第二章第四節(jié)連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度

1、一、概率密度的概念與性質(zhì),二、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布,三、小結(jié),連續(xù)型隨機(jī)變量及其概率密度,,,,,一、概率密度的概念與性質(zhì),1.定義,,1,證明,性質(zhì),證明,同時得以下計算公式,注意 對于任意可能值 a ,連續(xù)型隨機(jī)變量取 a 的概率等于零.即,證明,由此可得,連續(xù)型隨機(jī)變量取值落在某一區(qū)間的概率與區(qū)間的開閉無關(guān),若X是連續(xù)型隨機(jī)變量，{ X=a }是不可能事件，則有,若 X 為離散型隨機(jī)變量,,注意,,,連續(xù)型,離

2、散型,解,例1,二、常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布,1. 均勻分布,均勻分布的意義,,,,,,分布函數(shù),,,,解,由題意,R 的概率密度為,故有,例2 設(shè)電阻值 R 是一個隨機(jī)變量，均勻分布在 ~ 1100 ．求 R 的概率密度及 R 落在950 ~ 1050 的概率．,2. 指數(shù)分布,某些元件或設(shè)備的壽命服從指數(shù)分布.例如無線電元件的壽命 、電力設(shè)備的壽命、動物的壽命等都服從指數(shù)分布.,應(yīng)用與

3、背景,分布函數(shù),例3 設(shè)某類日光燈管的使用壽命 X 服從參數(shù)為θ=2000的指數(shù)分布(單位:小時).(1)任取一只這種燈管, 求能正常使用1000小時以上的概率. (2) 有一只這種燈管已經(jīng)正常使用了1000 小時以上,求還能使用1000小時以上的概率.,X 的分布函數(shù)為,解,指數(shù)分布的重要性質(zhì) :“無記憶性”.,3. 正態(tài)分布(或高斯分布),,高斯資料,正態(tài)概率密度函數(shù)的幾何特征,正態(tài)分布的分布函數(shù),正態(tài)分布是最常見最

4、重要的一種分布,例如測量誤差, 人的生理特征尺寸如身高、體重等 ;正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量高度等都近似服從正態(tài)分布.,正態(tài)分布的應(yīng)用與背景,正態(tài)分布下的概率計算,,原函數(shù)不是初等函數(shù),標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率密度表示為,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的分布函數(shù)表示為,標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的圖形,證明,解,例4,例5 證明,證明,(1) 所求概率為,解,例9,,三、小結(jié),2. 常見連續(xù)型隨機(jī)變量的分布,正態(tài)分布有極其廣泛的

5、實際背景, 例如測量誤差, 人的生理特征尺寸如身高、體重等 ,正常情況下生產(chǎn)的產(chǎn)品尺寸:直徑、長度、重量高度,炮彈的彈落點(diǎn)的分布等, 都服從或近似服從正態(tài)分布.可以說,正態(tài)分布是自然界和社會現(xiàn)象中最為常見的一種分布, 一個變量如果受到大量微小的、獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響, 那么這個變量一般是一個正態(tài)隨機(jī)變量.,3. 正態(tài)分布是概率論中最重要的分布,另一方面,有些分布(如二項分布、泊松分布)的極限分布是正態(tài)分布.所以,無論在實