二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目2008.12.8

1、二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目二次函數(shù)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)及相關(guān)典型題目一基礎(chǔ)知識(shí)一基礎(chǔ)知識(shí)1.1.定義：一般地，如果定義：一般地，如果是常數(shù)，是常數(shù)，，那么，那么叫做叫做的二次函數(shù)的二次函數(shù).cbacbxaxy(2???)0?ayx2.2.二次函數(shù)二次函數(shù)的性質(zhì)的性質(zhì)2axy?（1）拋物線(xiàn)）拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是的頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是軸.2axy?y（2）函數(shù)）函數(shù)的圖像與的圖像與的符號(hào)關(guān)系的符號(hào)關(guān)系.2axy?a①當(dāng)時(shí)拋物線(xiàn)開(kāi)

2、口向上拋物線(xiàn)開(kāi)口向上頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；頂點(diǎn)為其最低點(diǎn)；0?a??②當(dāng)時(shí)拋物線(xiàn)開(kāi)口向下拋物線(xiàn)開(kāi)口向下頂點(diǎn)為其最高點(diǎn)頂點(diǎn)為其最高點(diǎn).0?a??（3）頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是）頂點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，對(duì)稱(chēng)軸是軸的拋物線(xiàn)的解析式形式為軸的拋物線(xiàn)的解析式形式為.y2axy?）（0?a3.3.二次函數(shù)二次函數(shù)的圖像是對(duì)稱(chēng)軸平行于（包括重合）的圖像是對(duì)稱(chēng)軸平行于（包括重合）軸的拋物線(xiàn)軸的拋物線(xiàn).cbxaxy???2y4.4.二次函數(shù)二次函數(shù)用配方法可化成：用配

3、方法可化成：的形式，的形式，cbxaxy???2??khxay???2其中其中.abackabh4422????，5.5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式：①；②；③2axy?kaxy??2；④；④；⑤；⑤.??2hxay????khxay???2cbxaxy???26.6.拋物線(xiàn)的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn)拋物線(xiàn)的三要素：開(kāi)口方向、對(duì)稱(chēng)軸、頂點(diǎn).①的符號(hào)決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向：當(dāng)?shù)姆?/p>

4、號(hào)決定拋物線(xiàn)的開(kāi)口方向：當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向上；當(dāng)時(shí)，開(kāi)口向下；時(shí)，開(kāi)口向下；a0?a0?a相等，拋物線(xiàn)的開(kāi)口大小、形狀相同相等，拋物線(xiàn)的開(kāi)口大小、形狀相同.a②平行于平行于軸（或重合）的直線(xiàn)記作軸（或重合）的直線(xiàn)記作.特別地，特別地，軸記作直線(xiàn)軸記作直線(xiàn).yhx?y0?x7.7.頂點(diǎn)決定拋物線(xiàn)的位置頂點(diǎn)決定拋物線(xiàn)的位置.幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)幾個(gè)不同的二次函數(shù)，如果二次項(xiàng)系數(shù)相同，那么拋物線(xiàn)的開(kāi)口方相同，那么拋物線(xiàn)

5、的開(kāi)口方a向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同向、開(kāi)口大小完全相同，只是頂點(diǎn)的位置不同.8.8.求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法求拋物線(xiàn)的頂點(diǎn)、對(duì)稱(chēng)軸的方法（1）公式法：）公式法：，頂點(diǎn)是，頂點(diǎn)是，abacabxacbxaxy442222?????????????），（abacab4422??對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn).abx2??（2）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線(xiàn)的解析式化為）配方法：運(yùn)用配方的方法，將拋物線(xiàn)的解析式化為的形式，得到

6、頂點(diǎn)為的形式，得到頂點(diǎn)為??khxay???2()，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)，對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn).hkhx?（3）運(yùn)用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性：由于拋物線(xiàn)是以對(duì)稱(chēng)軸為軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以對(duì)稱(chēng)軸的連線(xiàn)的垂）運(yùn)用拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)性：由于拋物線(xiàn)是以對(duì)稱(chēng)軸為軸的軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以對(duì)稱(chēng)軸的連線(xiàn)的垂直平分線(xiàn)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)是頂點(diǎn)直平分線(xiàn)是拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸，對(duì)稱(chēng)軸與拋物線(xiàn)的交點(diǎn)是頂點(diǎn).9.9.拋物線(xiàn)拋物線(xiàn)中，中，的作用的作用cbxaxy???2cba（1）決定開(kāi)口

7、方向及開(kāi)口大小，這與決定開(kāi)口方向及開(kāi)口大小，這與中的中的完全一樣完全一樣.a2axy?a（2）和共同決定拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置共同決定拋物線(xiàn)對(duì)稱(chēng)軸的位置.由于拋物線(xiàn)由于拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸是直線(xiàn)bacbxaxy???2，故：，故：①時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸為軸；軸；②（即（即、同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在同號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在軸左軸左abx2??0?by0?ababy側(cè)；側(cè)；③（即（即、異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在異號(hào)）時(shí)，對(duì)稱(chēng)軸在軸右側(cè)軸右側(cè).0?abab

8、y（3）的大小決定拋物線(xiàn)的大小決定拋物線(xiàn)與軸交點(diǎn)的位置軸交點(diǎn)的位置.ccbxaxy???2y當(dāng)時(shí)，時(shí)，，∴拋物線(xiàn)拋物線(xiàn)與軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（軸有且只有一個(gè)交點(diǎn)（0，）：）：0?xcy?cbxaxy???2yc①，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，拋物線(xiàn)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)②與軸交于正半軸；軸交于正半軸；③與軸交于負(fù)半軸軸交于負(fù)半軸.0?c0?cy0?cy以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立以上三點(diǎn)中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時(shí)，仍成立.如拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在如拋物線(xiàn)的對(duì)稱(chēng)軸在

9、軸右側(cè)，則軸右側(cè)，則.y0?ab10.10.幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式函數(shù)解析式開(kāi)口方向開(kāi)口方向?qū)ΨQ(chēng)軸對(duì)稱(chēng)軸頂點(diǎn)坐標(biāo)頂點(diǎn)坐標(biāo)2axy?（軸）軸）0?xy（0000）kaxy??2（軸）軸）0?xy(0(0)k??2hxay??hx?(0)0)h??khxay???2hx?()hkcbxaxy???2當(dāng)時(shí)0?a開(kāi)口向上開(kāi)口向上當(dāng)時(shí)0?a開(kāi)口向下開(kāi)口向下abx2??()abacab4422

10、??，1111abcabcb24acabcabcabcabc等符號(hào)的符號(hào)的確定確定1212二次函數(shù)值恒正或恒負(fù)的條件：二次函數(shù)值恒正或恒負(fù)的條件：恒正的條件：恒正的條件：a＜0且；恒負(fù)的條件：；恒負(fù)的條件：a＞0且。0??0??13拋物線(xiàn)的平移規(guī)律：①在頂點(diǎn)式的基礎(chǔ)上拋物線(xiàn)的平移規(guī)律：①在頂點(diǎn)式的基礎(chǔ)上“左加右減，上加下減”“左加右減，上加下減”。②在一般式的基礎(chǔ)上②在一般式的基礎(chǔ)上1414兩拋物線(xiàn)關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)的條件：兩拋物線(xiàn)關(guān)于坐標(biāo)

11、軸對(duì)稱(chēng)的條件：拋物線(xiàn)拋物線(xiàn)關(guān)于關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的解析式：軸對(duì)稱(chēng)的解析式：??khxay???2拋物線(xiàn)拋物線(xiàn)關(guān)于關(guān)于x軸對(duì)稱(chēng)的解析式：軸對(duì)稱(chēng)的解析式：??khxay???215.15.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（1）一般式：）一般式：.已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)已知圖像上三點(diǎn)或三對(duì)、的值，通常選擇一般式的值，通常選擇一般式.cbxaxy???2xy（2）頂點(diǎn)式：）頂點(diǎn)式：.已知圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式已知

12、圖像的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ(chēng)軸，通常選擇頂點(diǎn)式.??khxay???2（3）交點(diǎn)式：已知圖像與）交點(diǎn)式：已知圖像與軸的交點(diǎn)坐標(biāo)軸的交點(diǎn)坐標(biāo)、，通常選用交點(diǎn)式：，通常選用交點(diǎn)式：.x1x2x????21xxxxay???1616二次函數(shù)的二次函數(shù)的最值問(wèn)題最值問(wèn)題(1)公式法公式法:y=ax2bxc中當(dāng)a0時(shí)x=___________y最小最小=___________當(dāng)a0a0當(dāng)x=___________yx=___________y最小最小=___

13、________=___________若a0(3)abc0(4)b=2a.其中正確的結(jié)論有其中正確的結(jié)論有()A.4A.4個(gè)B.3B.3個(gè)C.2C.2個(gè)D.1D.1個(gè)15二次函數(shù)二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象在的圖象在x軸的上方的條件是（軸的上方的條件是（）Aa＞0，b2－4ac＞0Ba＞0，b2－4ac＜0Ca＜0，b2－4ac＞0Da＜0，b2－4ac＜016如圖，如果函數(shù)y=kx＋b的圖象在第一、二、三象限內(nèi)，那么函數(shù)y=k

14、x2＋bx－1的大致圖象是（）17已知拋物線(xiàn)已知拋物線(xiàn)y=ax2＋bx＋c，如圖所示，則，如圖所示，則x的方程的方程ax2＋bx＋c－3=0的根的情況是（的根的情況是（）A有兩個(gè)不相等的正實(shí)根有兩個(gè)不相等的正實(shí)根B有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根有兩個(gè)異號(hào)實(shí)數(shù)根C有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根有兩個(gè)相等實(shí)數(shù)根D沒(méi)有實(shí)數(shù)根沒(méi)有實(shí)數(shù)根18下列四個(gè)函數(shù)：①下列四個(gè)函數(shù)：①y=x＋1；②；②y=；③；③y=－x2；④；④y=2x（－（－1≤x≤2）其中圖象是中心對(duì)其中圖象是

15、中心對(duì)x3稱(chēng)圖形，且對(duì)稱(chēng)中心是原點(diǎn)的共有（稱(chēng)圖形，且對(duì)稱(chēng)中心是原點(diǎn)的共有（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)19已知函數(shù)已知函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，關(guān)于系數(shù)的圖象如圖所示，關(guān)于系數(shù)a、b、c有下列不等式：①有下列不等式：①a＜0；②；②b＜0；③；③c＞0；④；④2a＋b＜0；⑤；⑤a＋b＋c＞0其中正確個(gè)數(shù)為（其中正確個(gè)數(shù)為（）A1個(gè)B2個(gè)C3個(gè)D4個(gè)20已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y=ax2＋bx＋c的圖象如圖所示，那么下列判斷

16、正確的是（的圖象如圖所示，那么下列判斷正確的是（）（多選）（多選）Aabc＞0Bb2－4ac＞0C2a＋b＞0D4a－2b＋c＜021如圖，二次函數(shù)如圖，二次函數(shù)y=x2－4x＋3的圖象交的圖象交x軸于軸于A、B兩點(diǎn)，交兩點(diǎn)，交y軸于點(diǎn)軸于點(diǎn)C，則△，則△ABC的面的面積為（積為（）A6B4C3D122函數(shù)函數(shù)y=ax2與y=ax＋a（a＜0＝在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（＝在同一直角坐標(biāo)系中的圖象大致是（）23一臺(tái)機(jī)器原價(jià)為一臺(tái)機(jī)器

17、原價(jià)為60萬(wàn)元，如果每年的折舊率為萬(wàn)元，如果每年的折舊率為x，兩年后這臺(tái)機(jī)器的價(jià)位為，兩年后這臺(tái)機(jī)器的價(jià)位為y萬(wàn)元，則萬(wàn)元，則y與x之間的函數(shù)表達(dá)式為（之間的函數(shù)表達(dá)式為（）Ay=60（1－x）2By=60（1－x）Cy=60－x2Dy=60（1＋x）224拋物線(xiàn)拋物線(xiàn)y=x2＋ax＋b向左平移向左平移2個(gè)單位再向上平移個(gè)單位再向上平移3個(gè)單位得到拋物線(xiàn)個(gè)單位得到拋物線(xiàn)y=x2－2x＋1，則，則（）Aa=2，b=－2Ba=－6，b=6C

18、a=－8，b=14Da=－8，b=18二、填空題二、填空題1拋物線(xiàn)拋物線(xiàn)y=3(x4)(x2)與x軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為軸的兩交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)________與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)__________.2已知拋物線(xiàn)已知拋物線(xiàn)y=x2＋（＋（m－1）x－的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是的頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)是2，則，則m的值是的值是413二次函數(shù)二次函數(shù)y=x2－2x＋3的最小值是的最小值是4拋物線(xiàn)拋物線(xiàn)y=x2－2x＋a2的頂點(diǎn)在直線(xiàn)的頂點(diǎn)在直線(xiàn)x=2上，則

19、上，則a的值是的值是a5二次函數(shù)二次函數(shù)y=y=－x2＋6x6x－5，當(dāng)，當(dāng)時(shí)，時(shí)，，且，且隨的增大而減小。的增大而減小。x0?yyx6已知二次函數(shù)已知二次函數(shù)y=x2＋（＋（a－b）x＋a的圖象如圖所示，那么化簡(jiǎn)的圖象如圖所示，那么化簡(jiǎn)的bababa???222結(jié)果是結(jié)果是7若一拋物線(xiàn)若一拋物線(xiàn)y=ax2與四條直線(xiàn)與四條直線(xiàn)x=1，x=2，y=1，y=2圍成的正方形有公共點(diǎn)，則圍成的正方形有公共點(diǎn)，則a的取值范的取值范圍是圍是8把拋物