高等代數教案范本

1、隴南師專數學系《高等代數》精品課程教案 第七章 線性變換 §7.2 線性變換的運算 第 1 頁 共 4 頁 §7.2 7.2 線性變換的運算 線性變換的運算 教學目的 教學目的 本節(jié)要求掌握線性變換的四種運算即加法運算、數乘運算、乘法運算、可逆線性變換 教學難點 教學難點 乘法運算、可逆線性變換 教學重點 教學重點 乘法運算、可逆線性變換 教 學 過

2、程 備 注 教學 教學內容 內容 一、線性變換的加法運算及數乘運算 1．線性變換的加法運算 定義 定義 1 1 設?, ? ? L (V). ?與? 的和?＋? 定義為 (?＋?) (?)＝? (?)＋? (?), ???V. 易知?＋?也是 V 的線性變換. 事實上，對任意?, ??V, k?F，有 (?＋?) (?＋?)＝? (?＋?)＋? (?＋?) ＝? (?)＋? (?)＋? (?)＋? (?) ＝(?＋?) (?)

3、＋(?＋?) (?). (?＋?) (k?)＝? (k?)＋? (k?) ＝k? (?)＋k? (?) ＝k ((?＋?) (?)). 2．線性變換的數乘運算 定義 定義 2 2 設? ? L(V)，k 是 F 中的一個數. k 與?的積 k?定義為 (k?) (?)＝k(? (?))，???V. 容易驗證，k?也是 V 的一個線性變換. 3．線性變換的加法運算和數乘運算的性質 定理 定理 7.2.1 7.2.1 L(V)對

4、于線性變換的加法， 數與線性變換的乘法運算構成數域 F 上的一個向量空間. 證 L(V)對于線性變換的加法、 數與線性變換的乘法運算是封閉的， 并且這兩種運算顯然滿足向量空間定義中的 1), 2), 5), 6), 7), 8). 即對 任意?,? , ? ?L (V)，k, l?F，有 1) ?＋?＝?＋?； 2) (?＋?)＋?＝?＋(?＋?)； 5) k(?＋?)＝k?＋k?； 6) (k＋l)? ＝k?＋l?； 7

5、) (kl)? ＝k (l?) ； 8) 1? ＝?. 下面只需說明向量空間定義中 3), 4)也成立. 對任意的線性變換? ? L (V), 有 (?＋? ) (?)＝? (?)＋? (?)＝? (?)＋0 ＝? (?) (?? ? V). 因此，有 3) ?＋?＝?. 對任意??L(V)，?的負變換－?規(guī)定為 (－?) (?)＝－? (?)，???V. 隴南師專數學系《高等代數》精品課程教案

6、 第七章 線性變換 §7.2 線性變換的運算 第 3 頁 共 4 頁 即 ??＝??＝?. 1．可逆線性變換的概念 定義 定義 4 設??L(V)，若存在 V 的變換?，使得 ??＝??＝?， 則稱線性變換?是可逆的, ?稱為?的逆變換. 2．可逆線性變換的逆變換是唯一的，?的逆變換記作?－1. 因為若?1, ?2都是?的逆變換時，?1＝?1?＝?1(??2)＝(?1?)?2＝??

7、2＝?2. 3．如果?是線性變換，則?的逆變換也是線性變換. 設?是可逆線性變換,則有??－1＝?－1?＝?. 因此,對任意? , ?? V, k?F，有 ?[?－1(?＋?)]＝??－1(?＋?)＝?(?＋?)＝?(?)＋?(?) ＝??－1(?)＋??－1(?)＝?[?－1(?)＋?－1 (?)]； ?[?－1(k?)]＝??－1(k?)＝?(k?)＝k?(?) ＝k??－1(?)＝?[k?－1(?)] 求上兩式左、右兩端在?－1

8、之下的象，得 ?－1(?＋?)＝?－1(?)＋?－1(?)； ?－1(k?)＝k?－1(?). 因此?的逆變換也是線性變換. 定理 定理 7.2.2 7.2.2 設?? L(V)，{?1, ?2, …, ?n}是 V 的一個基. 則?可逆的充要條件是? (?1), ? (?2), …, ? (?n)線性無關. 證 必要性. 設 k1? (?1)＋k2? (?2)＋…＋kn? (?n)=0, 其中 k1 ，k2 , …, kn?F

9、. 因為?可逆，上式兩邊用? -1作用： ?－1 (k1 ? (?1)＋k2 ? (?2)＋…＋kn? (?n))＝?－1(0) 即 k1(?－1?) (?1)＋k2 (?－1?)(?2)＋…＋kn (?－1?)(?n)＝?－1(0). 亦即 k1?1＋k2?2＋…＋kn?n＝0. 因為{?1, ?2, …, ? n}是 V 的一個基，所以 k 1 =k 2 =…=k n=0. 因此 ? (?1)，? (?2),…, ? (?n)

10、線性無關. 充分性. 設? (?1)，? (?2), …, ? (?n)線性無關，那么{? (?1)，? (?2), …, ? (?n)}是 V 的一個基. 由定理 7.1.2， 存在 V 的一個線性變換?，使得 ? (? (?i))＝?i , i＝1,2, … , n. 于是，有 ?? (?i)＝? (?i). i＝1,2,…, n. 由推論 7.1.3，得 ??＝?. 另外，有 ? (??) (?i)＝? (?i