概率論-多維隨機(jī)變量及其分布

1、第三章 多維隨機(jī)變量及其分布,§1 二維隨機(jī)變量,1、二維r.v.定義: 設(shè)E是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn), 樣本空間是S={e},設(shè)X=X(e)和Y=Y(e)是定義在S上的r.v., 由它們構(gòu)成的一個(gè)向量(X, Y), 叫做二維r.v.,注: 二維r.v. (X, Y)的性質(zhì)不僅與X和Y有關(guān), 而且還 依賴于這兩個(gè)r.v.的相互關(guān)系.,如何描述二維r.v.(X, Y)的統(tǒng)計(jì)規(guī)律?,2. 二維r.v.(聯(lián)合)

2、分布函數(shù):,圖2,若將(X, Y)看成平面上隨機(jī)點(diǎn)的坐標(biāo), 則分布函數(shù)F(x,y)的值為(X,Y)落在陰影部分的概率(如圖1),圖1,二維r.v.的分布函數(shù)的基本性質(zhì)與一維r.v.的分布函數(shù)F(x)的性質(zhì)類似:,1、F(x,y)是 x 和 y 的不減函數(shù)。,3、F(x,y)分別關(guān)于x，y右連續(xù)。,3. 下面分別討論二維離散型和連續(xù)型r.v.,(一) 二維離散型r.v.,例1. 設(shè)r.v. X在1, 2, 3, 4四個(gè)整數(shù)中等可能地取值,

3、 r.v. Y則在1~X中等可能地取一整數(shù), 試求(X, Y)的分布律.,,,,二維離散隨機(jī)變量分布律,(二) 二維連續(xù)型r.v.,§2. 邊緣分布,一、邊緣分布函數(shù)：,二、邊緣分布律：,例1(續(xù)),Y 1 2 3 4 p?j 1 1/4 1/8

4、 1/12 1/16 2 0 1/8 1/12 1/16 3 0 0 1/12 1/16 4 0 0 0 1/16 pi?,,,X,,,,1/4,1/4,1

5、/4,1/4,25/48,13/48,7/48,3/48,1,三、邊緣概率密度:,注: 由二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率分布(X,Y)的聯(lián)合分布可唯一地確定X和Y的邊緣分布, 反之, 若已知X,Y的邊緣分布, 并不一定能確定它們的聯(lián)合分布.,§3. 條件分布,一、二維離散型r.v.的情況:,例1. 設(shè)(X, Y)的分布律為: Y 0 1

6、 2 3 0 0.840 0.030 0.020 0.010 1 0.060 0.010 0.008 0.002 2 0.010 0.005

7、 0.004 0.001 求在X=1時(shí)Y的條件分布律.,,,,X,用表格形式表示為: k 0 1 2 P{Y=k|X=1} 6/9 2/9 1/9,,,例2 一射擊手進(jìn)行射擊, 擊中目標(biāo)的概率為 p(0<

8、p<1),射擊到擊中目標(biāo)兩次為止, 設(shè) 以X表示首次擊中目標(biāo)進(jìn)行的射擊次數(shù), 以Y表示總共進(jìn)行的射擊次數(shù),試求X和Y 的聯(lián)合分布律和條件分布律.,二、二維連續(xù)型r.v.的條件分布,首先引入條件分布函數(shù),然后得到條件概率密度.,進(jìn)一步可以化為:,例3. 設(shè)數(shù)X在區(qū)間(0,1)上隨機(jī)地取值, 當(dāng)觀察到 X=x(0<x<1)時(shí), 數(shù)Y在區(qū)間(x, 1)上隨機(jī)地取值, 求Y的概

9、率密度.,§4. 相互獨(dú)立的隨機(jī)變量,由兩個(gè)事件相互獨(dú)立的概念可引出兩個(gè)隨機(jī)變量相互獨(dú)立的概念.,2.等價(jià)定義:,例: 設(shè)X和Y都服從參數(shù)?=1的指數(shù)分布且相互獨(dú)立, 試求P{X+Y≤1}.,3.命題：設(shè)(X, Y)服從二維正態(tài)分布, 則X, Y相互獨(dú)立的充要條件是 ?=0.,5. 一個(gè)重要定理:,設(shè) (X1, X2, …, Xm) 和 (Y1, Y2, … Yn) 相互獨(dú)立, 則 Xi (i=1,2, …,m)

10、 和 Yj ( j=1,2, …,n)相互獨(dú)立,又若h, g 是連續(xù)函數(shù), 則 h(X1, X2, …, Xm) 和 g (Y1, Y2, … Yn) 相互獨(dú)立.,4. 邊緣分布及相互獨(dú)立性的概念可以推廣到 n維r.v.的情況.,§5. 兩個(gè)r.v.的函數(shù)的分布,(一) 和(Z=X+Y)的分布:,已知 X, Y的聯(lián)合密度f(x, y), 求Z=X+Y的分布密度.,結(jié)論: 若X, Y是連續(xù)型r.v.且X與Y相互獨(dú)

11、立,則X+Y 也是連續(xù)型r.v.且它的密度函數(shù)為X與Y的密 度函數(shù)的卷積.,例1. (P86)設(shè)X和Y相互獨(dú)立, 且都服從N(0, 1),求:Z=X+Y的分布密度.,結(jié)論:,(二) 商(Z=X/Y)的分布:,當(dāng)X,Y相互獨(dú)立時(shí),則有,(三) M=max(X,Y)及m=min(X, Y)的分布:,設(shè)X,Y相互獨(dú)立, 分布函數(shù)分別為FX(x)和FY(y). 首先求M=max(X,Y)的分布.,推廣

12、: 設(shè)X1,X2,…,Xn相互獨(dú)立,分布函數(shù)分別為 F1(x), F2(x),…,Fn(x), 則M=max(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù)為 FM(z)=F1(z)· F2(z)…Fn(z) N=min(X1,X2,…,Xn)的分布函數(shù)為 FN(z)=1-(1-F1(z))·(1-F2(z))…(1-Fn(z)),特別地, 當(dāng)X

13、1,X2,…,Xni.i.d.時(shí), 設(shè)分布函數(shù)為F(x),,(四) 用“分布函數(shù)法”導(dǎo)出兩r.v. 密度函數(shù)的要點(diǎn):,參數(shù)為 的瑞利分布,(五) 對(duì)于離散型r.v. 的函數(shù)的分布:,設(shè)X,Y是離散型r.v.且相互獨(dú)立, 其分布律分別為:P{X=i}=pi,i=0,1,2,3,…, P{Y=j}=qj,j=0,1,2,3,…,求Z=X+Y的分布律.,解:,P{Z=i},=P{X+Y=i},于是有:,這就是Z=X+Y的分布

14、律.,例5 設(shè)X,Y是相互獨(dú)立的r.v., 分別服從參數(shù)為?1,?2的泊松分布, 試證明Z=X+Y也服從泊松分布.,證明:,已知,P{Z=i},,,,第三章 習(xí)題課,一. 主要內(nèi)容：,(1) 二維r.v.的分布函數(shù), 離散型r.v.的聯(lián)合 分布, 連續(xù)型r.v.的聯(lián)合概率密度.,(2) 邊緣分布函數(shù);邊緣分布律;邊緣概率密度.,(3) 條件分布律; 條件概率密度.,(4) 隨機(jī)變量的相互獨(dú)立.,(5) 兩個(gè)r.v.函數(shù)

15、的分布.,二. 練習(xí)題:,1.設(shè)某人從1, 2, 3, 4四個(gè)數(shù)中依次取出兩個(gè)數(shù),記X為第一次所取出的數(shù), Y為第二次所取出的數(shù), 若第一次取后不放回, 求X和Y的聯(lián)合分布律.,=P{X=i}P{Y=j|X=i},5. 設(shè)離散型隨機(jī)變量X與Y的分布列分別為X 0 1 2 Y 0 1pk 1/2 3/8 1/8 pk 1/3 2