be(1, 1) = U(0, 1),常用連續(xù)分布的數(shù)學(xué)期望,均勻分布 U(a, b) : E(X) = (a+b)/2,指數(shù)分布 Exp(?) : E(X) = 1/?,正態(tài)分布 N(?, ?2) : E(X) = ?,伽瑪分布 Ga(?, ?) : E(X) = ?/?,貝塔分布 Be(a, b) : E(X) = a/(a+b),常用連續(xù)分布的方差,均勻

42、分布 U(a, b) 的方差 = (b ?a)2/12,指數(shù)分布 Exp(?) 的方差= 1/?2,正態(tài)分布 N(?, ?2) 的方差= ?2,例2.5.6 已知隨機變量 X 服從二項分布，且 E(X)= 2.4, Var(X)=1.44, 則參數(shù) n, p 的值為多少？,例2.5.7 設(shè) X 表示 10 次獨立重復(fù)射擊命中目標(biāo) 的次數(shù),每 次射中目標(biāo)的概率為0.4, 則 E(X2)的值為多少？,解：從 2.4= np

43、, 1.44 = np(1?p) 中解得,解：因為 E(X) = np = 4, Var(X)= 2.4, 所以,n=6, p=0.4.,E(X2) = Var(X)+(E(X))2= 2.4+16=18.4,設(shè) E(X)=μ，Var(X)=σ2，則對任意常 數(shù) C， 必有（ ）.,④,課堂練習(xí),§2.6 隨機變量函數(shù)的分布,問題：已知 X 的分布，求 Y = g(X) 的分布。

44、,例如： Y1 = 4X +3； Y2 = |X|； Y3 = ?X2 .,當(dāng) X 為離散隨機變量時， Y = g(X) 為離散隨機變量.,將g(xi) 一一列出, 再將相等的值合并即可.,2.6.1 離散隨機變量函數(shù)的分布,2.6.2 連續(xù)隨機變量函數(shù)的分布,定理2.6.1 設(shè) X ~ pX(x)，y = g(x) 是 x 的嚴格 單調(diào)函數(shù)，記 x = h(y) 為 y = g(x) 的反函數(shù), 且

45、h(y)連續(xù)可導(dǎo)，則Y = g(X)的密度函數(shù)為:,例2.6.1 設(shè) X ~,求 Y =eX 的分布.,y = ex 單調(diào)可導(dǎo),,反函數(shù) x = h(y) = lny,,所以當(dāng) y > 0 時,,由此得,解：,正態(tài)變量的線性不變性,定理2.6.2 設(shè) X ~N (?, ?2)，則當(dāng)a ? 0 時， Y = aX+b ~ N (a? +b, a2?2).,由此得： 若 X ~N (?

46、, ?2)， 則 Y = (X? ?)/? ? N(0, 1).,對數(shù)正態(tài)分布,定理2.6.3 設(shè) X ~N (?, ?2)，則 Y = e X 的服從,伽瑪分布的有用結(jié)論,定理2.6.4 設(shè) X ~ Ga (?, ?)，則當(dāng)k > 0 時， Y = kX ~ Ga (?, ?/k).,均勻分布的有用結(jié)論,定理2.6.5

47、 設(shè) X ~ FX (x)，若FX (x)為嚴格單調(diào)增的連 續(xù)函數(shù)，則Y = FX (X) ~ U(0, 1).,§2.7 分布的其它特征數(shù),矩、變異系數(shù)、分位數(shù)、中位數(shù),2.7.1 k 階原點矩和中心矩,k 階原點矩：?k = E(Xk) ， k = 1, 2, ….,注意: ?1 = E(X).,k 階中心矩：?k = E[X?E(X)]k ， k = 1, 2, ….,注意:

48、?2 = Var(X).,定義2.7.1,2.7.2 變異系數(shù),定義2.7.2,為 X 的變異系數(shù).,作用：,稱,CV 是無量綱的量, 用于比較量綱不同的兩個隨機變量的波動大小.,2.7.3 分位數(shù),P( X ? xp ) = F(xp) = p,定義2.7.3,設(shè) 0 < p < 1，,若 xp 滿足,則稱 xp 為此分布 p - 分位數(shù)，,亦稱 xp 為下側(cè) p - 分位數(shù).,注 意 點,(1) 因為

49、X 小于等于 xp 的可能性為 p ， 所以 X 大于 xp 的可能性為 1? p .,(2) 對離散分布不一定存在 p - 分位數(shù).,(3),上側(cè) p -- 分位數(shù),若記 x’p 為上側(cè) p - 分位數(shù)，即,則,P(X? x’p) = p,2.7.4 中位數(shù),定義2.7.4,稱 p = 0.5 時的p 分位數(shù) x0.5 為中位數(shù).,中位數(shù)與均值,相同點：都是反映隨機變量的位置特征.,不同點：,含義不同.