微分方程的一個(gè)應(yīng)用

1、四川師范大學(xué)數(shù)學(xué)與軟件科學(xué)學(xué)院,常微分方程,趙凌,第一章 基本概念第二章 初等積分法第三章 存在唯一性定理 第四章 奇 解第五章　高階微分方程第六章 線性微分方程組第七章 微分方程的冪級(jí)數(shù)解法(選學(xué)）第八章 定性理論與分支理論初步,常微分方程 目錄,第一章 基本概念,§1.1 微分方程及其解的定義 §1.2 微分方程及其解的幾何解釋,&

2、#167;1.1 微分方程及其解的定義,一、常微分方程與偏微分方程 定義1: 把聯(lián)系自變量、未知函數(shù)及未知函數(shù)導(dǎo)數(shù)（或微分）的關(guān)系式稱為微分方程.,,,例1：下列關(guān)系式都是微分方程,附注1：一個(gè)關(guān)系式要成為微分方程，要求該關(guān)系式中必須含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分，但其中的自變量或未知函數(shù)可以不顯含. 如果一個(gè)關(guān)系式中不顯含未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)或微分，則這樣的關(guān)系式就不能成為微分方程，例如 就不是微分方程

3、. 實(shí)際上，我們在數(shù)學(xué)分析課程中已經(jīng)知道，它是一個(gè)函數(shù)方程.,附注2：如果在一個(gè)微分方程中，自變量的個(gè)數(shù)只有一個(gè)，則這樣的微分方程稱為常微分方程，如上面例1中,就是常微分方程；,如果自變量的個(gè)數(shù)為兩個(gè)或兩個(gè)以上的微分方程稱為偏微分方程，如上面例1中,就是偏微分方程. 本課程主要研究常微分方程. 同時(shí)把常微分方程簡稱為微分方程或方程.,二、微分方程的階 定義2：微分方程中出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)或微分的階數(shù)稱為微分

4、方程的階數(shù).在上面例1中，,是一階微分方程；,是一階微分方程；,是二階微分方程；,是四階微分方程.,線性微分方程:當(dāng)微分方程中所含的未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)全是一次冪時(shí)，微分方程就稱為線性微分方程.,在線性微分方程中，若未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)的系數(shù)全是常數(shù)，則稱這樣的微分方程為常系數(shù)線性微分方程,,微分方程的解：如果將函數(shù),代入微分方程后,能使方程成為恒等式，,這個(gè)函數(shù)就稱為該微分方程的解,微分方程的解有兩種形式：,常微分方程的通解,微分

5、方程的特解,,如果解中包含任意常數(shù)，且獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)與方程的階數(shù)相同，則稱這樣的解為,不含有任意常數(shù)的解，稱為,初始條件：用未知函數(shù)及其各階導(dǎo)數(shù)在某個(gè)特定點(diǎn)的值作為確定通解中任意常數(shù)的條件，稱為初始條件,,解：,,,,,,,由初始條件,代入,由初始條件,代入,則,于是，滿足所給初始條件的特解為,,定義1 （線性相關(guān)，線性無關(guān)）,設(shè)函數(shù),,,是定義在　　區(qū)間內(nèi)的函數(shù)，若存在兩個(gè)不全為零的數(shù),,,使得對(duì)于　　內(nèi)的任一 　恒有,,,則稱

6、函數(shù)　　　　 在　　內(nèi)線性相關(guān)，,否則稱為線性無關(guān)．,,,,,,線性相關(guān)的充分必要條件是 在區(qū)間 內(nèi)恒為常數(shù),若 不恒為常數(shù)，則 線性無關(guān)．,,,,當(dāng) 與 線性無關(guān)，函數(shù) 中,,,含有兩個(gè)獨(dú)立的任意常數(shù) 和,,例1 求平面上過點(diǎn)(1,3)且每點(diǎn)切線斜率為橫坐標(biāo)2倍的曲線方程.,解: 設(shè)所求的曲線方程為,由導(dǎo)數(shù)的幾何意義, 應(yīng)有,即,又由條件: 曲線過(1,3),

7、 即,于是得,故所求的曲線方程為:,例2 物理冷卻過程的數(shù)學(xué)模型,將某物體放置于空氣中, 在時(shí)刻,時(shí), 測得它的溫度為,10分鐘后測量得溫度為 試決定此物,體的溫度 和時(shí)間 的關(guān)系,并計(jì)算20分鐘后物體的溫度. 這 里假設(shè)空氣的溫度保持在,解: Newton 冷卻定律: 1. 熱量總是從溫度高的物體向溫度低的物體傳導(dǎo); 2. 在一

8、定的溫度范圍內(nèi),一個(gè)物體的溫度變化速度與這一物體的溫度與其所在的介質(zhì)的溫度之差成正比.,設(shè)物體在時(shí)刻 的溫度為 根據(jù)導(dǎo)數(shù)的物理意義, 則 溫度的變化速度為 由Newton冷卻定律, 得到,其中 為比例系數(shù). 此數(shù)學(xué)關(guān)系式就是物體冷卻過程的數(shù)學(xué)模型.,注意:此式子并不是直接給出 和 之間的函數(shù)關(guān)系,而只是給出了未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與未知函數(shù)之間的關(guān)系式.如何由

9、此式子求得 與 之間的關(guān)系式, 以后再介紹.,例3 R-L-C電路,,,,,,如圖所示的R-L-C電路. 它包含電感L,電阻R,電容C及電源e(t). 設(shè)L,R,C均為常數(shù),e(t)是時(shí)間t的已知函數(shù).試求當(dāng)開關(guān)K合上后,電路中電流強(qiáng)度I與時(shí)間t之間的關(guān)系.,解: 電路的Kirchhoff第二定律: 在閉合回路中,所有支路上的電壓的代數(shù)和為零.,設(shè)當(dāng)開關(guān)K合上后, 電路中在時(shí)刻t的電流強(qiáng)度為

10、I(t), 則電流 經(jīng)過電感L, 電阻R和電容的電壓降分別為 其中Q為電量,于是由Kirchhoff第二定律, 得到,因?yàn)?于是得到,這就是電流強(qiáng)度I與時(shí)間t所滿足的數(shù)學(xué)關(guān)系式.,例4 數(shù)學(xué)擺（單擺）,數(shù)學(xué)擺是系于一根長度為 的線上而質(zhì)量為 的質(zhì)點(diǎn)M. 在重力作用下,它在垂直于地面的平面上沿圓周運(yùn)動(dòng).如圖所示.試確定擺的運(yùn)動(dòng)方程.,解

11、: Newton第二定律:,取反時(shí)針運(yùn)動(dòng)方向?yàn)橛?jì)量擺與鉛垂線所成的角 的正方向. 則由Newton第二定律, 得到擺的運(yùn)動(dòng)方程為,附注1: 如果研究擺的微小振動(dòng),即當(dāng) 比較小時(shí), 可以取 的近似值 代入上式,這樣就得到微小振動(dòng)時(shí)擺的運(yùn)動(dòng)方程:,附注2: 假設(shè)擺是在一個(gè)有粘性的介質(zhì)中作擺動(dòng), 如果阻力系數(shù)為 則擺的運(yùn)動(dòng)方程為:,附注3: 假設(shè)擺還沿著擺的運(yùn)動(dòng)方向受到一個(gè)外力F(t)的作用,則

12、擺的運(yùn)動(dòng)方程為:,§1.2 微分方程及其解的幾何解釋,第二章 初等積分法,§2.1 恰當(dāng)方程,§2.2 變量分離方程,,一、 可分離變量的微分方程,可用分離變量法解的一階方程的一般形式,(1),一階微分方程的正規(guī)形式：,分離變量：,兩邊同時(shí)關(guān)于 x 求不定積分：,寫出通解：(結(jié)果含有一個(gè)任意常數(shù)),是方程的解，不可遺漏，見以下分析。,需要注意 的零點(diǎn) 有

13、可能,解,解方程,?,?,即,?,是原方程的通解。,分離變量 ?,例1,?,例2 求微分方程 的通解.,解 分離變量,兩邊積分得,又可寫為,故方程的通解為:,取指數(shù),例3,求解定解問題：,,解 先求通解,兩邊同時(shí)積分得 ?,或,分離變量,進(jìn)一步 ?,進(jìn)一步化簡得通解 ?,或,則,記,再求特解，為此在通解中令,于是所求定解問題的特解為:,例4 求解,解 先求通解，,分離變量,兩邊同時(shí)積分,而得到對(duì)應(yīng)初始條件的特解

14、：,由條件,即,例8 求,例5 求微分方程,的通解.,例6 求滿足方程,且過點(diǎn)（1，2）的積分曲線.,例7 求微分方程,的通解.,的通解.,例9 求,對(duì)任何正數(shù)x, y 都成立，又f (1)=3, 求 f (x) .,例12 設(shè)函數(shù) f (x) 在正實(shí)軸上連續(xù)，且等式,求u (x, y), 使得,例11 若f (x ) 二階連續(xù)可微，,例10 求,的特解.,滿足y (1) =0,§2.3 一階線性微

15、分方程,,1. 標(biāo)準(zhǔn)一階線性方程,一般形式,用分離變量法，求齊次方程(2)的通解；,用常數(shù)變易法法，求非齊次方程(1)的,的一個(gè)特解,(其實(shí)同時(shí)能得出(1)的通解).,,,,比較,常數(shù)變易法,——以上說明，為求得(1),的一個(gè)解，只要把齊次方程 (2) 通解中的常數(shù) C 變?yōu)?C(x) , 再將其代回原非齊次方程(1), 若C(x)可定出, 問題就解決了.,,,,齊次方程(2)的通解,,非齊次方程(1)的對(duì)應(yīng)C = 0的特解,最

16、后寫出非齊次方程(1)的通解為,或,,,例1 解方程,解,,記 , 并允許 C 取零而包含特解,解 先求對(duì)應(yīng)齊次方程 的通解。,例2 求初值問題,再根據(jù)初條件求特解, 將 代入通解,得原方程的通解為：,例3 求解方程,解 此方程的正規(guī)形式是：,它是非線性的，又不能分離變量，現(xiàn)將方程改寫為：,于是得原方程特解：,這已是以 x 為未知函數(shù)的

17、、標(biāo)準(zhǔn)的一階線性非齊次方程, 先求得 ‘齊次’ 通解，,進(jìn)而化成,原方程的通解,§2.4 初等變換法,一、齊次方程二、伯努力方程三、里卡蒂方程,,一: 齊次方程,形如,稱為齊次方程,通解,代入x = 1, y = 2，得 C= -1,于是積分曲線是,兩邊積分得,解 設(shè)u= xy, 則 du = yd x + xd y,于是,且過點(diǎn)（1，2）的積分曲線.,例 １ 求滿足方程,,例 ２ 求微分方程,積分得,即原方

18、程化為,解 設(shè),的通解.,,,例 ３ 求,積分得,解 原方程化為,的通解,,,例 ４ 求,解 原方程化為,滿足y (1) =0的特解.,,,可化為齊次方程,,即,,這已經(jīng)是可分離變量的方程了。,則,例7,解 先解,(*),于是方程 (*) 進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為,,分離變量:,兩邊同時(shí)積分得:,二. Bernoulli 方程,一般形式,先化成標(biāo)準(zhǔn)一階線性方程,(*),由(*)得：,解上述一階線性方程，設(shè)其通解為,,例1 解方程

19、,解,將方程改寫為,因此，原方程的通解為：,§2.5 積分因子法,例 １ 求,解 設(shè),的通解.,,,例２ 若f (x ) 二階連續(xù)可微，,解 這里,求u (x, y), 使得,,,例３ 設(shè)函數(shù) f (x) 在正實(shí)軸上連續(xù)，且等式,解 固定 x , 對(duì) y 求導(dǎo)，,對(duì)任何正數(shù)x, y 都成立，又f (1)=3, 求 f (x) .,,,兩邊再對(duì)x求導(dǎo),整理得,令,例４ 求微分方程,解 將方程改寫為,的通

20、解.,,,例 ５ 求方程,x 卻是線性的，把方程化為,解 該方程關(guān)于 y 為未知數(shù)是非線性的，但是關(guān)于,的滿足條件y (0)=1的特解.,,,例６ 求方程,解 這是n = 6 的伯努利方程，代入公式得,的通解.,,,例 ７ 求,解 把方程改寫成,的特解,,,即,這是關(guān)于n = - 3的伯努利方程,例８ 若y =ex是方程,這是一個(gè)一元線性非齊次方程 ，于是,于是有,程有,解 首先，求出未知函數(shù)p (x),把y = ex

21、 代入原方,求滿足 y (ln2)=0 的特解.,,,的一個(gè)解，,例９ 若,解 設(shè) ux=t ,則,當(dāng) u = 0, t = 0;當(dāng)u = 1, t = x.,,,例 １０ 設(shè) f ( x) 在[0，+∞ ）上連續(xù)，且,解 方程,的解為,證明方程,,,例 １１ 若曲線過點(diǎn)N(1,1), 曲線上任意一點(diǎn)P(x,y)處 的切線與 Oy 軸交于Q, 經(jīng)PQ為直徑做的圓過A(1,0) ，求此曲線方程.,解 過點(diǎn)P(x,y)的

22、切線方程為,由于MQ = MA, 則,線段PQ的中點(diǎn)M,令 x =0, 則點(diǎn)Q (0, y – xy? ),,整理得,這是 n = -1的伯努力方程，解之得,考慮到 y (1) = 1,則 C = 0，于是所求曲線為,,,例 １２ 解方程,解,,,例 13 解方程,解 設(shè),積分得,再積分得原方程的通解為,則原方程可化為,,,例 14 解方程,解 由于,設(shè),則,其特征根是1，-1，所以,,,例 15 求方程,解,代入原方程得

23、,解這個(gè)微分方程，得其通解為,的通解.,,,例 16 求微分方程,適合條件,的特解.,解 設(shè),則原方程化為,解之,由于,積分兩次有,,例 17 求方程,解 設(shè),原方程可化為,,,當(dāng)p = 0時(shí)，y = C是方程的解，當(dāng)p ? 0時(shí)，有,積分得,例 18 若一曲線上各點(diǎn)的曲率與該點(diǎn)縱坐標(biāo)的平方成反比,比例系數(shù)為 a , 且曲線經(jīng)過點(diǎn)(0, a), 并在(0, a)處的切線平行于Ox 軸,求曲線方程.,解 依題意有,設(shè),分離變量，

24、解之得,由,由于 y(0)=a,,于是原方程的通解為,,,例 19 設(shè)物體 A 從點(diǎn)(0,1)出發(fā)以常速度 v 沿 y 軸正向運(yùn)動(dòng),物體B以常速度 2v 從 點(diǎn) (-1,0) 與A同時(shí)出發(fā),方向始終指向A .試建立物體 B運(yùn)動(dòng)軌跡所滿足的微分方程.,解 在時(shí)刻 t, 物體B位于P(x,y), Q(0,vt+1),,過 P(x,y)的切線方程是,代入點(diǎn)Q(0,vt+1),有,由弧長公式,所求方程為：,,,例 20 求方程,解

25、 特征方程,原方程的通解,代入初始條件，解得 C = 1, D = -1.,于是原方程的特解為,,,例 21 求方程,解 不難求出特征根為1，6，對(duì)應(yīng)的齊次方程的,可以判斷出其特解為,代入初始條件解得,通解為,,,例 22 解方程,解 不難求出方程的特征根為2，2.,方程,的特解,方程,的特解,方程,的特解,原方程的特解,代入初始條件，并解方程組，求得,,,解,由于,是原方程的解，故,例23 設(shè)y1 = φ(x

26、)是方程,的一個(gè)解,若,求出此方程的另一個(gè)與 y1線性,無關(guān)的解,并寫出所給方程的通解.,令,原方程的通解為,,,例 24 設(shè) y (x) 是 x的連續(xù)可微函數(shù),且滿足,解 兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得到,整理即,再求導(dǎo)，并整理得到微分方程,解之得,即,,,例 25 若可微函數(shù)f (x) 滿足方程,解 由所給方程可知 f (1)=1,兩邊對(duì) x 求導(dǎo), 得,記 y =f (x), 則上述方程化為,這是關(guān)于 n = 3 的伯努力方

27、程.,則,整理即,,,例 27 設(shè)函數(shù)f (x) 滿足 xf ?(x) – 3 xf (x) = – 6x2求由曲線y=f (x), x=1與x軸所圍成的平面圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)體的體積最小.,解 原方程可化為,旋轉(zhuǎn)體的體積為,令,又,所以V(C )在此唯一駐點(diǎn)處取最小值，所求函數(shù)為,,,例 28 若f (x) 可微,,解 令 y = 0, 則,對(duì)任何x, y, 有,解方程,得通解,代入條件 f (0) = 0

28、 , 則 C = 0 , 所以,,,§2.6 應(yīng)用舉例,解,常數(shù),求其運(yùn)動(dòng)方程.,解,故由牛頓第二定律得質(zhì)點(diǎn)滿足的方程為,或,通過積分容易得出,第三章 存在唯一性定理,第一節(jié) 畢卡存在和唯一性定理第二節(jié) 皮亞諾存在定理第三節(jié) 解的延伸第四節(jié) 比較定理及應(yīng)用,第四章 奇 解,,§ 4.1 一階隱式微分方程§ 4.2 奇解§ 4.3 包絡(luò),§ 4.1

29、克萊羅（Clairaut）方程,定義5：,形如,的方程，,稱為克萊羅（Clairaut）方程.,其中,是,的已知連續(xù)可微函數(shù).,這是就y已解出的一階微分方程.,為求它的解,,令,得,兩邊對(duì)x求導(dǎo),,并以,代入,,即得,經(jīng)化簡,,得,如果,則得到,于是, Clairaut方程的通解為:,如果,它與等式,聯(lián)立,,則得到Clairaut方程的以p為參數(shù)的一個(gè)解:,如果令,則,或,其中c為參數(shù).,因此, 求得此解的過程正好與從通解中求包絡(luò)的手續(xù)

30、一樣.,并且可以證明, 此參數(shù)曲線恰為通解的包絡(luò),結(jié)果:,Clairaut方程,的通解,是一直線族,,此直線族的包絡(luò),或,是Clairaut方程的奇積分曲線, 所對(duì)應(yīng)的解是奇解.,例7:,求解方程,解:,這是Clairaut方程,,因而它有通解:,其中,因?yàn)?所以,從,中消去參數(shù)c,,得到原方程的奇解:,故, 此方程的通解是直線族:,而奇解是通解的包絡(luò):,如圖:,,,x,y,O,,,,,,,例8:,求一曲線,使在其上每一點(diǎn)的切線截割坐標(biāo)

31、軸而成的直角三角形的面積都等于2.,,,x,y,o,,,A(a,0),B(0,b),設(shè)所求的曲線的切線方程為,按條件, 有,而,消去a,b 得到,或,這是Clairaut方程,,其通解為,其中,為任意常數(shù).,顯然, 此直線族中的每一條直線截割,坐標(biāo)軸而成的直角三角形的面積都等于2.,為求此曲線族的包絡(luò),,即微分方程的奇解,,從,中消去參數(shù)c,,得到微分方程的奇解,直接檢驗(yàn)可知曲線,就是要求的曲線.,§ 4.2 奇解

32、,定義3：,對(duì)于一階微分方程 F（x,y,y’）=0. 如果存在一條曲線,滿足下列條件：,(1),為方程的一條積分曲線;,(2),上每點(diǎn)處至少還有另外一條積分曲線經(jīng)過,且兩者在該,點(diǎn)相切.,則稱曲線,(即積分曲線),為方程F(x,y,y’)=0 的一條奇積分,曲線, 所對(duì)應(yīng)的解稱為奇解.,注:,方程F(x,y,y’)=0 的奇解是這樣的一個(gè)解,使的在它上面的每一點(diǎn)處,存在唯一性不成立.,問題:,給定一個(gè)具體的微分方程F(x,y,y’)

33、=0, 如何求它的奇解呢?,結(jié)果:,對(duì)于一階微分方程F(x,y,y’)=0,,設(shè),是它的通解.,如果積分曲線族,的包絡(luò),存在,,則包絡(luò),就是方程F(x,y,y’)=0的一條奇積分曲線,,即,所對(duì)應(yīng)的解就是方程F(x,y,y’)=0的奇解.,例4:,求微分方程,的奇解.,解:,令,求得它的通解為:,令,消去參數(shù)c,,得到,和,經(jīng)檢驗(yàn):,不是,的包絡(luò),,從而,不是方程的奇解,(實(shí)際上,不是方程的解);,是,的包絡(luò),,從而,是方程,的奇解.,

34、問題:,能否不通過求方程F(x,y,y’)=0的通解,,而由方程,F(x,y,y’)=0本身求的奇解呢?,由隱方程的存在唯一性定理(p76):,對(duì)于,如果,但,則初值問題:,在,(h為足夠小的正數(shù)),上存在唯一解.,因此,方程F(x,y,y’)=的奇解,如果存在的話,必含在從方程組:,消去參數(shù)p而得到的曲線,中.,定義4:,對(duì)于微分方程F(x,y,y’)=0,,從方程組:,消去參數(shù)p而得到的曲線,稱為方程F(x,y,y’)=0,的p-判

35、別曲線.,定理2:,設(shè)F(x,y,p)及其各一階偏導(dǎo)數(shù)是(x,y,p)的連續(xù)函數(shù).,若微分方程F(x,y,y’)=0有奇積分曲線, 則它必含在F(x,y,y’)=0的,附注:,p-判別曲線,中.,從方程F(x,y,y’)=0中分解出來的一支或數(shù)支曲線是否為,方程F(x,y,y’)=0的奇積分曲線, 即奇解, 需要作進(jìn)一步驗(yàn)證:,該支曲線是方程F(x,y,y’)=0的積分曲線; (2) 該

36、曲線上任一點(diǎn)處至少還有F(x,y,y’)=0的另外一條積分曲線經(jīng)過,且兩者在該點(diǎn)相切. 如果(1)不成立,則該支曲線根本就不是積分曲線;如果(1)成立, 而(2)不成立,則該支曲線僅是一般的積分曲線,不是奇積分曲線

37、只有當(dāng)(1)和(2)同時(shí)成立時(shí),該支曲線才是奇積分曲線,即奇解.,進(jìn)一步,可以證明:,定理2*:,奇解必須同時(shí)適合方程組:,并且只有當(dāng)上述三個(gè)方程之一,比如,是其它兩個(gè)方程的結(jié)果時(shí),奇解才有可能存在.,例5:,求微分方程,的奇解.,解:,令,消去p(實(shí)際上p=0), 得到p-判別曲線,即,可以證明,,和,是方程,的奇解.,例6:,求微分方程,的奇解.,解:,令,消去p: 得到p-判別曲線:,即,和,經(jīng)驗(yàn)證:,是方程的奇解;,而,不是

38、方程的奇解,實(shí)際上,它不是方程的解.,,,x,y,O,,,,,,,,§ 4.3 包絡(luò),定義1：對(duì)于給定的一個(gè)單參數(shù)曲線族：,其中,為參數(shù).,若存在一條曲線,滿足下列條件:,(1),(2) 對(duì)任意的,存在唯一的,使得,且,與,在,有相同的切線.,則稱,為曲線族,的一條包絡(luò)線,,簡稱為包絡(luò).,例如，,單參數(shù)曲線族：,（其中R是常數(shù)，c是參數(shù)）表示圓心為（c,0）而半徑等于R的一族圓. 如圖,,,,,,,,,,

39、R,從圖形可見,此曲線族有包絡(luò):,y=R 和 y= -R .,但是,并不是每個(gè)曲線族都有包絡(luò).,例如: 單參數(shù)曲線族:,(其中c為參數(shù))表示一族同心圓.,如圖,,,,,,從圖形可見, 此曲線族沒有包絡(luò).,問題:對(duì)于給定的單參數(shù)曲線族:,,其中,為參數(shù).,如何判斷它是否有包絡(luò)?,如果有包絡(luò), 如何求?,根據(jù)定義, 假設(shè)該單參數(shù)曲線族有包絡(luò),則對(duì)任意的,存在唯一的,使得,于是得到對(duì)應(yīng)關(guān)系:,從而得到二元函數(shù),使得,若,可用參數(shù)形式表示為

40、:,記,則,于是,,任取一個(gè)固定點(diǎn)M, 則M在某一條曲線,上.,由于,與,現(xiàn)在在M點(diǎn)有相同的切線,,因?yàn)?與,在M點(diǎn)的切線的斜率,分別為,與,所以, 有,從而,由于在,上不同的點(diǎn)也在不同的,上,,即,因此,因此, 包絡(luò)線,任意一點(diǎn)M不僅要滿足,而且還要滿足,定義2:,把聯(lián)立方程組:,中消去參數(shù)c得到的方程F(x,y)=0所表示的曲線,稱為曲線族,的c-判別曲線,定理1(包絡(luò)的必要條件):,設(shè),及其各一階偏導(dǎo)數(shù)是,(x,y,c)的連續(xù)函

41、數(shù),,且,有連續(xù)光滑的包絡(luò),,則包絡(luò)必位于,的c-判別曲線中.,注:,的包絡(luò)是c-判別曲線,,但c-判別曲線未必是包絡(luò).,因此從c-判別曲線分解出來的一支或數(shù)支曲線是否為,的包絡(luò),,尚需按定義作進(jìn)一步的驗(yàn)證.,例1:,的包絡(luò).,解:,記,則,消去參數(shù)c, 得,于是,和,是兩支c-判別曲線.,經(jīng)驗(yàn)證,,和,是,的包絡(luò).,例2:,求直線族:,的包絡(luò).,這里,是參數(shù),,是常數(shù).,解:,記,則,消去參數(shù),得,的c-判別曲線:,經(jīng)驗(yàn)證,是曲線族,

42、的包絡(luò).,如圖:,,,,,,,,,,O,x,y,,例3:,求曲線族,的包絡(luò).,解:,記,則,消去參數(shù)c:,由(2)得,(3)代入(1),得,化簡得,于是,,的兩支c-判別曲線為:,將,代入(2), 得,于是得到一支c-判別曲線,將,代入(2), 得另一支c-判別曲線,顯然,,考察,因?yàn)閷?duì)任意的,則有,解之得,,對(duì),切線不存在;,對(duì),在,點(diǎn)的切線的斜率為,所以,不是,的包絡(luò);,考察,對(duì)任意的,則有,因?yàn)?所以,于是,,在,點(diǎn)的切線的斜率為

43、,所以,是,的包絡(luò).,,,,x,y,O,,,,,,,,,,,,,第五章　高階微分方程,§5.1 幾個(gè)例子§ 5.2 n維線性空間中的微分方程§5.3 解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)依§5.4 賴性解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)可微性,二、可降階的高階微分方程,,所以,,,方程的解法：,方程的特點(diǎn)：方程右端不顯含未知函數(shù) .,則,,代入方程得,,解 因?yàn)榉匠?不顯含未知函數(shù)y,所以令,則,將其代入所給方

44、程,得,,分離變量得,,兩邊積分,,,,所以,代入原方程得,,,,,,,即,,,§5.3 解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性依賴性,解對(duì)初值的連續(xù)性 解對(duì)初值和參數(shù)的連續(xù)性,內(nèi)容:,,G,,,,,,,,,,,,,圖例分析(見右),,,,,,解對(duì)初值的對(duì)稱性:,,Q:當(dāng)初值發(fā)生變化時(shí),對(duì)應(yīng)的解是如何變化的? 當(dāng)初始值微小變動(dòng)時(shí),方程的解變化是否也是很小呢？,按解的存在范圍是否有限,又分成下面兩個(gè)問題:,解對(duì)初值的連續(xù)依賴性,此結(jié)論我們

45、曾作為Gronwall不等式的應(yīng)用練習(xí)過!,引理2 如果函數(shù) 于某域G內(nèi)連續(xù)，且關(guān)于 y 滿足利普希茨條件（利普希茨常數(shù)為L），則對(duì)方程 的任意兩個(gè)解 及 ,在它們的公共存在區(qū)間內(nèi)成立著不等式 .其中 為所考慮區(qū)間內(nèi)的某一值。,定義 設(shè) 令 則稱 為 之間的距

46、離。,定理1 (解對(duì)初值的連續(xù)依賴性定理),條件: I. 在G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于 滿足局部Lips.條件; II. 是(1)滿足 的解,定義 區(qū)間為[a,b].,結(jié)論: 對(duì) , 使得當(dāng),時(shí),方程(1)過點(diǎn) 的解 在[a,b]上也有定義,且,方程,,,,

47、,,,,,,,,,,,思路分析：,,,記積分曲線段S：,顯然S是xy平面上的有界閉集.,第一步:找區(qū)域D,使 ,且 在D上滿足Lips.條件.,G,,,,,,(見下圖),由已知條件,對(duì) ,存在以它為中心的圓 ,使 在其內(nèi)滿足Lips.條件,利普希茨常數(shù)為 .根據(jù)有限覆蓋定理,存在N,當(dāng) 時(shí),有,對(duì)

48、 ,記,則以 為半徑的圓,當(dāng)其圓心從S的左端點(diǎn)沿S 運(yùn)動(dòng)到右端點(diǎn)時(shí),掃過的區(qū)域即為符合條件的要找區(qū)域D,,,,,,,,,b,a,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,第二步:證明 在[a,b]上有定義.,,,假定 利用引理2及 的連續(xù)性可得:,第三步:證明,?,根據(jù)上面定理及方程的解關(guān)于自變量的連

49、續(xù)性,顯然有:,定理2 (解對(duì)初值的連續(xù)性定理,P88),條件: 在G內(nèi)連續(xù)且關(guān)于 滿足局部Lips.條件;,方程,本節(jié)課小結(jié),復(fù)習(xí)思考題：p93T2,第六章 線性微分方程組,,§6.1 一般理論§6.2 常系數(shù)線性微分方程組§6.3 高階線性微分方程,§6.1 線性微分方程的一般理論,一、解的存在唯一性定理 二、齊線性方程的解的結(jié)構(gòu)與性質(zhì) 三、非齊

50、線性方程與常數(shù)變易法,一、解的存在唯一性定理,,二、齊線性方程的解的結(jié)構(gòu)與性質(zhì),,三、非齊線性方程與常數(shù)變易法,,§6.2 常系數(shù)線性微分方程組,一、常系數(shù)齊線性微分方程的解法 二、常系數(shù)非齊線性微分方程的解法,一、常系數(shù)齊線性微分方程的解法,I: 特征根是單根的情形 II: 特征根有重根的情形,I: 特征根是單根的情形,,II: 特征根有重根的情形,,二、常系數(shù)非齊線性微分方程的解法,,第七章 微分方程的冪級(jí)數(shù)解法

51、（選學(xué)）,§7.1 柯西定理§7.2 冪級(jí)數(shù)解法§7.3 勒讓填多項(xiàng)式§7.4 廣義冪級(jí)數(shù)解法§7.5 貝塞爾函數(shù),第八章 定性理論與分支理論初步,,,§8.1 動(dòng)力系統(tǒng),相空間與軌線§8.1 解的穩(wěn)定性,一、按線性近似判定非線性微分方程解的穩(wěn)定性的缺陷,,,,,,,線性化系統(tǒng)為：,二、考慮無阻力數(shù)學(xué)擺,,,,,,,取函數(shù),性質(zhì):,,,

52、,,,,Liapunov第二方法思想：構(gòu)造特殊函數(shù)，通過沿方程的軌線對(duì)該函數(shù)求全導(dǎo)數(shù)的符號(hào)來確定方程解的穩(wěn)定性．,特殊函數(shù)　　　Liapunov函數(shù),,Liapunov第一方法：直接把解表示成級(jí)數(shù)形式,三、 Liapunov第二方法的一般理論,,,,,,,,,,,,,,,,,四、Liapunov第二方法的幾何解釋,,,,,,,,,,,,,,圖1,,,,,,,,,,從定正函數(shù)梯度角度解釋Liapunov第二方法,,,,,,,,,,,,,,