[學習]概論與統(tǒng)計課件第二章隨機變量及分布

1、第二章隨機變量及其分布,引 言,在第一章里，我們研究了隨機事件及其概率，通過隨機事件的概率計算初步了解了如何定量描述和研究隨機現象及其統(tǒng)計規(guī)律的基本方法．然而實際中由一個隨機試驗導出的隨機事件是多種多樣的，因此，想通過隨機事件概率的計算來達到了解隨機現象的規(guī)律性顯得很不方便． 本章，我們將引進概率論中的一個重要概念—隨機變量．使隨機試驗的結果數量化，以便采用高等數學的方法描述、研究隨機現象． 本章我們將主要介紹:

2、 隨機變量的概念 離散型隨機變量及其分布 隨機變量的分布函數 連續(xù)型隨機變量及其概率密度 隨機變量函數的分布,第一節(jié) 隨機變量的概念,隨機變量概念的引入引入隨機變量的意義隨機變量的分類,(1)有些隨機試驗中，試驗結果本身與數值有關（本身就是一個數）.,例如，擲一顆骰子觀察其朝上面出現的點數；,一、隨機變量概念的引入,每次出現的結果與一個數值對應，分別由1,2,3,4,5,6來表示；

3、,(2)在有些試驗中，試驗結果看來與數值無關，但可以指定一個數量來表示它的各種結果.也就是說，可把試驗結果數值化.,例如: 擲硬幣試驗,考察其正面和反面朝上的情況,可規(guī)定: 用1表示“正面朝上”，用0表示“反面朝上”。,結論：不管試驗結果是否與數值有關，我們都可以通過引入某個變量，使試驗結果與數建立了對應關系,這種對應關系在數學上理解為定義了一種實值單值函數.定義域為樣本空間Ω，取值為實數.,ω.,,,X(ω),,R,這即為所謂的

4、隨機變量,隨機變量的定義,定義1.1 設隨機試驗E的樣本空間為Ω，對于任意的ω∈Ω, X= X(ω)是定義在Ω上的單值實值函數，則稱X= X(ω)為一個定義在Ω上的隨機 變量（Random Variable），簡記為X．通常用大寫字母Ｘ,Ｙ,Ｚ或希臘字母 ? ,? 等表示.,（1）X是一個變量, 它的取值隨試驗結果而改變，由于事先不能確定，故有隨機性；,（2）由于試驗結果的出現具有一定的概率，故隨機變量X取每個值和每個確定范圍內的值也

5、有一定的概率.,說明：,(3)隨機變量通常用大寫字母X,Y,Z,W,…或希臘字母 ? ,?等表示,而表示隨機變量所取的值時,一般采用小寫字母 x, y, z, w,…等.,例1 試驗E—電話臺單位時間內收到的用戶呼喚次數。記呼喚次數為 X(k)=k(k=0,1,2, … )，則 X 是一個隨機變量，其所有可能取值為0，1，2，…,( X =i)代表相應的基本事件（樣本點）。,例2 試驗E—某地區(qū)某段時間內的氣溫。則任一時刻的氣溫值X 是

6、一個隨機變量，且其所有可能的取值為[a，b]。（ X=i）即為一基本事件（樣本點）。,例3 試驗E—檢驗產品質量，每次出現的結果雖不和數值對應，我們可以人為的定義一個數值來代表相應的一個基本事件（樣本點），如“1”代表“合格品”，“0”代表“次品”這樣，可引進一個隨機變量 X ，它的取值為0，1。,隨機變量概念的產生是概率論發(fā)展史上的重大事件. 引入隨機變量后，隨機試驗中的各種事件，就可以通過隨機變量的關系式表達出來.對隨機現象統(tǒng)計

7、規(guī)律的研究，就由對事件及事件概率的研究轉化為對隨機變量及其取值規(guī)律的研究.,,事件及事件概率,,隨機變量及其取值規(guī)律,二、引入隨機變量的意義,如：單位時間內某電話交換臺收到的呼叫次數用X表示，它是一個隨機變量.,事件A＝{收到不少于1次呼叫},B＝{沒有收到呼叫},{ X 1},{X= 0},而有 P(A)=P{X≥1},P(B)=P{X=0},再如：E—擲色子，隨機變量X表示朝上面的點數。則：P（X?1）=1/6， P

8、（X?2）=2/6，P（X?5.7）=5/6， P（X?0）=0， P（X?6）=1， P（X?13.3）=1， P（X?-4.12）=0,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,三、隨機變量的分類,按照隨機變量的取值情況可把其分為兩類： 離散型隨機變量：隨機變量X的全部取值只有有限個或無限可列個。如“取到次品的個數”，“收到的呼叫數”等. 非離散型隨機變量：隨機變量X的全部取值不能一一列出。 其中最

9、重要的是續(xù)型隨機變量（隨機變量X的取值連續(xù)地充滿某個區(qū)間或整個數軸），例如，“電視機的壽命”，實際中常遇到的“測量誤差”等.,對于隨機變量，我們主要關心如下兩件事： 1．隨機變量的取值范圍是什么？ 2．它取每個值或在某個范圍內取值的概率是多少？ 關于這個問題，將在下面幾節(jié)中，按離散型隨機變量和連續(xù)性隨機變量分別進行研究.,第二節(jié) 離散型隨機變量及其概率分布,離散型隨機變量定義離散型隨機變量的概率分布

10、幾種常見的離散型隨機變量的概率分布,定義：若隨機變量X的所有可能取值是有限多個或可列無限多個, 則稱X為離散型隨機變量 .,一、離散型隨機變量定義,例如：1、設X表示拋三次硬幣的試驗中出現正 面朝上的次數.,X的可能取值為0，1，2，3.,2、設Y表示120急救電話臺一晝夜收到的呼次數,則Y的可能取值為0,1,2,3,……,X和Y都是離散型隨機變量,若離散型隨機變量X所有可能的取值為 x 1 , x 2 , … , 對應的概

11、率為 p 1 , p 2 , …。即： P (X= x i ) = p i , i = 1, 2, … (1)則稱式 (1) 為隨機變量 X 的概率分布律，簡稱為概率分布或分布律。,定義2.1,概率分布也可用下面的表格形式（概率分布表）表示：,二. 離散型隨機變量的概率分布律,離散型隨機變量的概率分布反映了隨機變量的所有可能取值及其取每個可能值的概率，因此，離散型隨機變量可完全由其分布律來刻劃．

12、,分布律的性質：,(1) pi≥0， i = 1,2,… ； (2),用這兩條性質 判斷一個函數是否是分布律確定未知參數,概率函數的應用I----確定未知常數,,解: 依據分布律的性質,a≥0 ,,從中解得,即,例1,設隨機變量X的分布律為：,k =0,1,2, …,,試確定常數a .,,P37 Ex1 P56 Ex(7),概率函數的應用II----求概率,若離散型隨機變量X的概率分布為：,P (X= x i ) =

13、p i , i = 1, 2, …,例2 設X的分布律為,求 P(0<X≤2),P(0<X≤2)=P（X=1）+P（X=2） =1/2+1/6=2/3,解,即分布律確定概率,表明：事件“X滿足某一條件”的概率就是把滿足條件的xi所對應的概率pi相加。,概率函數的求法：,步驟I.確定隨機變量及其所有可能取值；,步驟II. 確定隨機變量所有可能取值的概率，列表。,例

14、1（課本P32）盒中有3件產品，其中有一件次品。每次從盒中任取一件產品，做不放回抽樣，直到取到次品為止。求取產品件數的概率分布。,解：設取產品件數記為X，則X=1，2，3,P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)=,X的概率分布為：,例2. 社會上發(fā)行的一種福利獎券，每期中獎率皆為0.001，每券售2元。某人每期購買一張獎券，如果沒有中獎下次再繼續(xù)購買1張，直到中獎為止。求該人購買獎券次

15、數X的概率分布。,解：X的取值1，2，3，4，5，…,設Ａi = {第 i 次購買的1張獎券中了獎}，事件{X=k}表示“前 k-1 次未中獎，第 k 次中獎”，則,而每次中獎與否又是相互獨立的，故出現事件{X=k}的概率可利用事件的獨立性求得：,課本P37第3題,例3 兩名籃球隊員輪流投籃，直到某人投中為止。如果第一名隊員投中的概率為0.4，第二名隊員投中的概率為0.6，設兩名隊員命中與否互不影響，求每名隊員投籃次數的概率分布。,

16、解：設X，Y分別表示第一名隊員和第二名隊員的投籃次數，則X=1，2，3，4，5，…; Y=0，1，2，3，4，5，….,事件{X=k}表示：第一名隊員前 k-1 次未投中，第 k 次投中，同時第二名隊員前 k-1 次未投中；或者第一名隊員前k次未投中，第二名隊員前 k-1 次未投中，第 k 次投中.,事件{Y=k}表示：第一名隊員前 k次未投中，同時第二名隊員前 k-1 次未投中,第 k 次投中；或者第一名隊員前k次未投中，第二名隊

17、員前 k次未投中，第一名隊員第 k+1 次投中.則,補例 一批零件中有7個正品，3個次品。安裝機器時從這批零件中任取一個，若取到正品，則停止抽取；若取到次品，則放在一邊繼續(xù)抽取，直到取出正品為止。求在取到正品前所取出的次品數的概率函數。,解：在取到正品前所取出的次品數記為X，則X=0，1，2，3,P(X=0)= P(X=1)= P(X=2)= P(X=3)=,X的概率分布為：,課本P37第2題,

18、2.2 常見離散型隨機變量的概率分布,1、（0-1）分布：（也稱兩點分布）,定義2.2 隨機變量X只可能取0與1兩個值，其分布律為：,或,拋擲硬幣的試驗中，設隨機變量 X 表示一次試驗中正面向上的次數，則X服從“0 - 1”分布。,例：,任何只有兩種結果的隨機現象，都可以用0-1分布來描述。,2. 伯努利試驗和二項分布,伯努里試驗(P33),試驗的獨立性：,所謂兩個試驗E1和E2 獨立，是指試驗E1 的結果的發(fā)生和試驗E2 的結果

19、的發(fā)生互不影響。即試驗E1 的任一事件和試驗E2 的任一事件是互相獨立的。,獨立試驗序列：,多個試驗E1，E2 ，... En , A1 , A2 , …,An 分別是試驗E1，E2 ，... En 的任一事件，若A1 , A2 , …,An是互相獨立的，則稱試驗E1，E2 ，... En 獨立試驗序列。,將一個試驗 E 重復進行 n 次所得的獨立試驗序列 , 稱為一個 n重獨立試驗序列，記為En .,n重獨立試驗：,

20、設試驗E只有兩個可能結果:,則稱這樣的試驗E稱為伯努利(Bernoulli)試驗 .,拋硬幣：“出現正面”，“出現反面”,抽驗產品：“是正品”，“是次品”,例如:,“重復”是指這 n 次試驗中P(A)= p 保持不變.,將伯努利試驗E獨立地重復地進行n次 ,則稱這一串重復的獨立試驗為n重伯努利試驗 .,“獨立”是指各 次試驗的結果互不影響 .,問題：在n重伯努里試驗中，設事件A在一次試驗中發(fā)生的概率為P(A)=p，求事件A出現k次的概率

21、 (0?k?n),結論: 在n重伯努里試驗中事件A出現k次的概率為：,(其中q=1-p，0?k?n),證明:,在 n 重伯努里試驗中，設Ａi = {第 i 次試驗出現事件Ａ}則指定的某 k 次(比如前 k 次)出現事件Ａ的概率可利用事件的獨立性求得：,由于在 n 次試驗中恰有 k次出現事件Ａ共有　 　種情形，故在 n 次試驗中，事件Ａ出現 k次的概率為：,例：隨機地擲一個骰子，連擲６次，求： （1）恰有一次出現“６點”

22、的概率； （2）至多有兩次出現“６點”的概率；,解：設Ａ＝“出現６點”，則：P(A)＝1/6 連擲６次骰子，可以看成６重貝努利試驗，其中：p = 1/6,（1）恰有一次出現“６點”的概率為：,（2）至多有兩次出現“６點”的概率為：,=0.335+0.402+0.201=0.938,P34 例4,P37-38 4-7,2. 二項分布,定義2.3　　若隨機變量X的概率分布為：,k = 0, 1, 2, …

23、, n,則稱X服從參數為n, p的二項分布，記為X ～B(n, p)。其中：0 < p < 1 , p + q = 1 ，,顯然：,當n=1時，上式成為,即為0-1分布，所以0-1分布是二項分布的特例，記為X ～B(1, p)。,在n重貝努里試驗中， 設X表示“事件A出現的次數”， 則,k = 0, 1, 2, … , n,即X ～B(n, p)。,二項分布描述的是n重伯努利試驗中事件 A 出現的次數 X 的分布律

24、.,某人射擊的命中率為0.9，在10次射擊中，求：恰有4次命中的概率； (2) 最多命中8次的概率。（3）至少命中1次的概率。,例,解：設X表示在10次射擊中命中目標的次數，則X ～B(10,0.9 ),(2)最多命中8次的概率：,（3）至少命中1次的概率為,設每臺自動機床在運行過程中需要維修的概率均為0.01，并且各機床是否需要維修相互獨立。如果每名維修工人負責看管20臺機床； (2) 3名維修工人共同看管80臺機床，求不能

25、及時維修的概率。,例,解 (1)設X表示需維修的機床數，則X ～B(20,0.01 ),故不能及時維修的概率為,（2）需維修的機床數X ～B(80,0.01 ),故3名維修工人 共同看管80臺機床時不能及時維修的概率為,Ex7 電燈泡使用時數在1000小時以上的概率是0.2，求三個燈泡在使用1000小時以后最多只有一個壞了的概率.,解: 設X為三個燈泡在使用1000小時已壞的燈泡數 .,X ~ B (3, 0.8)，,把觀察一個燈

26、泡的使用時數看作一次試驗,“使用到1000小時已壞”視為事件A .每次試驗,A 出現的概率為0.8,P{X 1} =P{X=0}+P{X=1},=(0.2)3+3(0.8)(0.2)2,=0.104,二項分布中 X 共有 n + 1 個可能的取值 0, 1, … , n，使P (X = k ) 取最大值的 k稱 為二項分布的最可能值，記作 k 0。把 P (X= k ) 的最大值 P ( X = k 0 ) 稱為二項分布

27、的最大概率。,問題：如何求二項分布的最可能值？,答：由于 P (X = k 0 ) 最大，所以有以下不等式：,解不等式可得：　　　　 ( n + 1 ) p - 1 ? k 0 ? ( n + 1 ) p，,二項分布的最可能值與最大概率,由于k0只能取整數，于是,某工廠每天用水量保持正常的概率為3/4，且每天用水量是 否正常相互獨立。求：(1) 最近６天內用水量正常的天數分布 (2) 在最近６天內至少有５天用水量正常的概率

28、。 （3）最可能正常的天數。,例：,解：(1) 設最近６天內用水量正常的天數為X, X ～B(6,3/4 )。其概率分布為,(2) 最近６天內至少有５天用水量正常的概率為：P (X ≥ 5 ) = P (X= 5 ) + P ( X = 6 ) = 0.3560 + 0.1780 = 0.5340,（3）最可能正常的天數：k0=[(n+1)p]=[21/4]=5,設 N個元素分成兩類，有N1個元素屬于第一類，有N2個元素屬于第二類

29、（N1+N2=N)。從中任取n個，令X表示取出的這n個元素中第一類元素的個數，則 X 的概率分布為：,,稱X服從超幾何分布。,3 超幾何分布,超幾何分布可用來描述不放回抽樣的試驗。,X 服從超幾何分布，其概率函數為：,例：,盒中有 6 個球，其中有 2 個是彩色球?，F從中任取3個球求被選到的彩球數 X 的概率分布。,其概率分布表為：,解：,隨機變量 X 的可能取值為 0, 1, 2。,可以證明，當 N ? ? 時，超幾何分布以二

30、項分布為極限，即X 服從超幾何分布，而N很大，n相對N較小，則X 近似地服從參數為n，p=N1/N的二項分布。,設 X 表示發(fā)芽的種子數，則 X 近似服從二項分布 B(20, 0.9),20 粒種子是從一批種子中任取的(不重復），所以這是 N 很大而n = 20 相對于 N 很小的超幾何分布問題，可用二項分布來近似計算。,一批種子的發(fā)芽率為 90%，從中任取 20粒，求播種后至少有 18 粒種子發(fā)芽的概率。,例：,解：,其中 ?

31、 > 0 為常數，則稱 X 服從參數為 ? 的泊松分布，簡記為X ? P( ? )。,若隨機變量 X的概率分布為：,4 泊松（Poisson）分布,分布律的驗證,⑴ 由于λ>0,,可知對任意的自然數 k，有,⑵ 又由冪級數的展開式，可知,所以,是分布律．,服務臺在某時間段內接待的服務次數X；交換臺在某時間段內接到呼叫的次數Y;礦井在某段時間發(fā)生事故的次數;顯微鏡下相同大小的方格內微生物的數目；單位體積空氣

32、中含有某種微粒的數目,泊松分布的應用:,體積相對小的物質在較大的空間內的稀疏分布，都可以看作泊松分布,其參數 ? 可以由觀測值的平均值求出。,泊松分布的有關計算可查附表1。,例：,某電話交換臺每分鐘收到的用戶呼喚次數X服從參數?=5的普哇松分布，寫出X的概率函數,并求(1)一分鐘內呼喚3次的概率；(2)一分鐘內呼喚至少3次的概率。,解：,X的概率函數為,二項分布的泊松逼近,在實際應用時，當X ~B(n,p)時，若 n 充分大，事

33、件A 在一次試驗中出現的概率 p 充分小， ? = n p大小適中，則事件 A 在 n 次試驗中出現的次數 X可以近似地服從參數為 ? = n p 的泊松分布：,例：,共有5000人參加某類人壽保險，若一年中每個受保人死亡的概率為0.001，試求在未來的一年中至少有兩位受保人死亡的概率。,解 設X表示“5000參保者中一年內死亡的人數”，則X ～B(5000,0.001)， 所求概率為P (X ≥ 2)，,顯然直接用二項分布計

34、算是很麻煩的 .,注意到：n=5000較大，p=0.001較小，而np=5大小適當，所以，近似地X ～P(5) ，于是,在可列重貝努利試驗中，隨機變量X 表示 “事件A 首次發(fā)生所需的試驗次數”， 則 X的概率分布為： P (X = k ) = (1-p)k - 1 p , k = 1, 2, … 則稱 X 服從參數為 p

35、 的幾何分布。,例:,設某批電子管的合格品率為0.75，不合格品率為0.25，現對該批電子管進行有放回地測試，設第X次首次測到合格品，求X的概率函數 。,X的可能取值為：1, 2, … 。事件 (X = k ) 表示“第 k 次才測到合格品”，則：P (X = k ) = 0.25 k - 1 0.75, k = 1, 2, …,解：,5幾何分布,第三節(jié) 隨機變量的分布函數,隨機變量分布函數的定義分布函數的性質

36、分布函數與概率的關系離散型隨機變量分布函數的求法,,定義3.1,? 分布函數的定義,(1)分布函數是一個普通的函數，正是通過它，我們可以用高等數學的工具來研究隨機變量.,(2)只要知道了隨機變量X的分布函數， 它的統(tǒng)計特性就可以得到全面的描述.,注意 :,? 分布函數的性質,2)  F(x)是不減函數，即對x1< x2，有F(x1)≤F(x2)； 這是因為事件{ X ≤x1}包含于{ X ≤x2},3),4

37、) F(x)是右連續(xù)的，且至多有可列個間斷點。即：,1) 定義域：  x ，值域：0≤F(x)≤1;,反之，凡具有上述三條性質的實函數必是某隨機變量的分布函數.,例1：設隨機變量 X 的分布函數為 (?>0), 求常數 a 的值。,? 分布函數與概率間的關系,若已知X的分布函數，能求X落在任一區(qū)間的概率。分布函數完整地描述了隨機變量的概率分布情況。

38、,P(X≤ a)= F( a )， P(X > a)= 1-F( a ) P(a< X ≤ b)= P( X ? b) – P( X ? a) = F( b )- F( a ),P(a ≤X≤ b)= P(a< X≤b)+P(X=a)=F( b )- F( a -o)P(a < X< b)= P(a< X≤ b)- P(X=b)=F( b-o )- F( a )P(a≤ X&l

39、t; b)= P(a< X≤ b)+P(X=a)-P(X=b ) =F( b-o )- F( a -0),設離散型 隨機變量 X 的分布律是,P{ X=xk } = pk , k =1,2,3,…,F(x) = P(X x) =,即F(x) 是 X 取 的諸值 xk 的概率之和.,一般地,則其分布函數,? 離散型隨機變量分布函數的求法,若離散型隨機變量X的概率分布為

40、：,離散型隨機變量的分布函數是階梯形函數，它在X的一切有概率的點xk都有一個跳躍，其跳躍度為 P(X=xk),=,分布函數具體求法：,當 x<0 時，{ X x } = ， 故 F(x) =0,例1,設 隨機變量 X 的分布律為,當 0 x < 1 時， F(x) = P{X x} = P(X=0) =,求 X 的分布函數 F (x) .,當 1

41、x < 2 時， F(x) = P{X=0}+ P{X=1}= + =,當 x 2 時， F(x) = P{X=0} + P{X=1} + P{X=2}= 1,故,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,的分布函數圖,,,例2：隨機變量?的概率分布為：,解：(1)由概率分布知：,求:（1）常數C（2)分布函數F(x） (3)P(-0.2<??2.5);

42、 P(??2.3); P( ??0); P( ?=-3);,0.1+0.26+C+0.3=1,得 C=0.34,(2)分布函數：,0,0.1,0.36,1,F（x）=P(??x)=,0.7,,P(??2.3)=0.1+0.26+0.34=0.7; P( ?=-3)=0 P(??0)=0.26+0.34+0.3=0.9,(3)P(-0.2<??2.5)=P(?=0)+(?=2)=0.6;,第四節(jié) 連續(xù)型隨機變量及其概率密

43、度,連續(xù)型隨機變量及其概率密度的定義概率密度的性質概率密度與概率的關系分布函數的求法三種重要的連續(xù)型隨機變量,則稱 X為連續(xù)型隨機變量, 稱 f (x) 為 X 的概率密度函數，簡稱為概率密度 .,1. 連續(xù)型隨機變量及其概率密度的定義,有,連續(xù)型隨機變量的分布函數在 上連續(xù),2、概率密度 f(x) 的性質：,性質2的幾何意義：曲線y=f(x)與x軸所夾的面積等于1（如圖所示的陰影面積）。,利用概率密度可確定隨機

44、點落在某個范圍內的概率,對于任意實數 x1 , x2 , (x1 < x2 ) ,,幾何意義：,下圖所示的陰影面積。,若 f (x) 在點 x 處連續(xù) , 則有,是連續(xù)函數。,,連續(xù)型隨機變量取任一指定實數值x0 的概率均為0. 即,這是因為,當 時,得到,,,,(2) 對連續(xù)型隨機變量 X , 有,(1)由P(A)=0, 不能推出,上述性質說明：,,3.連續(xù)型隨機變量有關事件的概率計算-

45、----已知密度函數f(x)，求概率P(X∈I),故 X的密度 f(x) 在 x 這一點的值，恰好是X 落在區(qū)間 上的概率與區(qū)間長度 之比的極限. f(x)不是X取值x的概率。但它的大小反映出X在x附近取值的概率分布的密集程度。,若 x 是 f(x) 的連續(xù)點，則,對 f(x)的進一步理解:,由上述討論知：,,解：,（1）,求：(1)常數k (2) p(X ? 2), p(X>1

46、), p(1.5? X<2.5) (3) 分布函數F(x),例(P51Ex1) ：已知隨機變量X 的密度函數,（2）,p(X ? 2)=,p(1.5? X<2.5),p(X>1)=,解：,（3）已求得,分布函數,求：(1)常數k (2) p(X ? 2), p(X>1), p(1.5? X<2.5) (3) 分布函數F(x),例(P51Ex1)：已知隨機變量X 的密度函數,說明： p(X>1)=

47、1-p(X ?1)=1-F(1)=1-3/4=1/4,p(1.5? X<2.5)=F(2.5)-F(1.5)=1-0.9375=0.0625,注：由概率密度f(x)求分布函數 F(x) ，利用 需注意當f (x) 是分段表示時，則要分段求出 F(x) 的表示式，然后合并寫出 F(x) 。,P43例1,連續(xù)型隨機變量有關事件的概率計算------已知分布函數f(x)或F(x)，求概率P(X∈I),,練習(P57Ex12)：已知連

48、續(xù)隨機變量 X 的概率密度為：,求 (1)常數a; (2)P（0<X<π/4)；（3）X 的分布函數 F(x)。,解(1),所以,(3),,例2(P44),設某種型號電子管的壽命X（以小時計）具有以下密度函數：,試求：(1)電子管壽命在50小時到200小時之間的概率； (2)電子管壽命超過500小時的概率。,解(1),例3（P44）：設連續(xù)型隨機變量X的分布函數為,求： (1) 常數A；（2）X的密度函數f(x)；(3

49、) p(0.3<X<0.7),解：,（1）由F(x)的連續(xù)性，得,（2）由密度函數與分布函數之間的關系，得,（3） p(0.3<X<0.7) =F(0.7)- F(0.3)=0.4,或 p(0.3<X<0.7),已知連續(xù)隨機變量 X 的分布函數為：,例(P51Ex5)：,求:(1)常數a，b （2） X 的密度函數 （3）P(0<X<2） 。,解：(1)因F( x)在x = -1， x

50、 = 1點連續(xù)，則,即：a+ｂarcsin(1)=a+?b/2 =1,得：a=1/2 ｂ=1/?,（3）P(0<X<2)=F(2)-F(0) =1-1/2=1/2,即: a+ｂarcsin(-1)=a-?b/2 =0,4、三種常見的連續(xù)型隨機變量,則稱X在區(qū)間( a, b)上服從均勻分布，,X ～ U[a, b],若隨機變量X的概率密度為：,（1）均勻分布,該式說明，隨機變量 X 落入 [a , b] 中任

51、一小區(qū)間的概率與該區(qū)間的長度成正比，而與小區(qū)間在 [a , b] 上的具體位置無關，即它落入區(qū)間[a , b] 中任意等長度的子區(qū)間內的可能性是相同的，這就是均勻分布的概率意義。,例4：課本45頁,解：,設每人的候車時間為?，則?服從[0, 5]上的均勻分布。? 的密度函數為,設某人的候車時間不超過2分鐘的概率為,某公共汽車站從上午7時起,每隔15分鐘來一輛車，若某乘客從7點到7點30分內到達車站是等可能的 ，試求(1)他候車

52、少于5 分鐘的概率；(2)等車超過10分鐘的概率。,設乘客于7點過X分鐘到站,則X服從[0, 30]上的均勻分布。X的密度函數為,（1）等車不超過5分鐘的概率為：,解：,例：,（2）等車超過10分鐘的概率為：,定義4.3：若連續(xù)隨機變量X 的密度函數為,其中 ? > 0 為常數，則稱X服從參數為 ? 的指數分布。,指數分布?？勺鳛楦鞣N“壽命”分布的近似，如電子元件的壽命，動物的壽命，電話問題中的通話時間，隨機服務系統(tǒng)中的服務時

53、間等都常被假定服從指數分布。,其分布函數為,2 指數分布,設某電子元件的使用壽命X服從指數分布，其密度函數為,例：,若一臺儀器中裝有3個這樣的元件，其中一件損壞，整機將停止工作，求該儀器工作1000小時以上的概率。,解：,就一個元件而言，工作到1000小時以上的概率為,由于儀器有三個這樣的元件，各元件壽命相互獨立，再以A表示“該儀器工作1000小時以上”，則有,例：,設X服從參數為?的指數分布，證明：對任意的s >0，t

54、>0有 P (X >s + t| X > s ) = P (X>t ),證,這是指數分布的一個有趣的“無記憶性”或無后效性。即只要X服從指數分布，便有P (X >s + t| X > s ) = P (X>t )，這表明：如果已知壽命長于 s 年，則再活 t 年的概率與年齡 s 無關，故風趣地稱指數分布是“永遠年輕”的分布。,設某日光燈管的使用壽命X服從參數為 ? = 1/2

55、000的指數分布。 (1) 任取一根這種燈管，求能正常使用1000小時以上的概率； (2) 有一根這種燈管，求正常使用了2000小時后，還能使用1000 小時以上的概率。,例：,X的密度函數，分布函數分別為,(1) P(X >1000) =1- P(X ? 1000)=1- F(1000) = e -1000? = e -1/2 ? 0.607,解：,(2),? 0.607,從本例可看出，一根燈管能正常使用1000小時以上的概率

56、為0.607，在使用2000小時后還能使用1000小時以上的概率仍為0.607。驗證了指數分布的 “無記憶性”或無后效性。,3. 正態(tài)分布,1）標準正態(tài)分布定義,定義4.4 若連續(xù)型 隨機變量 X 的概率密度為,則稱 X 服從標準正態(tài)分布，記為 X ~ N(0 , 1)。,?0 (x)的性質(具備P42一般密度函數的性質),(1) ? 0(x) 是連續(xù)、可導的偶函數，即有 ? 0(- x) = ?0 (x)。曲線?0 (

57、x)是關于 縱軸對稱的古鐘型曲線；,(2)在x=0處?0 (x) 取得最大值,(3) ? 0(x) 在（-?，0）內單增，在（0，+?）內遞減。,(4) ? 0(x)在x=1，-1點取得拐點，且以x軸為漸近線。,2） 標準正態(tài)分布的分布函數,? 0(x)的性質：,? 0(- x) = 1- ? 0(x)，特別地，?0 (0) = 0.5,其分布函數為：,?0(x)的幾何意義：曲線? 0(x)與x軸之間在直線t=x左邊圖形的面積,若 X

58、~ N(0,1)，密度函數為,3）?0 (x)與? 0(x) 的計算,標準正態(tài)分布的密度函數? 0(x)和分布函數? 0(x)值查附表二、三。,注: (1)當 0≤x <5時， 直接查表； (2)當x ?5時 ， ? 0(x) ≈ 0，? 0(x)≈1 ； (3)當 -5<x <0時， ? 0(- x) = ?0 (x)，? 0(x)=1-? 0(-x)； (4)當x ?- 5時，

59、 ? 0(x) ≈ 0， ? 0(x) ≈ 0.,例,已知X ~N(0,1)，查表求：（1）? 0(1.65)， ? 0(-1)， ? 0(0.86)， ? 0(6.4) ；（2）? 0(1.65) ，? 0(-1) ，? 0(6.4),解 查表得：（1）? 0(1.65)=0.1023， ? 0(-1)= ? 0(1)= 0.2420， ? 0(0.86)=0.2756， ? 0(6.4) =0；（2）?

60、 0(1.65) =0.95053，? 0(-1) =1-? 0(1) =1-0.8413=0.1587， ? 0(6.4)≈1,------轉化為標準正態(tài)分布的分布函數? 0(x)的求值計算,4）有關標準正態(tài)分布的概率計算,有關? 0(x)的結論：,(1) 對于? (x)，有? (- x) = 1- ? (x) ，?0 (0) = 0.5,(2) P (a<X?b) = P (a?X?b) =P (a?X&

61、lt;b)= P (a<X<b)=? (b) - ? (a),(3) P (X<a) = P (X?a) =? (a),(4) P (X>a) = P (X≥a) =1-? (a),(5) P ( |X| ? x) =? 0(x) - ? 0(-x)= 2?0 (x) - 1 ；,(6) P ( |X| ? x) = P ( X? x) +P ( X? -x)= 2[1-? 0(x)],例：已知X ~N(0,1)

62、，求：(1) P(X <0.68)；(2) P(X ?1.74)；(3) P( | X | ? 1.96)；(4) P( | X | ? 1.84) (5) P(X <5.18)； (6) P(X ?- 8.7)；,解 (1) P(X < 0.68) = P(X ? 0.68) = ?0 (0.68) = 0.7517,(2) P(X ?1.74)=1-P(X <1.74)=1-? 0(1.74)=1-

63、0.9591=0.0409,(3) P( |X| ? 1.96) = P(-1.96?X? 1.96)=?0(1.96)- ?0(-1.96) =2?0(1.96)-1= 2×0.975 - 1= 0.95,(4) P( | X | ? 1.84) = 2[1 - ?0(1.84)] = 0.0658,(5) P(X < 5.18) = ?0 (5.18) 1,(6) P(X?-8.7)=?0(-

64、8.7)=1-?0(8.7) 0,注： 當x ?5時 ? 0(x) 1 ，當x ?- 5時? 0(x) 0，當 0<x <5時查表 當 -5<x <0時? 0(x)=1-? 0(-x),5）標準正態(tài)分布的上 分位點,設,若數 滿足條件,,標準正態(tài)分布的上側? 分位數求法步驟：,例：,解,定義4.6：若連續(xù)隨機變量X 的概率密度為,其中 ? 為常數，? >

65、0 為常數，則稱 X 服從參數為 ? , ? 2 的正態(tài)分布，記為 X ~ N(? , ? 2)。,正態(tài)分布滿足密度函數的兩個性質：,其分布函數為,6）一般正態(tài)分布,例如 X ~ N(1，4） 則? =1, ? =2,圖形如右圖所示，正態(tài)密度曲線呈古鐘形曲線。,(1) ? (x) 在R上連續(xù)、可導；,(2) ? (x) 圖形關于直線 x = ? 對稱。,(3) 在 x = ? 處， ? (x)取得最大值：,(4) ? (

66、x)在x=μ+σ，μ-σ處取得拐點。,(5) ? (x) 以x軸為漸近線。,(6) 參數 ? 決定曲線 ? (x)的位置，參數 ? 決定曲線? (x)的形狀。固定 ? 而改變 ? 值，則曲線左右位置不同但形狀不變，即此時? (x)圖形沿著 x 軸平行移動；固定 ? 而改變 ? 值，則曲線形狀改變而位置不 變。 ? 值越大時曲線越平緩，? 值越小，曲線越陡峭。,一般正態(tài)分布與標準正態(tài)分布的關系,定理4.1：若 X ~ N(? , ? 2

67、)，Y~ N(0 , 1)，它們的密度函數分別記為? (x)和 ? 0(x) ，分布函數分別記為? (x) 和?0 (x) ，則,證：,,定理4.2,證,Y 的分布函數為,此定理說明：標準正態(tài)分布的重要性在于，任何一個一般的正態(tài)分布都可以通過線性變換轉化為標準正態(tài)分布.,------先轉化為一般正態(tài)分布的分布函數? (x)的求值計算，然后再轉化為標準正態(tài)分布的分布函數? 0(x)的求值計算。,有關一般正態(tài)分布的概率計算,若隨機變量 X

68、 ~ N (? , ? 2)，則隨機變量 X 落在區(qū)間 (a , b]內的概率可以轉化成標準正態(tài)分布來計算，即,例：設X~ N (1.5, 4)，求(1)P ( X <3.5); (2)P (1.5< X < 3.5);,(3) P (| X | ≥ 3).,解：μ=1.5，σ=2 ，設Φ(x)為X的分布函數，則,(1) P (X<3.5) =Φ (3.5),(2) P (1.5<X<3.5)=

69、Φ (3.5)-Φ (1.5),(3) P (| X | ≥ 3),=1- P (| X | < 3),=1- P (-3<X <3),=1-Φ (3)+Φ (-3),例：若 X ~N(?, ? 2)，求： P (| X - ? |? ? ) ， P (| X - ? |? 2? ) ， P (| X - ? |? 3? ),解:,P (| X - ? |? ? ) =? (? +?）-? (? -?） =