力與位移的復(fù)勢表達(dá)

1、力與位移的復(fù)勢表達(dá),1. 復(fù)勢應(yīng)力函數(shù),平面彈性平衡，體力為常量，應(yīng)力函數(shù)U，滿足,引入,(1),可得,(3-1),,,,,,積分兩次,(3-4),(3-5),由(3-1)式，得：,(3-3),,,故,,,,其中f1、f2、f3、f4均表示任意函數(shù)。左邊U是實(shí)函數(shù)，右邊四項(xiàng)一定兩兩共軛，即,,稱之為復(fù)勢應(yīng)力函數(shù)。,2應(yīng)力和位移的復(fù)勢,(2),(3-6),,,,,應(yīng)力復(fù)勢,不計(jì)體力,注意到式(3-4)得,將式(3-6)代入得,由式(3-

2、7),(3-7),(3-8),,,,,,注意到式(3-2)得,設(shè),式(3-8)和(3-9)平面應(yīng)力分量的復(fù)勢形式。,位移復(fù)勢,平面應(yīng)力，由幾何方程與廣義虎克定律,(1),(3-9),(2),(3),,,,將式(1-8)和(1-7)分別代入(2)和(3)式，積分得：,式中f1及f2為任意函數(shù)。將式(5)代入式(4)，用式(1-7)中的第三式及式(1-1)，得,(常數(shù)),積分得剛體位移：,(5),,,,,若不計(jì)剛體位移，由式(5)組合得

3、 （注：強(qiáng)度問題與剛體位移無關(guān)）,將式(1-2)中的第一式及式(1-6)代入式(6)右邊，兩邊除以(1+ν),這就是位移復(fù)勢。,對平面應(yīng)變，,(6),(3-10),,,,,,,,復(fù)應(yīng)力函數(shù)的確定程度(數(shù)學(xué)上完全確定，力學(xué)上看哪些部分不影響應(yīng)力和位移),1 應(yīng)力確定時(shí)，由式(3-8)和(3-9)可知，,設(shè),(1),(2),(1’),(2’),(3),,,,,,,,C為任意實(shí)常數(shù)。積分得,由式(3)有,，比較式(2)與(2'

4、;)可見,積分得,故,(4),(5),(6),(A),,,,2：位移確定時(shí)，則應(yīng)力完全確定，不容許有(A)型以外 代換?？疾?A)型代換如何才不致改變位移。將式(1-10) 進(jìn)行(A)型代換,位移確定，必須,不改變位移只能將,(7),和 中只有一個(gè)為任意常數(shù),設(shè)為 , 由 確定,,,,,復(fù)勢邊界條件,1、應(yīng)力邊界條件,平面應(yīng)力邊界條件,將式(1-7)代入上式得,(B),,,曲線AB為任一段