相似三角形解題方法、步驟(教師版)

1、9上（5）相似三角形解題方法、技巧、步驟1相似三角形解題方法、技巧、步驟一、相似、全等的關(guān)系一、相似、全等的關(guān)系全等和相似是平面幾何中研究直線形性質(zhì)的兩個(gè)重要方面，全等形是相似比為1的特殊相似形，相似形則是全等形的推廣因而學(xué)習(xí)相似形要隨時(shí)與全等形作比較、明確它們之間的聯(lián)系與區(qū)別；相似形的討論又是以全等形的有關(guān)定理為基礎(chǔ)二、相似三角形二、相似三角形(1)三角形相似的條件：三角形相似的條件：①；②；③①；②；③.三、三、兩個(gè)三角形相似的六種

2、圖形：兩個(gè)三角形相似的六種圖形：只要能在復(fù)雜圖形中辨認(rèn)出上述基本圖形，并能根據(jù)問(wèn)題需要舔只要能在復(fù)雜圖形中辨認(rèn)出上述基本圖形，并能根據(jù)問(wèn)題需要舔加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出基本圖形，從而使問(wèn)題得以解決加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造出基本圖形，從而使問(wèn)題得以解決.四、三角形相似的證題思路：判定兩個(gè)三角形相似思路：四、三角形相似的證題思路：判定兩個(gè)三角形相似思路：1）先找兩對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相等(對(duì)平行線型找平行線)，因?yàn)檫@個(gè)條件最簡(jiǎn)單；2）再而先找一對(duì)內(nèi)角對(duì)應(yīng)相

3、等，且看夾角的兩邊是否對(duì)應(yīng)成比例；3）若無(wú)對(duì)應(yīng)角相等，則只考慮三組對(duì)應(yīng)邊是否成比例；找另一角兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似找?jiàn)A邊對(duì)應(yīng)成比例兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似找?jiàn)A角相等兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等，兩三角形相似找第三邊也對(duì)應(yīng)成比例三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似找一個(gè)直角斜邊、直角邊對(duì)應(yīng)成比例，兩個(gè)直角三角形相似找另一角兩角對(duì)應(yīng)相等，兩三角形相似找兩邊對(duì)應(yīng)成比例判定定理1或判定定理4找頂角對(duì)應(yīng)相等判定定理1找底角對(duì)應(yīng)相等判定定理1

4、找底和腰對(duì)應(yīng)成比例判定定理3e)相似形的傳遞性若△1∽△2，△2∽△3，則△1∽△3五、“三點(diǎn)定形法”，五、“三點(diǎn)定形法”，即由有關(guān)線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)來(lái)確定三角形的方法。具體做法是：先看比例式前項(xiàng)和后項(xiàng)所代表的兩條線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)能否分別確定一個(gè)三角形，若能，則只要證明這兩個(gè)三角形相似就可以了，這叫做“橫定”；若不能，再看每個(gè)比的前后兩項(xiàng)的兩條線段的兩條線段的三個(gè)不同的端點(diǎn)能否分別確定一個(gè)三角形，則只要證明這兩個(gè)三角形相似就行了，

5、這叫做“豎定”。有些學(xué)生在尋找條件遇到困難時(shí)，往往放棄了基本規(guī)律而去亂碰亂撞，亂添輔助線，這樣反而使問(wèn)題復(fù)雜化，效果并不好，應(yīng)當(dāng)運(yùn)用基本規(guī)律去解決問(wèn)題。例1、已知:如圖ΔABC中CE⊥ABBF⊥AC.求證:BAACAFAE?（判斷“橫定”還是“豎定”？）例2、如圖，CD是Rt△ABC的斜邊AB上的高，∠BAC的平分線分別交BC、CD于點(diǎn)E、F，ACAE=AFAB嗎？說(shuō)明理由。分析方法：1）先將積式______________2）____

6、__________（“橫定”還是“豎定”？）例1、已知：如圖，△ABC中，∠ACB=900，AB的垂直平分線交AB于D，交BC延長(zhǎng)線于F。求證：CD2=DEDF。分析方法：1）先將積式______________2）______________（“橫定”還是“豎定”？）六、過(guò)渡法（或叫代換法）六、過(guò)渡法（或叫代換法）有些習(xí)題無(wú)論如何也構(gòu)造不出相似三角形，這就要考慮靈活地運(yùn)用“過(guò)渡”，其主要類型有三種，下面分情況說(shuō)明1、等量過(guò)渡法（等線

7、段代換法）等量過(guò)渡法（等線段代換法）遇到三點(diǎn)定形法無(wú)法解決欲證的問(wèn)題時(shí)，即如果線段比例式中的四條線段都在圖形中的同一條直線上，不能組成三角形，或四條線段雖然組成兩個(gè)三角形，但這兩個(gè)三角形并不相似，那就需要根據(jù)已知條件找到與比例式中某條線段相等的一條線段來(lái)代替這條線段，如果沒(méi)有，可考慮添加簡(jiǎn)單的輔助線。然后再應(yīng)用三點(diǎn)定形法確定相似三角形。只要代換得當(dāng)，問(wèn)題往往可以得到解決。當(dāng)然，還要注意最后將代換的線段再代換回來(lái)。例1：如圖3，△ABC中

8、，AD平分∠BAC，AD的垂直平分線FE交BC的延長(zhǎng)線于E求證：DE2＝BECE分析：2、等比過(guò)渡法（等比代換法）等比過(guò)渡法（等比代換法）當(dāng)用三點(diǎn)定形法不能確定三角形，同時(shí)也無(wú)等線段代換時(shí)，可以考慮用等比代換法，即考慮利用第三組線段的比為比例式搭橋，也就是通過(guò)對(duì)已知條件或圖形的深入分析，找到與求證的結(jié)論中某個(gè)比相等的比，并進(jìn)行代換，然后再用三點(diǎn)定形法來(lái)確定三角形。例2：如圖4，在△ABC中，∠BAC=90，AD⊥BC，E是AC的中點(diǎn)，E

9、D交AB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F求證：ABDFACAF?a)已知一對(duì)等角b)己知兩邊對(duì)應(yīng)成比例c)己知一個(gè)直角d)有等腰關(guān)系9上（5）相似三角形解題方法、技巧、步驟3求證：（1）BF=CF.(2)BF=FGFE.（練習(xí)題圖）（8如圖，∠ABC=90AD=DBDE⊥AB求證：DC=DEDF.9如圖，ABCD為直角梯形，AB∥CDAB⊥BCAC⊥BD。AD=BD，過(guò)E作EF∥AB交AD于F.是說(shuō)明：（1）AF=BE(2)AF=AEEC.10△ABC中

10、∠BAC=90AD⊥BCE為AC中點(diǎn)。求證：AB:AC=DF:AF。11已知，CE是RT△ABC斜邊AB上的高，在EC延長(zhǎng)線上任取一點(diǎn)P連接AP作BG⊥AP垂足為G，交CE于點(diǎn)D.試證：CE=EDEP.(注：此題要用到等積替代，將CE用射影定理替代，再化成比例式。)七、證比例式和等積式的方法：七、證比例式和等積式的方法：對(duì)線段比例式或等積式的證明：對(duì)線段比例式或等積式的證明：常用“三點(diǎn)定形法”、等線段替換法、中間比過(guò)渡法、面積法等若比例

11、式或等積式所涉及的線段在同一直線上時(shí)，應(yīng)將線段比“轉(zhuǎn)移”(必要時(shí)需添輔助線)，使其分別構(gòu)成兩個(gè)相似三角形來(lái)證明可用口訣：遇等積，改等比，橫看豎看找關(guān)系；三點(diǎn)定形用相可用口訣：遇等積，改等比，橫看豎看找關(guān)系；三點(diǎn)定形用相似，三點(diǎn)共線取平截；似，三點(diǎn)共線取平截；平行線，轉(zhuǎn)比例，等線等比來(lái)代替；兩端各自找聯(lián)系，可用射影平行線，轉(zhuǎn)比例，等線等比來(lái)代替；兩端各自找聯(lián)系，可用射影和園冪和園冪例1如圖5在△ABC中，AD、BE分別是BC、AC邊上的高

12、，DF⊥AB于F，交AC的延長(zhǎng)線于H，交BE于G，求證：(1)FGFA＝FBFH(2)FD是FG與FH的比例中項(xiàng)1說(shuō)明：說(shuō)明：證明線段成比例或等積式，通常是借證三角形相似找相似三角形用三點(diǎn)定形法(在比例式中，或橫著找三點(diǎn)，或豎著找三點(diǎn))，若不能找到相似三角形，應(yīng)考慮將比例式變形，找等積式代換，或直接找等比代換例2如圖6，□ABCD中，E是BC上的一點(diǎn)，AE交BD于點(diǎn)F，已知BE：EC＝3：1，S△FBE＝18，求：(1)BF：FD(2)