2016屆高三數(shù)學一輪復習(知識點歸納與總結)定積分與微積分的基本定理

1、 版權所有：中華資源庫 www.ziyuanku.com 第十四節(jié) 定積分與微積分基本定理 [備考方向要明了] 考 什 么 怎 么 考 1.了解定積分的實際背景，了解定積分的基本思想，了解定積分的概念． 2.了解微積分基本定理的含義. 1.考查形式多為選擇題或填空題． 2.考查簡單定積分的求解．如 2012 年江西 T11 等． 3.考查曲邊梯形面積的求解．如 2012 年湖北

2、T3，山東 T15，上海 T13 等． 4.與幾何概型相結合考查．如 2012 年福建 T6 等. [歸納· 知識整合] 1．定積分 (1)定積分的相關概念 在∫baf(x)dx 中，a，b 分別叫做積分下限與積分上限，區(qū)間[a，b]叫做積分區(qū)間，f(x)叫做被積函數(shù)，x 叫做積分變量，f(x)dx 叫做被積式． (2)定積分的幾何意義 ①當函數(shù) f(x)在區(qū)間[a，b]上恒為正時，定積分∫baf(x)dx 的幾何意義是由直線

3、 x＝a，x＝b(a≠b)，y＝0 和曲線 y＝f(x)所圍成的曲邊梯形的面積(左圖中陰影部分)． ②一般情況下，定積分∫baf(x)dx 的幾何意義是介于 x 軸、曲線 f(x)以及直線 x＝a，x＝b之間的曲邊梯形面積的代數(shù)和(右上圖中陰影所示)，其中在 x 軸上方的面積等于該區(qū)間上的積分值，在 x 軸下方的面積等于該區(qū)間上積分值的相反數(shù)． (3)定積分的基本性質 ①∫bakf(x)dx＝k∫baf(x)dx. ②∫ba[f1(x)

4、± f2(x)]dx＝∫baf1(x)dx± ∫baf2(x)dx. ③∫baf(x)dx＝∫caf(x)dx＋∫bcf(x)dx. 版權所有：中華資源庫 www.ziyuanku.com ∫10 1－x2dx＝14π. 答案：14π 5．由曲線 y＝1x，直線 y＝－x＋52所圍成的封閉圖形的面積為________． 解析：作出圖象如圖所示．解方程組可得交點為 A? ? ? ? 1 2，2 ，B? ? ? ? 2，

5、12 ，所以陰影部分的面積， 2 12 ? ? ?－x＋52－ ? ? 1 x dx＝ ? ? ? ? －12x2＋52x－ln x 2 12＝158 －2ln 2. 答案：158 －2ln 2 利用微積分基本定理求定積分 [例 1] 利用微積分基本定理求下列定積分： (1)∫21(x2＋2x＋1)dx；(2)∫π0(sin x－cos x)dx； (3)∫20x(x＋1)dx；(4)∫21? ? ? ? e2x＋1x dx； (5)

6、 2 0? ?sin2x2dx. [自主解答] (1)∫21(x2＋2x＋1)dx＝∫21x2dx＋∫212xdx＋∫211dx＝x33 |21＋x2 |21＋x |21＝193 . (2)∫π0(sin x－cos x)dx ＝∫π0sin xdx－∫π0cos xdx ＝(－cos x) |π0－sin x |π0＝2. (3)∫20x(x＋1)dx＝∫20(x2＋x)dx ＝∫20x2dx＋∫20xdx＝13x3 |20＋12x2