[教育]陣列信號處理課件第三章空域濾波：原理及算法

1、1,第三章 空域濾波：原理及算法,目的： 介紹空域波束形成的概念，自適應(yīng)控制最優(yōu)準(zhǔn)則及最優(yōu)權(quán)的穩(wěn)態(tài)解，以及最優(yōu)權(quán)的求解算法（梯度算法、遞推算法）。,2,陣列天線的波束形成可以采用模擬方式，也可以采用數(shù)字方式，采用數(shù)字方式在基帶實現(xiàn)濾波的技術(shù)稱為數(shù)字波束形成(DBF)，是空域濾波的主要形式，在通信中也稱之為智能天線。,§3.1波束形成的基本概念,波束形成：用一定形狀的波束來通過有用信號或需要方向的信號，并抑制不

2、需要方向的干擾。,波束形成的分類,數(shù)據(jù)獨立波束形成,最佳波束形成,自適應(yīng)波束形成,,,3,§3.1波束形成的基本概念,1. 陣列信號的表示,空間平面波是四維函數(shù)，,,簡化：窄帶條件：同時刻采集信號，所有陣元上信號的復(fù)包絡(luò)相同，只需考慮相位的變化，而它只依賴于陣列的幾何結(jié)構(gòu)。對于等距線陣，則更簡單，只依賴于與x軸的夾角。如圖3.1,4,如前所述的窄帶信號的空域表示：,若以陣元1為參考點，則各陣元接收信號可寫成：,5,寫成矢量的

3、形式：,稱 為方向矢量或?qū)蚴噶浚⊿teering Vector）。在窄帶條件下，只依賴于陣列的幾何結(jié)構(gòu)（已知）和波的傳播方向（未知）。,6,波束形成（Beamforing）,,我們記： ，稱為方向圖。當(dāng) 對某個方向 的信號同相相加時得 的模值最大。,基本思想：通過將各陣元輸出進行加權(quán)求和，在一時間內(nèi)將天線陣列波束“導(dǎo)向”到一個方向上，對

4、期望信號得到最大輸出功率的導(dǎo)向位置給出了波達方向估計。即輸出可以表示為：,目的是：增強特定方向信號的功率。,7,陣列的方向圖,陣列輸出的絕對值與來波方向之間的關(guān)系稱為天線的方向圖。方向圖一般有兩類：,,靜態(tài)方向圖：陣列輸出的直接相加（不考慮信號及來波方向），其陣列的最大值出現(xiàn)在陣列法線方向（即 ）,帶指向的方向圖：信號的指向是通過控制加權(quán)相位來實現(xiàn)，即常說的相控陣列,8,對于 實際上是空域采樣信號，波束形成實現(xiàn)了對方

5、向角 的選擇，即實現(xiàn)空域濾波。這一點可以對比時域濾波，實現(xiàn)頻率選擇。,,,,等距線陣情況：若要波束形成指向 ，則可取 ，波束形成：,9,則：,上式表示的波束圖有以下特點：,波束成 形狀，其最大值為N。波束主瓣半 功率點寬度為： 。根據(jù) Fourier理論，主瓣寬度正比于天線孔徑的倒數(shù)。,最大副瓣為第一副瓣

6、，且為-13.4dB。這種副瓣 電平對于很多應(yīng)用來說都太大了，為了降低副瓣， 必須采用幅度加權(quán)（又稱為加窗）。,10,天線方向圖，來波方向指向,11,N=8,N=32,,可見隨著陣元數(shù)的增加，波束寬度變窄，分辨力提高，這是因為：,12,波束寬度,在DOA估計中，線陣的測向范圍為 即對于均勻線陣，波束寬度為： 其中D為天線的有效孔徑，可見波束寬度

7、與天線孔徑成反比。,分辨力,目標(biāo)的分辨力是指在多目標(biāo)環(huán)境下雷達能否將兩個或兩個以上鄰近目標(biāo)區(qū)分開來的能力。,波束寬度越窄，陣列的指向性越好，說明陣列的分辨力隨陣元數(shù)增加而變好，故與天線孔徑成反比。,13,14,可見當(dāng)陣元間距 時，會出現(xiàn)柵瓣，導(dǎo)致空間模糊。,15,類似于時域濾波，天線方向圖是最優(yōu)權(quán)的傅立葉變換,按定義的方向圖,,權(quán)向量作FFT的結(jié)果,16,均勻圓陣（UCA）,,,,,,,,,,,,

8、,,,,,,以均勻圓陣的中心為參考,第m個陣元與x軸的夾角記為：,則M元均勻圓陣的導(dǎo)向矢量：,其中,為圓陣的半徑,17,波束指向：,18,§3.2自適應(yīng)波束形成技術(shù),§3.2.1 普通波束形成的優(yōu)缺點,優(yōu)點：是一個匹配濾波器，在主瓣方向信號相干積累，實現(xiàn)簡單，在白噪聲背景下它是最優(yōu)的，在色噪聲背景下，維納濾波是最優(yōu)的。,缺點：波束寬度限制了方向角的分辨。存在旁瓣，強干擾信號可以從旁瓣進入。加窗處理可以降低旁

9、瓣，但同時也會展寬主瓣。,總之，普通波束形成依賴于陣列幾何結(jié)構(gòu)和波達方向角，而與信號環(huán)境無關(guān)，且固定不變，抑制干擾能力差。,19,§3.2.2 自適應(yīng)波束形成,自適應(yīng)波束形成是將維納濾波理論應(yīng)用于空域濾波中，它的權(quán)矢量依賴于信號環(huán)境。,一般框架： 波束形成：,對于平穩(wěn)隨機信號，輸出信號功率為：,定義：陣列信號相關(guān)矩陣，,它包含了陣列信號所有的統(tǒng)計知識（二階）。,20,§3.2.3 最優(yōu)波束形成,最優(yōu)波束形成的一般形式

10、：,,最優(yōu)濾波的準(zhǔn)則：1.SNR（信噪比）最大準(zhǔn)則2.均方誤差最小準(zhǔn)則(MSE)3.線性約束最小方差準(zhǔn)則(LCMV)4.最大似然準(zhǔn)則,,在相同條件下是等價的,21,1.SNR（信噪比）最大準(zhǔn)則,如果信號分量 與噪聲分量 統(tǒng)計無關(guān)，且各自相關(guān)矩陣已知：,其中 為信號功率， 為噪聲功率。,若陣列信號為：,則,輸出功率：,22,則,,SNR（信噪比）最大準(zhǔn)則即,23,,根據(jù)瑞利熵

11、，可看出即是求 的最大特征值問題。,SNR最大準(zhǔn)則的求解方法：,利用瑞利熵：,24,是矩陣對 的最大廣義特征值對應(yīng),即,（廣義特征值分解）,的特征矢量。,25,可見： 是 的最大特征值對應(yīng)的特征向量。,,幾個特例：,單點源信號：,則有：,在高斯白噪聲條件下，,既是高斯白噪聲，又是單點源信號，則：,26,利用要估計單元周圍的單元來估計噪聲協(xié)方差矩陣，即用參考單元估計。,如何應(yīng)用SNR準(zhǔn)則設(shè)計

12、最優(yōu)波束形成器，關(guān)鍵在于能否分別計算信號功率和噪聲功率。,eg:,在僅含噪聲（干擾）數(shù)據(jù)時，可以估計出,從而得到,,當(dāng)既有信號又有噪聲時，,智能天線------擴頻信號,27,最大SNR準(zhǔn)則，來波方向 ，干擾方向,28,均方誤差最小準(zhǔn)則(MSE),應(yīng)用條件：需要一個期望輸出（參考）信號 。,,,令,則目標(biāo)為：,其中 是相關(guān)矢量，,是相關(guān)矩陣。,

13、29,此求解可利用實函數(shù)對復(fù)變量求導(dǎo)法則，得,由公式可看出：應(yīng)用此方法僅需陣列信號與期望輸出信號的互相關(guān)矢量，因此尋找參考信號或與參考信號的互相關(guān)矢量是應(yīng)用該準(zhǔn)則的前提。,MSE準(zhǔn)則的應(yīng)用： 1)自適應(yīng)均衡（通訊） 2) 多通道均衡（雷達） 3)自適應(yīng)天線旁瓣相消（SLC）,30,加在輔助天線的權(quán)矢量獲得好的干擾抑制性能的條件：主天線與輔助天線對干擾信號接收輸出信號相關(guān)性較好。,實例：天線旁瓣相消技

14、術(shù)(ASC), 如圖3.3,輔助天線（增益小，選取與主天線旁瓣電平相當(dāng)，無方向性，因此 幾乎僅為干擾信號）,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,-,主天線,圖3.3,31,干擾方向 ，來波方向,32,3.線性約束最小方差(LCMV)準(zhǔn)則,陣列輸出： ,,方差為： （輸出功率）,導(dǎo)向矢量約束

15、為目標(biāo)信號方向矢量。,求解過程分析：,信號：,則,目的是尋找最優(yōu)的權(quán) 。,33,我們可以固定 ，即信號分量就固定了，然后最小化方差，相當(dāng)于使 的方差最小，所以可得最優(yōu)準(zhǔn)則為：,,,,（1可變?yōu)槿我夥橇愠?shù)）,解得：,如果固定 ，則 。,的取值不影響SNR和方向圖。,34,,注意：本準(zhǔn)則要求波束形成

16、的指向 已知，而不要求參考信號 和信號與干擾的相關(guān)矩陣。,推廣到約束多個方向：一般的線性約束最小方差法為：,解之：,特例：當(dāng) ，即約束單個方向，則,,35,可增加穩(wěn)健性。,注：針對白噪聲， 為單位陣， ，此時自適應(yīng)濾波是無能力的。,實際應(yīng)用：,當(dāng)已知目標(biāo)在 方向，但也可能在 附近，這時可令

17、 ，,結(jié)果可把主瓣展寬。,36,在實際中，陣列天線不可避免地存在各種誤差。文獻 Error analysis of the optimal antenna array processors. IEEE Trans.on AES,1986,22(3):395-409對各種誤差（如陣元響應(yīng)誤差、通道頻率響應(yīng)誤差、陣元位置擾動誤差、互耦等）的影響進行了分析綜述，基本結(jié)論是：對于只利用干擾加噪聲協(xié)方差矩陣求

18、逆的方法，幅相誤差對自適應(yīng)波束形成的影響不大；但是對于利用信號加干擾加噪聲協(xié)方差矩陣求逆的自適應(yīng)方法，當(dāng)信噪比較大時，雖然干擾零點位置變化不大，但是 在信號方向上也可能形成零陷，導(dǎo)致信噪比嚴(yán)重下降。,37,Capon法波束形成，來波方向 ,干擾方向為,38,來波方向為 ，干擾方向為,不同方法估計協(xié)方差矩陣的Capon法波束形成,39,多點約束的波束形成，來波方向為 ， 和,40,§3.2.4三個

19、最優(yōu)準(zhǔn)則的比較,41,,,對比LCMV:,陣列信號,假定已知 且信號 與噪聲 不相關(guān)。,SNR：,42,中含有期望信號分量，而 中不含期望信號分量，僅為噪聲分量。,注意：,由矩陣求逆引理：,所以：,43,,,,上式表明：在精確的方向矢量約束條件和相關(guān)矩陣精確已知條件下，SNR準(zhǔn)則與LCMV準(zhǔn)則等效。上述條件若不滿足，應(yīng)該用 來計算。直接用 求逆計算最優(yōu)權(quán)會導(dǎo)致信號相消。,在最

20、優(yōu)波束形成方法中，降低旁瓣電平的方法是加窗處理。,為加窗矩陣。,44,,,MSE：若已知 與 不相關(guān)，則,由此看出，上述三個準(zhǔn)則在一定條件下是等價的。,45,小結(jié)：,自適應(yīng)波束形成原理如圖3.4,,,,,,,,,,,,1,2,N,,,,,,,,,,,,,,圖3.4,46,實現(xiàn)框圖為圖3.5,,,,,圖3.5,需已知二階統(tǒng)計量,自適應(yīng)波束形成的特點：,矩陣求逆運算量大，有待于尋找快速算法。,已知,47,

21、7;3.3 自適應(yīng)算法,分塊算法（批處理方式）SMI 連續(xù)算法（每次快拍單獨計算）LMS,自適應(yīng)算法,§3.3.1 LMS算法,最小均方(LMS)算法 差分最陡下降(DSD)算法 加速梯度(AG)算法,基于梯度的算法,48,,LMS算法,MSE準(zhǔn)則：波束形成：期望輸出：誤差：,49,,EVD:,LMS思想(wi

22、drow提出)：用瞬態(tài)值代替穩(wěn)態(tài)值.,迭代算法：,LMS算法的優(yōu)點：實現(xiàn)簡單,收斂性本質(zhì)上依賴于 的特征值的分散程度，當(dāng),特征值很接近時，可找到一個 使算法快收斂。,嚴(yán)重缺陷：收斂性太慢。,50,序號,加速收斂性問題：,對角加載技術(shù)：,的特征值一般具有以下結(jié)構(gòu)：(如圖3.7),,,,圖3.7,51,,上式中的第二項為 個大特征值對應(yīng)的特征矢量的線性組合。 是要求自由度，當(dāng) 越大，自適應(yīng)能力越差。,52,對角加載：,易知

23、 的離散程度大于,的離散程度，所以對角加載以后，LMS算法收斂速度加快。,實際實現(xiàn)時是在數(shù)據(jù)域 加入功率一定的白噪聲。注意此過程是在計算權(quán) 時進行，而在波束形成時則不需要。,53,兩個信號加白噪聲產(chǎn)生的數(shù)據(jù)的特征分解,54,來波方向 ，干擾方向,55,§3.3.2 SMI（采樣協(xié)方差矩陣求逆）算法,最優(yōu)波束形成：,應(yīng)不含信號分量，而實際中

24、則是用一批接收數(shù)據(jù) 估計 。,由估計理論：,,此估計是最,即：,SMI算法：,問題是： 取多少合適？SMI算法性能如何?,大似然無偏估計，,56,假設(shè) 獨立且同服從高斯分布，,,代入 得,,分析：,是隨機變量，由此計算的也是隨,機變量。,57,,,是一個隨機變量，其,而,所以歸一化信噪比為：,令,概率密度函數(shù)

25、為,,58,,工程一般要求 ，解得 ，即當(dāng)M大于兩,同樣可以采用對角加載技術(shù)來加速收斂速度。在用理論相關(guān)矩陣 計算時，只有p個大特征值和特征矢量參與計算，而N-p個小特征值和特征矢量對 沒有貢獻，但是用 計算時，所有特征,倍的自由度時性能損失不超過3db。,59,值和特征矢量都參與計算。通過對角加載可以,的貢獻。,減弱N-p個小特征值及其特征矢量對計算,在對角加載情況下，可得當(dāng)

26、 時，性能損失不超過3db。,注意：白噪聲下的自適應(yīng)無意義，因為此時相關(guān)矩陣為單位陣，求逆后仍為單位陣。,60,參考文獻：I.S. Reed.Rapid convergence rate in adaptive arrays. IEEE Trans on AES Vol. AES-10, No. 6 1974,在實際工程應(yīng)用中，估計 時要求是數(shù)據(jù)IID（Independent Identically Distribu

27、tion），有時不可直接獲得。在非均勻樣本情況下，還存在奇異性檢測問題（如STAP）。,61,,幾點說明：,穩(wěn)健的波束形成：是指即使在只有不精確的期望信號的導(dǎo)向矢量可以利用的時候仍能得到良好的輸出信干燥比，而不產(chǎn)生信號相消現(xiàn)象。,研究表明：有限次快拍自適應(yīng)波束形成中，當(dāng)相關(guān)矩陣中含有信號時，即使陣列流形精確已知，也會造成信干燥比下降。,SMI是開環(huán)算法，在陣列數(shù)據(jù)僅含干擾加噪聲時，數(shù)據(jù)服從零均值、復(fù)高斯的IID，則SMI的