高中不等式所有知識及典型例題(超全)

1、1一不等式的性質(zhì)不等式的性質(zhì)：二不等式大小比較的常用方法二不等式大小比較的常用方法：1作差：作差后通過分解因式、配方等手段判斷差的符號得出結(jié)果；2作商（常用于分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的代數(shù)式）；3分析法；4平方法；5分子（或分母）有理化；6利用函數(shù)的單調(diào)性；7尋找中間量或放縮法；8圖象法。其中比較法（作差、作商）是最基本的方法。三重要不等式三重要不等式1.（1）若，則(2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）Rba?abba222??Rba?222baab?

2、?ba?2.(1)若，則(2)若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）Rba?abba??2Rba?abba2??ba?(3)若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）Rba?22????????baabba?3.若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）0x?12xx??1x?若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）0x?12xx???1x??若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）0x?111222xxxxxx??????即或ba?若，則(當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）0?ab2??abbaba?若，則(

3、當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）0ab?222abababbababa??????即或ba?4.若，則（當(dāng)且僅當(dāng)時取“=”）Rba?2)2(222baba???ba?注：（1）當(dāng)兩個正數(shù)的積為定植時，可以求它們的和的最小值，當(dāng)兩個正數(shù)的和為定植時，可以求它們的積的最小值，正所謂“積定和最小，和定積最大”（2）求最值的條件“一正，二定，三取等”(3)均值定理在求最值、比較大小、求變量的取值范圍、證明不等式、解決實際問題方面有廣泛的應(yīng)用5.a3b3c3

4、≥3abc（abc?R）≥（當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號）；abc33abc6.(a1a2……an)≥(ai?Ri=12…，n)，當(dāng)且僅當(dāng)a1=a2=…=an取等號；1n12nnaaa?變式：a2b2c2≥abbccaab≤()2(ab?R)abc≤()3(abc?R)ab2abc3a≤≤≤≤≤b.(0bn0m0b－na－nbabmam應(yīng)用一：求最值應(yīng)用一：求最值例1：求下列函數(shù)的值域（1）y＝3x2＋（2）y＝x＋12x21x3錯。錯。

5、。2：已知，且，求的最小值。00xy??191xy??xy?技巧七技巧七、已知已知x，y為正實數(shù)，且為正實數(shù)，且x2＋＝1，求，求x的最大值的最大值.y221＋y2分析：因條件和結(jié)論分別是二次和一次，故采用公式ab≤。a2＋b22同時還應(yīng)化簡中y2前面的系數(shù)為，x＝x＝x1＋y2121＋y22下面將x，分別看成兩個因式：x≤＝＝即x＝x≤341＋y22342技巧八：已知技巧八：已知a，b為正實數(shù)，為正實數(shù)，2b＋ab＋a＝30，求函數(shù)，

6、求函數(shù)y＝的最小值的最小值.1ab分析：這是一個二元函數(shù)的最值問題，通常有兩個途徑，一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題一是通過消元，轉(zhuǎn)化為一元函數(shù)問題，再用單調(diào)性或基本不等式求解，對本題來說，這種途徑是可行的；二是直接用基本二是直接用基本不等式，對本題來說，因已知條件中既有和的形式，又有積的形式，不能一步到位求出最值，考慮用基本不等式放縮后，再通過解不等式的途徑進(jìn)行。法一：a＝，ab＝b＝由a＞0得，0＜b＜1530－2bb＋130－2b

7、b＋1－2b2＋30bb＋1令t＝b1，1＜t＜16，ab＝＝－2（t＋）＋34∵t＋≥2＝8－2t2＋34t－31t16t16t∴ab≤18∴y≥當(dāng)且僅當(dāng)t＝4，即b＝3，a＝6時，等號成立。118法二：由已知得：30－ab＝a＋2b∵a＋2b≥2∴30－ab≥22ab2ab令u＝則u2＋2u－30≤0，－5≤u≤3ab222∴≤3，ab≤18，∴y≥ab2118點評：①本題考查不等式的應(yīng)用、不等式的解法及運算能力；②如何由已abba