第二章 隨機變量的分布及數(shù)字特征

1、第二章第二章隨機變量及其數(shù)字特征隨機變量及其數(shù)字特征31第二章第二章隨機變量及其數(shù)字特征隨機變量及其數(shù)字特征一、教學要求一、教學要求1.理解隨機變量的概念，掌握離散型和連續(xù)型隨機變量的描述方法，理解概率分布列和概率密度函數(shù)的概念和性質(zhì)；2.理解分布函數(shù)的概念和性質(zhì)，會利用概率分布計算有關(guān)事件的概率；3.會利用分布函數(shù)計算離散和連續(xù)隨機變量函數(shù)的數(shù)字特征；4.熟練掌握退化分布、兩點分布、二項分布、幾何分布、超幾何分布、泊松分布和正態(tài)分布、

2、指數(shù)分布、均勻分布等常用概率分布及其數(shù)字特征的計算和相關(guān)概率的求解；5.應(yīng)用公式會求簡單隨機變量函數(shù)的概率分布及數(shù)字特征。二、重點與難點二、重點與難點本章的重點是隨機變量概率分布及其性質(zhì)，常見的幾種分布，隨機變量函數(shù)的分布、數(shù)學期望和方差的計算；難點是隨機變量函數(shù)的分布及數(shù)學期望的計算。2.1隨機變量及其分布隨機變量及其分布一、一、隨機變量隨機變量1引入隨機變量的必要性引入隨機變量的必要性1）在隨機現(xiàn)象中，有很大一部分問題與數(shù)值發(fā)生關(guān)系

3、。如：產(chǎn)品檢驗問題中，抽樣中出現(xiàn)的廢品數(shù)；在車間供電問題中某時刻正在工作的車床數(shù)；在電訊中，某段時間的話務(wù)量等等。2）有些初看起來與數(shù)值無關(guān)的隨機現(xiàn)象，也常常能聯(lián)系數(shù)值來描述。如：擲硬幣問題中，記出現(xiàn)正面時為“1”，出現(xiàn)反面時為“0”。注：注：這些例子中，試驗的結(jié)果能用一個數(shù)字X來表示，這個數(shù)X是隨著試驗的結(jié)果的不同而變化的，也即它是樣本點的一個函數(shù)，這種量以后稱為隨機變量隨機變量。2引例引例先看一個具體的例子先看一個具體的例子:例1袋

4、中有3只黑球，2只白球，從中任意取出3只球，觀察取出的3只球中的黑球的個數(shù)我們將3只黑球分別記作1，2，3號，2只白球分別記作4，5號，則該試驗的樣本空間為????????????????????123124125134135145234235245345????????????????，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，我們記取出的黑球數(shù)為X，則X的可能取值為1，2，3因此，X是一個變量但是，X取什么值依賴于試驗結(jié)果，即X的取值帶

5、有隨機性，所以，我們稱X為隨機變量第二章第二章隨機變量及其數(shù)字特征隨機變量及其數(shù)字特征33()()FxPXx??為隨機變量X的分布函數(shù)且稱X服從記為X~.有時也可用表明是X的()Fx()Fx()XFx分布函數(shù).2.例子例子例4向半徑為r的圓內(nèi)隨機拋一點求此點到圓心之距離X的分布函數(shù)并求P(X()Fx).23r解事件“”表示所拋之點落在半徑為的圓內(nèi)，故由幾何概率知Xx?(0)xxr??從而222()()().xxFxPXxrr??????

6、22r225P(X)=1P(X)=1().3339r??3.分布函數(shù)的性質(zhì)分布函數(shù)的性質(zhì)定理：定理：任一分布函數(shù)都有如下三條基本性質(zhì):()Fx（1）單調(diào)性單調(diào)性:是定義在整個實數(shù)軸上的單調(diào)非減函數(shù)，即對任意的，()Fx()????12xx?有；12()()FxFx?（2）規(guī)范性規(guī)范性:=；()F??lim()0xFx????=。()F??lim()1xFx????（3）右連續(xù)性右連續(xù)性:是x的右連續(xù)函數(shù)，即對任意的，有()Fx0x，00

7、lim()()xxFxFx???即。00(0)()FxFx??證明證明略。注（1）上述三條可以作為判斷一個函數(shù)是否為分布函數(shù)的充要條件。（2）有了分布函數(shù)的定義，可以計算：，，()()()PaXbFbFa????()()()PXaFaFa????等。()1()PXbFb????三、離散隨機變量及其分布列三、離散隨機變量及其分布列1離散型隨機變量的概念離散型隨機變量的概念若某個隨機變量的所有可能取值是有限多個或可列無限多個，則稱這個隨機變