隨機(jī)變量的數(shù)值特征

1、1,第三章 假設(shè)檢驗(yàn),§1 假設(shè)檢驗(yàn)問題 §2 正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)§3 正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)§4 p值檢驗(yàn)法§5非參數(shù)檢驗(yàn),2,,由于θ是未知的，上式只是一個(gè)假設(shè)（假想），它可能是真，也可能是假，是真是假，有待于用樣本進(jìn)行驗(yàn)證（檢驗(yàn)）。,參數(shù)的點(diǎn)估計(jì)方法建立了參數(shù)θ的估計(jì)公式，并利用樣本值確定了一個(gè)估計(jì)值，認(rèn)為參數(shù)的真值,3,§1 假設(shè)檢驗(yàn)問題,1 統(tǒng)計(jì)假設(shè)

2、 2 假設(shè)檢驗(yàn)的思想方法3 數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問題的步驟,4,1. 統(tǒng)計(jì)假設(shè),問題 1 一臺(tái)機(jī)器加工某零件,零件尺寸X服從正態(tài)分布N(μ,σ2)其中 σ2反映加工精度，為已知,圖紙標(biāo)定零件尺寸為50（毫米）,如果μ=50則機(jī)器工作正常,否則為不正常,但是μ未知參數(shù).今從機(jī)器生產(chǎn)的一批零件中任取10件,并測(cè)得其尺寸,如何根據(jù)這10個(gè)樣本值判斷“機(jī)器工作是正常的”這個(gè)命題是否成立？,請(qǐng)看以下幾個(gè)問題,若用H0表示”μ=50”,用H1表示其對(duì)立面

3、，即”μ ≠50”,則問題等價(jià)于檢驗(yàn)H0 μ=50是否成立，若H0不成立，則H1 μ ≠50成立.,5,,問題2 某種疾病,不用藥時(shí)其康復(fù)率為θ0,現(xiàn)發(fā)明一種新藥（無不良反應(yīng)),為此抽查n位病人用新藥的治療效果，設(shè)其中有s人康復(fù),根據(jù)這些信息,能否斷定“該新藥有效”？,問題3 有一顆骰子,如何知道它是否均勻？這里均勻的含義是指擲出各點(diǎn)的概率相等.,記 H0 : θ=θ0 , H1 : θ>θ0,記 H0 : p1 = p

4、2 =…= p6=1/6, H1 : p1 p2 … p6 不全相等,其中 pi 是骰子擲出i點(diǎn)的概率,6,,統(tǒng)計(jì)假設(shè):數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)中有待驗(yàn)證的陳述或命題.,假設(shè)檢驗(yàn):利用樣本對(duì)假設(shè)的真假進(jìn)行判斷.,參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn):在總體的概率分布已知情形下，對(duì)分布中的未知參數(shù)作假設(shè)并進(jìn)行檢驗(yàn).,非參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn):若總體的分布未知，對(duì)總體的分布形成或參數(shù)作假設(shè)并進(jìn)行檢驗(yàn).,7,,在假設(shè)檢驗(yàn)問題中，常把一個(gè)被檢驗(yàn)的假設(shè)稱為原假設(shè)或零假設(shè)，而其對(duì)立面就

5、稱為對(duì)立假設(shè).上述各問題中， H0 為原假設(shè)，H1為對(duì)立假設(shè).當(dāng)H0不成立時(shí)，就拒絕接受H0而接受其對(duì)立假設(shè)H1.對(duì)立假設(shè)往往也稱為備選假設(shè),不論是原假設(shè)還是對(duì)立假設(shè)，若其中只含有一個(gè)參數(shù)值，則稱為簡(jiǎn)單假設(shè)，否則稱為復(fù)合假設(shè).,8,2. 假設(shè)檢驗(yàn)的思想方法,小概率原理 概率很小的事件在一次試驗(yàn)中不會(huì)發(fā)生.如果小概率事件在一次試驗(yàn)中竟然發(fā)生了，則事屬反常，定有導(dǎo)致反常的特別原因，有理由懷疑試驗(yàn)的原定條件不成立,概率反證法 欲判斷假設(shè)H0的

6、真假，先假定H0真，在此前提下構(gòu)造一個(gè)能說明問題的小概率事件A.試驗(yàn)取樣，由樣本信息確定A是否發(fā)生，若A發(fā)生，這與小概率原理相違背，說明試驗(yàn)的前定條件H0 不成立，拒絕H0 ，接受H1；若小概率事件A沒有發(fā)生，沒有理由拒絕H0 ，只好接受H0.,9,,反證法的關(guān)鍵是通過推理，得到一個(gè)與常理（定理、公式、原理）相違背的結(jié)論.“概率反證法”依據(jù)的是“小概率原理”.那么多小的概率才算小概率呢？這要由實(shí)際問題的不同需要來決定.以后用符合α記小概

7、率，一般取α=0.1,0.05等.在假設(shè)檢驗(yàn)中，若小概率事件的概率不超過α，則α稱 α為檢驗(yàn)水平或顯著性水平.,10,通常反證法與概率反證法的區(qū)別,假設(shè)命題H0為真,H0為假,某一定理.定律.公理,H0真假待定,假設(shè)命題H0為真,H0為假,小概率原理,H0為真,11,例1 設(shè)總體X～ N( μ, σ2 ), σ=0.06,現(xiàn)從總體中抽取容量為10的樣本，算得樣本均值50.02 ,問總體的均值μ是否等于50？（取=0.05）,解

8、 由問題提出假設(shè) H0 μ =50 , H1 μ ≠50 . 在H0成立的前提下,,統(tǒng)計(jì)量,,,,因此接受假設(shè)H0，即認(rèn)為總體均值μ等于50,說明小概率事件A未發(fā)生,12,,錯(cuò)誤在于：在H0成立的前提下，這樣取小概率事件A不合理.,注:本例中若取小概率事件為,最后的檢驗(yàn)將出現(xiàn)這樣一種傾向: μ越與50接近，越要拒絕H0 μ = 50.這樣的檢驗(yàn)方法顯然不合理.,13,3 數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問題的步驟,總結(jié)上述處理問題的思想與方法，可得

9、檢驗(yàn)參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)問題的步驟如下:,(1)提出假設(shè)：根據(jù)問題的要求，提出原假設(shè)H0與對(duì)立假設(shè)H1，給定顯著水平及樣本容量n.,(2)確定拒絕域：用參數(shù)θ 的無偏估計(jì)來代替θ ,分析拒絕域D的形式，構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量g(x)，在H0成立的前提下確定g(x)的概率分布，通過等式,確定D,(3)執(zhí)行統(tǒng)計(jì)判決：求統(tǒng)計(jì)量的值，并查表求出有關(guān)數(shù)據(jù)，判斷小概率事件是否發(fā)生，由此作出判決.,14,用概率反證法檢驗(yàn)一個(gè)假設(shè)的推理依據(jù)是小概率原理.在一次抽樣中，

10、若小概率事件發(fā)生了，則拒絕原假設(shè)；若小概率事件沒有發(fā)生，拒絕原假設(shè)的理由不充分，因而只好接受原假設(shè).這樣的檢驗(yàn)結(jié)果可能出現(xiàn)以下兩種類型的錯(cuò)誤,4 假設(shè)檢驗(yàn)問題的錯(cuò)誤,15,,一個(gè)優(yōu)良的檢驗(yàn)法，應(yīng)使兩種錯(cuò)誤的概率盡可能小.這兩方面的要示是矛盾的。,16,在區(qū)間估計(jì)問題中，“置信度高”與“估計(jì)精確”是矛盾的，那里，我們采用在保證一定的置信度下使區(qū)間長(zhǎng)度盡可能小的原則.選擇一種優(yōu)良檢驗(yàn)的策略思想與此類似，即先保證棄真的概率不超過指定值，再

11、設(shè)法控制取偽概率.,17,第三章 假設(shè)檢驗(yàn),§1 假設(shè)檢驗(yàn)問題 §2 正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)§3 正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)§4 p值檢驗(yàn)法§5 非參數(shù)檢驗(yàn),18,§2 正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn),1.單正態(tài)總體均值的檢驗(yàn) 2.兩正態(tài)總體均值差的檢驗(yàn),19,1. 單正態(tài)總體均值的檢驗(yàn),設(shè)總體X ~N(?, ?2)，樣本為X1, X2 , ? , Xn,樣本均值,樣本方差

12、,20,雙側(cè)檢驗(yàn) H0: ? = ?0，H1: ? ? ?0,（1）方差?2已知－U檢驗(yàn),小概率事件 |U|>d,在H0 成立的前提下，選檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,拒絕域?yàn)?|u| > u?/2,由 P { |U| > u?/2 } = ?, 得 d = u?/2,此檢驗(yàn)法稱為U檢驗(yàn)法(檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從正態(tài)分布).,,,21,單側(cè)檢驗(yàn) H0: ? = ?0，H1: ? >?0,而應(yīng)取為小概率事件 U>d

13、,在H0 成立的前提下，選檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,拒絕域?yàn)?u > u?,由 P { U > u?/2 } = ?, 得 d = u?,,u?,,小概率事件不能取 |U|>d,同理可給出 H0: ? = ?0，H1: ? >?0 的拒絕域?yàn)閡 <- u?,22,（2）方差?2未知,H0:?=?0，對(duì)立假設(shè)H1: ???0,用S2代替?2 ，即選檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,小概率事件 |T|>d,拒絕域?yàn)?|t| &

14、gt; t?/2 (n-1),由 P { |T| > t?/2 (n-1) } = ?, 得 d = t?/2 (n-1),,,此檢驗(yàn)法稱為T檢驗(yàn)法,23,2.兩正態(tài)總體均值差的檢驗(yàn),X~N(?1,?12),Y~N(?2,?22), X,Y相互獨(dú)立,X的樣本為X1,X2,?,Xn1，Y的樣本為Y1,Y2,?,Yn2,檢驗(yàn)H0:?1-?2=?0， H1:?1-?2??0，(?0為常數(shù)),X, Y的聯(lián)合樣本方差為,24,,,,(1)

15、方差?12 ，?22已知,H0: ?1-?2 = ?0， H1: ?1-?2 ? ?0，(?0為常數(shù)),選統(tǒng)計(jì)量,25,,H0: ?1-?2 = ?0， H1: ?1-?2 ? ?0，(?0為常數(shù)),(2)方差?12 ,?22未知， 但?12 =?22 =?2,選統(tǒng)計(jì)量,其中,小概率事件 |T|>d,拒絕域?yàn)?|t| > t?/2 (n1+ n2- 2),由 P { |T| > t?/2 (n1+ n2- 2) }

16、= ?, 得 d = t?/2 (n1+ n2- 2),26,,,,H0: ?1-?2 = ?0， H1: ?1-?2 ? ?0，(?0為常數(shù)),(3)方差?12 ,?22未知，但n1,n2 都很大,選統(tǒng)計(jì)量,則當(dāng)n1,n2 都很大時(shí),近似地有,27,第三章 假設(shè)檢驗(yàn),§1 假設(shè)檢驗(yàn)問題 §2 正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)§3 正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)§4 p值檢驗(yàn)法§5 非參數(shù)檢

17、驗(yàn),28,§3 正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn),1.單正態(tài)總體方差的檢驗(yàn) 2.兩正態(tài)總體方差比的檢驗(yàn),29,1.單正態(tài)總體方差的檢驗(yàn),原假設(shè)H0:?2=?02，對(duì)立假設(shè)H1: ?2? ?02,小概率事件,由,拒絕域?yàn)?選統(tǒng)計(jì)量,30,2.兩正態(tài)總體方差比的檢驗(yàn),X~N(?1,?12),Y~N(?2,?22), X,Y相互獨(dú)立，?12 / ?22為方差比,H0: ?12 / ?22 =1,即?12=?22 ， H1: ?12? ?

18、22 ，,拒絕域,選統(tǒng)計(jì)量,31,第三章 假設(shè)檢驗(yàn),§1 假設(shè)檢驗(yàn)問題 §2 正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)§3 正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)§4 p值檢驗(yàn)法§5 非參數(shù)檢驗(yàn),32,前面討論的假設(shè)檢驗(yàn)方法稱為臨界值法，此法得到的結(jié)論是簡(jiǎn)單的，在給定的顯著性水平下，不是拒絕原假設(shè)，就是接受原假設(shè)。,但應(yīng)用中可能會(huì)出現(xiàn)這樣的情況：在一個(gè)較大的顯著性水平（如α=0.05）下得到拒絕原假設(shè)的結(jié)論，

19、而在一個(gè)較小的顯著性水平（如α=0.01）下卻得到接受原假設(shè)的結(jié)論. 這種情況在理論上很容易解釋：因?yàn)轱@著性水平變小后會(huì)導(dǎo)致檢驗(yàn)的拒絕域變小，于是原來落在拒絕域內(nèi)的觀測(cè)值就可能落在拒絕域之外（即落入接受域內(nèi)）。,33,,,34,,對(duì)于給定的樣本，即已知的事件，確定了一個(gè)拒絕域，此區(qū)域?qū)?yīng)的α是多少呢？,,此α只與樣本有關(guān)，稱為該檢驗(yàn)對(duì)應(yīng)于這組樣本的p值,n維隨機(jī)樣本落在此虛線圍城的區(qū)域內(nèi)的概率.,35,例1 一支香煙中的尼古丁含量 ，

20、質(zhì)量標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定 不能超過1.5mg，現(xiàn)從某廠生產(chǎn)的香煙中隨機(jī)地抽取20支，測(cè)得平均每支香煙尼古丁含量為1.97 mg，該廠生產(chǎn)的香煙尼古丁含量是否符合標(biāo)準(zhǔn)的規(guī)定？,按題意，需要檢驗(yàn)假設(shè),這是一個(gè)有關(guān)正態(tài)總體下方差已知時(shí)對(duì)總體均值的單邊假設(shè)檢驗(yàn)問題，采用u檢驗(yàn)法得拒絕域?yàn)?36,在以下表中列出了顯著性水平α取不同值時(shí)相應(yīng)的拒絕域和檢驗(yàn)結(jié)論,由已知數(shù)據(jù)可算得,由此可以看出，對(duì)同一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)問題，不同的α可能有不同的檢驗(yàn)結(jié)論,37,假設(shè)檢驗(yàn)依據(jù)

21、的是樣本信息，樣本信息中包含了支持或反對(duì)原假設(shè)的證據(jù)，因此需要我們探求一種定量表述樣本信息中證據(jù)支持或反對(duì)原假設(shè)的強(qiáng)度.,現(xiàn)在我們換一個(gè)角度分析例1,則,注意：u? 是α的減函數(shù),給定α，拒絕域?yàn)?38,當(dāng)α以0.0179為基準(zhǔn)做比較時(shí)，則上述檢驗(yàn)問題的結(jié)論如下表所示,39,一般在一個(gè)假設(shè)檢驗(yàn)中，利用觀測(cè)值能夠做出的拒絕原假設(shè)的最小顯著性水平稱為該檢驗(yàn)的p值. 按p值的定義，對(duì)于任意指定的顯著性水平α，有以下結(jié)論,有了這兩條結(jié)論就能方便

22、地確定H 0的拒絕域. 這種利用p值來檢驗(yàn)假設(shè)的方法稱為p值檢驗(yàn)法,40,p值反映了樣本信息中所包含的接受原假設(shè)H 0的依據(jù)的強(qiáng)度，p值實(shí)際上是我們已經(jīng)觀測(cè)到的一個(gè)小概率事件的概率，顯然，p值越小， H 0越有可能不成立，說明樣本信息中反對(duì) H 0的依據(jù)的強(qiáng)度越強(qiáng)、越充分. 引進(jìn)p值的概念有明顯的好處，一方面，p值比較直觀，它避免了在檢驗(yàn)之前需要主觀地確定顯著性水平；另一方面，p值包含了更多的拒絕域的信息。,一般：p≤0.01，拒絕H

23、 0 ，稱檢驗(yàn)是高度顯著的；0.01 0.1，一般來說，沒有理由拒絕，接受H 0,41,在現(xiàn)代計(jì)算機(jī)統(tǒng)計(jì)軟件中，一般都給出檢驗(yàn)問題的p值. 在科學(xué)研究以及一些產(chǎn)品的數(shù)據(jù)分析報(bào)告中，研究者在講述假設(shè)檢驗(yàn)的結(jié)果時(shí)，往往并不明顯給出檢驗(yàn)的顯著性水平以及臨界值，而是直接引用檢驗(yàn)的p值，利用或者是讓讀者利用它來評(píng)價(jià)已獲得的數(shù)據(jù)反對(duì)原假設(shè)的依據(jù)的強(qiáng)度，從而對(duì)原假設(shè)成立與否做出自己的判斷。,42,第三章 假設(shè)檢驗(yàn),§1 假設(shè)檢驗(yàn)問題

24、§2 正態(tài)總體均值的假設(shè)檢驗(yàn)§3 正態(tài)總體方差的假設(shè)檢驗(yàn)§4 兩種類型的錯(cuò)誤§5 p值檢驗(yàn)法§6 非參數(shù)檢驗(yàn),43,前面有關(guān)章節(jié)討論的參數(shù)檢驗(yàn)都要求總體服從一定的分布，對(duì)總體參數(shù)的檢驗(yàn)是建立在這種分布基礎(chǔ)上的.非參數(shù)檢驗(yàn)是一種與總體分布狀況無關(guān)的檢驗(yàn)方法，它不依賴于總體分布的形式，應(yīng)用時(shí)可以不考慮被研究的對(duì)象為何種分布以及分布是否已知。,實(shí)際應(yīng)用中所遇到的統(tǒng)計(jì)問題往往并不知總體

25、的分布，我們想要根據(jù)一組樣本的信息來推斷總體是否屬于某種理論分布，或者判斷某種現(xiàn)象的出現(xiàn)是否是隨機(jī)的，或者是兩種及兩種以上的現(xiàn)象之間是否有聯(lián)系，及聯(lián)系的緊密程度如何等等。,44,§6 非參數(shù)檢驗(yàn),1 分布擬合檢驗(yàn) 2 列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn),45,1 分布擬合檢驗(yàn),,利用統(tǒng)計(jì)資料做出推斷，常常必須選擇某種已知的概率分布來近似所研究的頻率分布，或者說檢驗(yàn)?zāi)骋粚?shí)際的隨機(jī)變量與某一理論分布之間的差異是否顯著。這樣就可以用來確定某種具體

26、的概率分布究竟是否符合某種理論分布，如二項(xiàng)分布，泊松分布或正態(tài)分布，但是我們需要分析這種近似存在多大程度的誤差。,46,1 ）分布擬合檢驗(yàn)問題,檢驗(yàn) H0: F ( x ) = F *( x ) ，H1: F ( x ) ? F *( x ),設(shè)總體的真實(shí)的分布函數(shù)為F ( x ) ，但它是未知的。需要檢驗(yàn)總體是否與某種已知的理論分布 F *( x )相一致.,非參數(shù)檢驗(yàn)的程序和前面介紹的參數(shù)假設(shè)檢驗(yàn)一樣，首先也建立假設(shè)，然后

27、構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量,分布擬合檢驗(yàn)采用χ2 (卡方) 檢驗(yàn)法 …,47,區(qū)間,2） χ2 檢驗(yàn)法,樣本分組與計(jì)算：取m -1個(gè)實(shí)數(shù)，將數(shù)軸分為m 個(gè)區(qū)間,pk表示服從于已知的分布函數(shù) F *( x )的總體X在每個(gè)區(qū)間 上的取值概率。,概率,記,48,描述了F *( x )與樣本描述的分布之間的差異。,構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：,49,2 列聯(lián)表的獨(dú)立性檢驗(yàn),,統(tǒng)計(jì)上經(jīng)常會(huì)遇到判斷兩個(gè)變量之間是否有聯(lián)系的問題。如果兩個(gè)變量之間沒有聯(lián)系則稱作是獨(dú)立的。

28、如,吸煙與患慢性氣管炎病是否有關(guān)？,色盲與性別是否有關(guān)？,求職中是否存在學(xué)歷歧視？,人們對(duì)一些社會(huì)熱點(diǎn)問題的看法是否隨時(shí)間流逝有所改變？,50,檢驗(yàn) H0: X, Y 獨(dú)立，H1: X, Y 不獨(dú)立,設(shè)X ~ F1( x ), Y ~ F2( y ), （X，Y) ~ F ( x , y ),事件的概率用頻率代替，采用χ2 (卡方) 檢驗(yàn)法 …,若獨(dú)立，則有 F ( x , y ) =F1( x ) F2( y ),但

29、這些概率函數(shù)均未知 …,記 A = X ∈( a , b ], B =Y ∈( c , d ],若 P( AB) = P( A)P(B) 對(duì)任意a , b ，c , d成立，則X, Y 獨(dú)立。,51,例1 隨機(jī)抽取1000人按性別（男，女），色覺（正常，色盲）兩個(gè)屬性分類，得到如下二維列聯(lián)表,性別男女,問色覺是否與性別有關(guān)？,色覺 正常 色盲

30、 535 65 382 18,,,,,,檢驗(yàn) H0: X, Y 獨(dú)立，H1: X, Y 不獨(dú)立,性別 X，X = 1 表示男性， X = 0表示女性；色覺Y ，Y = 1 表示正常， Y = 0表示色盲。,52,將研究對(duì)象的觀察數(shù)據(jù)按兩個(gè)變量X, Y分別進(jìn)行分類。,1) 列聯(lián)表,將nij排成一個(gè)二維表格，按這種方法得到的表稱為

31、列聯(lián)表。,記nij為:X取值屬于i類，Y取值屬于j類的數(shù)據(jù)的個(gè)數(shù),53,,,54,2） χ2 檢驗(yàn)法,描述了X, Y 之間的不獨(dú)立性程度。,構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：,拒絕域,55,例2 為研究?jī)和橇Πl(fā)展與營(yíng)養(yǎng)的關(guān)系，某研究機(jī)構(gòu)調(diào)查了1436名兒童，得到如下數(shù)據(jù),問兒童智力發(fā)展與營(yíng)養(yǎng)是否有關(guān)？（α= 0.05）,56,拒絕域,檢驗(yàn) H0: X, Y 獨(dú)立，H1: X, Y 不獨(dú)立,營(yíng)養(yǎng) X，X = 1 表示良好， X = 0表示不良；