圣維南原理的理解及其在工程問(wèn)題中的應(yīng)用

1、一、題目一、題目圣維南原理的理解及其在工程問(wèn)題中的應(yīng)用維南原理的理解及其在工程問(wèn)題中的應(yīng)用二、二、涉及到的彈性力學(xué)相關(guān)概念介紹涉及到的彈性力學(xué)相關(guān)概念介紹1855年，圣維南在梁理論研究中提出：若在物體一小部分區(qū)域上作用一平衡力系，則此力系對(duì)物體內(nèi)距該力系作用區(qū)域較遠(yuǎn)的部分不產(chǎn)生影響，只在該力系作用的區(qū)域附近才引起應(yīng)力和變形。這就是著名的圣維南原理。圣維南原理的一種較為實(shí)用的提法是：若作用在物體局部表面上的外力，用一個(gè)靜力等效的力系（具有

2、相同的主矢和主距）代替，則離此區(qū)域較遠(yuǎn)的部分所受影響可以忽略不計(jì)[1]。三、正文部分三、正文部分1圣維南原理的理解圣維南原理的理解1.11.1圣維南原理的提出背景圣維南原理的提出背景求解彈性力學(xué)問(wèn)題就是在給定邊界條件下求解偏微分方程。邊界條件不同，問(wèn)題的解答也不一樣。但是要求出嚴(yán)格滿足邊界條件的精確解，有時(shí)是非常困難的，另外，對(duì)于一些實(shí)際問(wèn)題，不能確切的給出面力的分布，只是知道它在某邊界上的合理與合力偶的大小。于是我們會(huì)提出一個(gè)問(wèn)題，能

3、不能用一個(gè)可解的等效力系來(lái)代替它；滿足合力、合力偶條件的解是否可以替換它。這個(gè)問(wèn)題可由圣維南發(fā)原理來(lái)回答。1.21.2憑借生活經(jīng)驗(yàn)的理解憑借生活經(jīng)驗(yàn)的理解對(duì)于圣維南原理的第一種提法：若在物體一小部分區(qū)域上作用一平衡力系，則此力系對(duì)物體內(nèi)距該力系作用區(qū)域較遠(yuǎn)的部分不產(chǎn)生影響，只在該力系作用的區(qū)域附近才引起應(yīng)力和變形，可以用一個(gè)實(shí)例先簡(jiǎn)單理解。例如用鉗子剪鋼絲即使外力大道把鋼絲剪斷的程度，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，鋼絲的應(yīng)力和變形僅局限于潛口附近。經(jīng)驗(yàn)

4、表明，這一平衡力系越小，對(duì)鋼絲其它部分的影響越小[3]。對(duì)于圣維南原理的另一種提法是：若作用在物體局部表面上的外力，用一個(gè)靜力等效的力系（具有相同的主矢和主距）代替，則離此區(qū)域較遠(yuǎn)的部分所受影響可以忽略不計(jì)?？梢赃@樣理解:懸臂梁在端部不沿受集中力作用，基礎(chǔ)上增加一對(duì)自相平衡的力系。再減少一對(duì)相平衡的力系，根據(jù)圣維南原理，僅在小區(qū)域那有明顯差異，而在該區(qū)域之外應(yīng)力幾乎是相同的[1]。1.31.3簡(jiǎn)單應(yīng)用的理解簡(jiǎn)單應(yīng)用的理解化為等效的力邊界

5、。例如圖2.1（a）中的懸臂梁，為混合邊界問(wèn)題，其左邊固定端的應(yīng)力分布并不知道，但由總體平衡條件可以算出其合力與合力距的大小。用合力與合力距代替原未知分布力系以后，該問(wèn)題就變成了一個(gè)應(yīng)力邊界問(wèn)題如圖2.1（b）。梁變形變形后如虛線所示，其左端面有一個(gè)轉(zhuǎn)角。要恢復(fù)圖2.1（a）中鉛錘平面狀態(tài)，必須在端面加一力系。顯然，為了保持物體的平衡，這一附加力系是自平衡的。即圖（a）（b）在左端面上的差異只是自平衡力系。由圣維南原理，其影響區(qū)的尺寸與

6、梁的橫截面尺寸量級(jí)相同[1]。圖2.1（4）對(duì)于薄壁構(gòu)件，使用圣維南原理時(shí)要謹(jǐn)慎。如圖2.2所示為工字梁截面梁，在端面的兩個(gè)翼緣上作用著一對(duì)大小相等、方向相反的力偶，結(jié)構(gòu)力學(xué)中稱為雙力偶，從桿件的整個(gè)橫截面范圍來(lái)看，它是一個(gè)自相平衡力系，但由于腹板較薄，每個(gè)翼緣所受的彎曲應(yīng)力可以傳遞到相當(dāng)遠(yuǎn)的部分。極端地，當(dāng)，彎曲應(yīng)力可以達(dá)梁的根部。同時(shí)注意到，左邊的翼緣在力偶作用下向上彎曲，而右邊的翼緣向下彎曲，顯然，還將引起工字型截面的扭轉(zhuǎn)。這個(gè)例